1、2.5等比数列前n项和特色训练(一)一、等比数列前n项和的计算例1在等比数列an中，S3，S6，求an.分析要求an，需求首项a1，公比q，由条件可列出关于a1和q的两个方程，解方程组即可解：变式训练1在等比数列an中，a1an66，a3an2128，Sn126，求n和q.解：二、利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.分析可用等比数列前n项和公式求解，也可用等比数列的性质Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列求解解：变式训练2等比数列的前n项和为Sn，若S1010，S2030，S60630，求S70的值解：三、错位相减法的应用例3求和：Snx
2、2x23x3nxn (x0)分析分x1和x1两种情况解：变式训练3求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和解2.5等比数列前n项和特色训练(二) 一、等比数列前n项和的证明问题例1设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn1.证明：变式训练1已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)证明二、等比数列前n项和的实际应用例2为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设
3、第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35.解：变式训练2一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解三、等差数列、等比数列的综合问题例3设an是等差数列，bnan，已知：b1b2b3，b1b2b3，求等差数列的通项an.解变式训练3在等比数列an中，an0 (nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数
4、列an的通项公式；(2)设bnlog2 an，数列bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值2.5等比数列前n项和特色训练(一)参考答案例1 解由已知S62S3，则q1，又S3，S6，即得1q39，q2.可求得a1，因此ana1qn12n2.变式训练1解a3an2a1an，a1an128，解方程组得或将代入Sn，可得q，由ana1qn1可解得n6.将代入Sn，可得q2，由ana1qn1可解得n6.故n6，q或2.例2 解方法一因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以S3n6463.方法二因为an为等比数列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，所以(S2
5、nSn)2Sn(S3nS2n)，所以S3nS2n6063.变式训练2等比数列的前n项和为Sn，若S1010，S2030，S60630，求S70的值解设b1S10，b2S20S10，则b7S70S60.因为S10，S20S10，S30S20，S70S60成等比数列，所以b1，b2，b7成等比数列，首项为b110，公比为q2.求得b71026640.由S70S60640，得S701 270.例3 解(1)当x1时，Sn123n.(2)当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1.Sn.综上可得Sn.变式训练3解(1)当a
6、0时，Sn1.(2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则Snn2.(3)当a1且a0时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1aSna3a25a37a4(2n1)an得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an，又1a0，Sn.综上，Sn.2.5等比数列前n项和特色训练(二)参考答案例1证明设an的公比为q，由题设知a10，q0，当q1时，Snna1，从而SnSn2Sna1(n2)a1(n1)2aa0.当q1时，Sn，从而SnSn2Saqn0.综上知，SnSn2log0.5S.即lo
7、g0.5Sn1.变式训练1证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，则Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，则Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列性质，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSS2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS
8、3n)例2解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1)(2)10年的出口总量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2010年最多出口12.3吨变式训练2解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sna1a2an125125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.例3解设等差数列an的公差为d，则an1and.数列bn是等比数列，公比qd.b1b2b3b，b2.，解得或.当时，q216，q4(q40，a3a55.又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51.q，a116，an16n125n.(2)bnlog2 an5n，bn1bn1，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn，当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0.当n8或9时，最大全 品中考网
