1、微专题强化练(一)球的切、接问题(建议用时:40分钟)1直三棱柱ABC ABC的所有棱长均为2,则此三棱柱的外接球的表面积为()A12B16C28D36C由直三棱柱的底面边长为2,得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r2,又由直三棱柱的侧棱长为2,则球心到圆O的球心距d,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,易得球半径R满足:R2r2d27,外接球的表面积S4R2282九章算术中,将底面积为长方形且有一条侧棱与底面积垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑,PA平面ABC,PAAB2,AC4,三棱PABC的四个顶点都在球O
2、的球面上,则球O的表面积为()A8 B12 C20 D24C将三棱锥PABC放入长方体中,如图,三棱锥PABC的外接球就是长方体的外接球因为PAAB2,AC4,ABC为直角三角形,所以BC2设外接球的半径为R,依题意可得2R22222(2)220,故R25,则球O的表面积为4R220故选:C3已知正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上,若AB2,且四棱锥PABCD的体积为,则球O的表面积为()A25 B C D5A设正四棱锥底面的中心为O1,连接PO1,OA,O1A,则有PO1(2)2,可得PO14设外接球的半径为R,在RtOO1A中,OO14R,O1A2,则有(4R)222R2,解得R
3、,所以球O的表面积为4R2425故选A4如图,长方体ABCDABCD中,AB12,BC10,AA6,过AD作长方体的截面ADEF使它成正方形求三棱柱AAFDDE的外接球的表面积解(1)因为截面ADEF为正方形,所以ADAFBC10,在RtAAF中,AA2AF2AF2,即62AF2102,解得AF8,在直三棱柱AAFDDE中,底面积RtAAF的外接圆半径为AF105,直三棱柱AAFDDE的外接球球心的到平面AAF的距离为105,设三棱柱的外接球半径为R,则R5,所以三棱柱AAFDDE的外接球的表面积S4R22005正三棱锥的高为1,底面边长为2,正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积
4、解如图,球O是正三棱锥PABC的内切球,O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径RPH是正三棱锥的高,即PH1设E是BC的中点,连接PE,AE,H在AE上,ABC的边长为2,HE2,PE,可以得到SPABSPACSPBCBCPE3,SABC(2)26,VP ABCVO PABVO PACVO PBCVO ABC,613R36R,解得R2,S球4R24(2)28(52)V球R3(2)36已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,边长为a,PBa,PDa,PAPCa,且PD是四棱锥的高(1)在四棱锥内放入一球,求球的最大半径;(2)求四棱锥外接球的半径解(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时,球的半
5、径最大,即球心到各面的距离均相等设球的半径为R,球心为S,如图,连接SA,SB,SC,SD,SP因为最大球与四棱锥各面都相切,所以三棱锥S PAB,S PBC,S PCD,S PAD与四棱锥S ABCD的高都为R,且它们恰好组成四棱锥P ABCD因为PD为四棱锥P ABCD的高,PDADBCa,四边形ABCD为正方形,且PAPCa,PBa,所以PB2PA2AB2PC2BC2,所以PAB,PCB为直角三角形且全等,所以SPABSPBCaaa2,SPDASPDCa2,S正方形ABCDa2,所以VP ABCDa2aa3,VS PABVS PBCa2Ra2R,VS PDAVS PDCa2Ra2R,VS ABCDa2Ra2R因为VP ABCDVS PABVS PBCVS PDAVS PDCVS ABCD,所以a3a2Ra2Ra2R,即(2)Ra,所以Ra,即球的最大半径为a(2)由(1)知PAB,PCB为直角三角形,若M为斜边PB的中点,则MAMBMPMC连接BD,因为PDa,PBa,BDa,所以PB2PD2BD2,即PDB为直角三角形,且PB为斜边,所以MDMBMP,所以M为四棱锥PABCD外接球的球心,所以四棱锥外接球的半径RPBa