1、61.3演绎推理61.4合情推理与演绎推理的关系1.理解演绎推理的意义2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理与演绎推理之间的区别和联系1演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理(2)特点：由一般到特殊的推理(3)三段论式推理常用的一种格式，可以用以下公式来表示：MP(M是P)，.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的事实或道理；第二个判断称为小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来揭示了一般事实或道理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论2演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之
2、间有蕴涵关系，因而，只要大前提、小前提都是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)“三段论”就是演绎推理()(2)演绎推理的结论一定是正确的()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理()(4)演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关()答案：(1)(2)(3)(4)2“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是()A矩形都是四边形B四边形的对角线都相等C矩形的对角线相等D对角线都相等的四边形是矩形解析：选C.该推理是省略大前提的演绎推理，因为相关的内容是“矩形”
3、“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等3自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()A正确B推理形式正确C两个自然数概念不一致D两个整数概念不一致答案：A4正弦函数是奇函数，f(x)sin x2是正弦函数，所以f(x)sin x2是奇函数，以上“三段论”中的_是错误的答案：小前提用三段论的形式表示演绎推理将下列演绎推理写成三段论的形式(1)等腰三角形的两底角相等，A、B是等腰三角形的两底角，则AB；(2)通项公式an2n3表示的数列an为等差数列【解】(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)A、B是等腰三角形的两底角，(小前提)AB.(结论)(2)数列an中，如果
4、当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，(大前提)通项公式an2n3时，若n2，则anan12n32(n1)32(常数)，(小前提)通项公式an2n3表示的数列为等差数列(结论)将演绎推理写成三段论的方法(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”上述推理()A小前提错B结论错C正确 D大前提错解析：选C.在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因
5、此结论也是正确的，这个推理是正确的2把下列推理写成三段论的形式(1)因为ABC三边的长依次为3，4，5，所以ABC是直角三角形；(2)函数y2x5的图象是一条直线解：(1)一条边长的平方等于其他两条边长的平方和的三角形是直角三角形，(大前提)ABC三边的长依次为3，4，5，且324252，(小前提)所以ABC是直角三角形(结论)(2)一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线，(大前提)函数y2x5是一次函数，(小前提)所以函数y2x5的图象是一条直线(结论)演绎推理在证明几何中的应用如图，D，E，F分别是ABC中BC，CA，AB边上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎
6、推理【证明】因为同位角相等，两条直线平行， (大前提)BFD与A是同位角，且BFDA， (小前提)所以FDAE.(结论)因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA，且FDAE，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形(结论)因为平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提)所以EDAF.(结论)若本例中增加条件“CA”，证明：BFDBDF.证明：因为同位角相等，两直线平行，(大前提)BFD与A是同位角，且BFDA，(小前提)所以FDAE.(结论)因为两直线平行，同位角相等，(大前提)FDAE，且BDF与C是同位角，(小前提)所以BDFC.(结
7、论)又因为CA，BFDA(小前提)所以BFDBDF.(结论)用三段论证明几何问题的一般步骤(1)理清楚证明命题的一般思路(2)找出每一个结论得出的原因(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来即在几何证明问题中，每一步实际都含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提把一般性原理应用于特殊情况，从而得到结论 已知空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点求证：EF平面BCD.证明：三角形的中位线平行于底边，(大前提)因为E，F是AB，AD的中点，所以EF是ABD的中位线，(小前提)所以EFBD.(结论)如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行，(大前提)
8、因为EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，(小前提)所以EF平面BCD.(结论)演绎推理在证明代数中的应用已知函数f(x)ax(a1)，求证：函数f(x)在(1，)上为增函数【证明】如果在(1，)上f(x)0，那么函数f(x)在(1，)上是增函数，(大前提)因为a1，所以f(x)axln a0，(小前提)所以函数f(x)在(1，)上为增函数(结论)(1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提 (2)在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不等关系的一般性原理(如基本不等式等)
9、，这是大前提，然后利用“三段论”进行推理此时应注意不等式性质及定理成立的条件在锐角三角形ABC中，求证sin Asin Bsin C cos Acos Bcos C.证明：因为在锐角三角形中， AB，所以AB，所以0BA.又因为在内，正弦函数是单调递增函数，所以sin Asincos B，即sin Acos B，同理，sin Bcos C，sin Ccos A以上两端分别相加，有sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.1演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只
10、要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的(3)演绎推理是由一般到特殊的推理2(易误防范)演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确很多时候结论本来很容易就看出是一个成立的命题，而没有根据大前提来推导，那么就是没有遵循运用三段论的推理原则，就是错误的1指数函数yax(a1)是R上的增函数，y2|x|是指数函数，所以y2|x|是R上的增函数以上推理()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D正确解析：选B.此推理形式正确，但是，函数y2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.2
11、“是无限不循环小数，所以是无理数”，以上推理的大前提是()A实数分为有理数和无理数B不是有理数C无理数都是无限不循环小数D有理数都是有限循环小数解析：选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据因为无理数都是无限不循环小数，是无限不循环小数，所以是无理数故大前提是无理数都是无限不循环小数3下列三句话按“三段论”模式排列顺序为_ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数答案：4将下列的演绎推理写成三段论的形式(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直(2)等差数列的通项公式具有形式anpnq(p，q是常数)，数列1，
12、2，3，n是等差数列，所以数列1，2，3，n的通项公式具有anpnq的形式解：(1)每个菱形的对角线都相互垂直，(大前提)正方形是菱形，(小前提)所以正方形的对角线相互垂直(结论)(2)等差数列的通项公式具有形式anpnq(p，q是常数)，(大前提)数列1，2，3，n是等差数列，(小前提)所以数列1，2，3，n的通项公式具有anpnq的形式(结论) A基础达标1下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，因为A和B是两条平行直线被同一条直线所截形成的同旁内角，所以ABB我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也
13、蕴藏着丰富的石油C由633，835，1037，1257，1477，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D在数列an中，a11，an(n2)，由此归纳出数列an的通项公式解析：选A.A中，由一般结论“两条直线平行，同旁内角互补”推出特例“AB”是演绎推理；B、C、D中，均是由特殊到一般或特殊的推理，是合情推理2“三角函数是周期函数，ytan x，x是三角函数，所以ytan x，x是周期函数”在以上演绎推理中，下列说法正确的是()A推理完全正确B大前提不正确C小前提不正确D推理形式不正确解析：选C.ytan x，x只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个
14、推理结论错误3在证明f(x)2x1为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数f(x)2x1满足增函数的定义是大前提；函数f(x)2x1满足增函数的定义是小前提其中正确的命题是()ABC D解析：选A.根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)2x1满足增函数的定义；结论是f(x)2x1为增函数，故正确4对于推理：若ab，则a2b2，因为22，则22(2)2，即44，下列说法正确的是()A大前提错误 B小前提错误C推理正确 D不是演绎推理解析：选A.当a，b同正时，aba2b2.即若ab，则a2b2不一定成立因此推理过程中大前提错误故
15、选A.5论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是()A类比推理 B归纳推理C演绎推理 D一次三段论解析：选C.这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式6求函数y的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a0，小前提是有意义，结论是_解析：由三段论的形式可知，结论是log2x20.答案：log2x207以下推理过程省略的大前提为：_因为a2b22ab，所以2(a2b2)a2b22ab.解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两
16、边同时加上了a2b2，故大前提为：若ab，则acbc.答案：若ab，则acbc8已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则a_解析：因为奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)0，而奇函数f(x)a的定义域为R，所以f(0)a0，所以a.答案：9.已知在梯形ABCD中(如图)，ABDCDA，AC和BD是梯形的对角线求证：CA平分BCD，BD平分CBA.证明：因为等腰三角形两底角相等，(大前提)ADC是等腰三角形，1和2是两个底角，(小前提)所以12.(结论)因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)1和3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，(小前提)所以13.(结论)因为等于同一
17、个角的两个角相等，(大前提)21，31，(小前提)所以23，即CA平分BCD.(结论)同理可证BD平分CBA.10在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明：数列ann是等比数列(2)求数列an的前n项和Sn.解：(1)证明：因为an14an3n1，所以an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列(2)由第一问可知ann4n1，所以an4n1n.所以数列an的前n项和Sn.B能力提升11f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf (x)f(x)0.对任意正数a，b，若ab，则必有()Abf(a)af(b) Baf(b)
18、bf(a)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)解析：选B.构造函数F(x)xf(x)，则F(x)xf(x)f(x)由题设条件知F(x)xf(x)在(0，)上单调递减若ab，则F(a)F(b)，即af(a)bf(b)又f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，所以bf(a)af(a)bf(b)af(b)故选B.12关于函数f(x)lg(x0)，有下列命题：其图象关于y轴对称；当x0时，f(x)是增函数；当x0时，f(x)为减函数；f(x)的最小值是lg 2；当1x0或x1时，f(x)是增函数；f(x)无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是_解析：显然f(x)f(x)，所以f(x)为偶
19、函数时，其图象关于y轴对称当x0时，f(x)lglg.设g(x)x，可知其在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数f(x)minf(1)lg 2.因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(1，0)上是增函数答案：13.如图所示，在锐角三角形ABC中，ADBC于点D，BEAC于点E，D、E是垂足，求证：(1)ABD是直角三角形；(2)AB的中点M到D、E的距离相等证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提)又因为在ABC中，ADBC，即ADB90，(小前提)所以ABD是直角三角形(结论)(2)因为直角三角形斜边上的中线
20、等于斜边的一半，(大前提)而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，(小前提)所以DMAB.(结论)同理，EMAB.因为等于同一个量的两个量相等，(大前提)又因为DMAB，EMAB(小前提)所以DMEM，即M到D、E的距离相等(结论)14(选做题)已知yf(x)在(0，)上有意义，单调递增且满足f(2)1，f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x2)2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)f(x3)2，求x的取值范围解：(1)证明：因为f(xy)f(x)f(y)，所以f(x2)f(xx)f(x)f(x)2f(x)(2)因为f(1)f(12)2f(1)，所以f(1)0.(3)因为f(x)f(x3)f(x(x3)22f(2)f(4)，且函数f(x)在(0，)上单调递增，所以解得0x1.所以x的取值范围为(0，1
