1、第 1 页 共 9 页高三质量检测卷 数学阅卷评分细则一、填空题1.11xx;2 1;3 53;4.3;5.5;6.710;7.16 23;863.9.7 210;10.2 106;11.2+3;12.11(,)2e;13.4 5;14.10,)3.二、解答题15.【解析】（）因为sincos0aBbA，在ABC 中，由正弦定理 sinsinabAB得：sinsinsincos0ABBA即sinsincos0BAA，2 分又角 B 为三角形内角，所以 sin0B，故 sincos0AA，3 分即2 sin04A，5 分又因为0,A，所以4A 7 分（）在ABC 中，由余弦定理得：2222cos
2、abcbcA，则2220442cc 9 分即22 2160c 10 分解得2 2c （舍）或4 2c 11 分所以112sin=24 24222SbcA 14 分16.证明（）因为直三棱柱111ABCA B C,则四边形11BB C C 和11AAC C 为平行四边形,即11ACAC.在11BB C C 中,11BCB CM,则 M 为1BC 的中点，又 N 为1A B 的中点，所以 MN 为11A BC的中位线，故11MNAC，又11ACAC，所以MNAC，由 MN ABC，AC ABC，所以MN面 ABC.7 分（）在直三棱柱111ABCA B C中，所以1BB 平面1 1 1ABC 又1
3、BB 平面11B BCC，所以平面11B BCC 平面1 1 1ABC，又因为 ABBC，所以1111A BB C由11A B 平面1 1 1ABC，11B C 为交线.MN第 15 题不写正弦定理扣 1 分不写扣 1 分不写扣 1 分第 2 页 共 9 页所以11A B 平面11B BCC 又1BC 平面11B BCC，所以111.A BBC又因为1BBBC，则侧面11B BCC 为菱形，故11B CBC又1 1A B 11B CB,1 11，A BB C 面11A B C.所以1BC 平面11A B C,又1A C 平面11A B C，所以1BC1A C.14 分说明:少一个条件扣 2 分
4、,不同的两个逻辑段各少一个条件,则扣 4 分,少 3 个及以上得 0 分.17.解析（）连结 BD，易知BDC 为等边三角形，则 BD=2在ABD 中，23BAD，BD=2，由余弦定理得：2222.cos120BDABADAB AD即ADABADABADABADAB.)(.4222由基本不等式得：4)()(422ADABADAB则334 ADAB（当且仅当ADAB 时“”成立）.故钢板长度3344 DACDBCABL.答：所用板材长度的最大值为3344 km.5 分（）因为 AD 与CD 垂直，AB 与 BC 垂直,则 ABCD 四点共圆,且 AC 为直径,记直径为 2R.在 BCD中，2CD
5、CB,60BCD，则2BD，23BAD.由正弦定理得：2sinBDRBCD 423RAC，6 分在 RT ADC和 RT ABC中，则222 33ADABACCB在 Rt ADE 中，DAE，332AD，则tan332DE，cos332AE；图（2）图（1）第 3 页 共 9 页又2CD，则tan3322 DECDCE在 Rt CEF 中，3BCD，则tan323CEEF则aaaEFaAEay)3cossin2(3)tancos2(.3，0,)3.所以总费用2sin()=3),0,)cos3（Fa.10 分记2sin()cosf，0,)3，则()f 22cos(2sin)(sin)cos 21
6、2sincos，令()0f，得6，当0,)6时()0f，()f 单调递减；当,)6 3时，()0f，()f 单调递增，所以当6时，()f 取最小值，此时min()2 3fa13 分答：铺设的总费用的最小值为a32元.14 分18.解析（）法一 因为右焦点 F 的坐标为(3,0)，则左焦点(3,0)F 由椭圆的定义知：223132()()24a 223 313()()24511444，即24a.又23c，则2221bac.所以椭圆 C 的方程为2214xy.4 分法二 右焦点 F 的坐标为(3,0)，点 PC，则222231314163abab224,1ab.所以椭圆 C 的方程为2214xy.
7、4 分（）设直线(3)lyk x：（0k）点11(,)A x y，22(,)B xy，5 分由22(3),1,4yk xxy消去 y，得2222(41)8 3(124)0kxk xk7 分显然0，21228 341kxxk,则21224 3241Mxxkxk，8 分第 4 页 共 9 页即23(3)41MMkyk xk.即2224 33(,)4141kkMkk.10 分则线段 AB的垂直平分线方程为：222314 3()4141kkyxkkk.11 分令0 x，得23 3(0,)41kDk；令0y，得223 3(,0)41kCk.12 分则ODC 的面积22222213 33 327|=241
8、412(41)ODCkkkkSkkk，13 分CMF 的面积22222213 333(1)|3|241412(41)CMFkkkkSkkk.14 分因为ODC 与CMF 的面积相等，则22222227|3(1)|2(41)2(41)kkkkkk，解得24k .故当ODC 与CMF 的面积相等时，直线l的斜率24k .16 分法 2 设),(11 yxA，),(22 yxB由14)3(22yxxky消去 y 得0)412(38)14(2222kxkxk7 分显然0，)14(2)412)(14(42)38(38222222,1kkkkkx14382221kkxx，143422kkxM,所以中点)1
9、43,1434(222kkkkM.9 分 AB 的垂直平分线方程为：)1434(1143222kkxkkky,令0 x得)1433,0(2 kkD.10 分 ODC与 CMF的面积相等，则OMFOMD与的面积相等，OM DF.12分第 5 页 共 9 页DFOMkk,得1434143341332222kkkkkk,即kkk414132.解之得：812 k,即直线 l 的斜率42k.16 分19解析（）由2()ln(,)f xaxxbx a bR，则()2bfxaxx，又切线方程为 220 xy，令1x ，则0y，所以(1)0f且(1)2f，则(1)10(1)22fafab，解得：1,3ab.3
10、 分（II）由（）知2()3lnf xxxx，令2()()223ln2g xf xxxxx则2323(23)(1)()21xxxxg xxxxx.令()0g x 得1x，32x （舍）.4 分当()0g x 时，01x；当()0g x 时，1x.则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减.所以当1x 时，()g x 取得最大值.6 分即()(1)0g xg.所以函数()22-yf xx在 x 轴的上方无图像.7 分（III）由（II）可知，当2k 时，()2(1)f xx，所以不存在01x，当0(1,)xx时，恒有()2(1)f xx；所以2k 不符合题意.9 分当2k 时，对
11、于1x，()2(1)(1)f xxk x，所以不存在01x，当0(1,)xx时，恒有()(1)f xk x成立；所以2k 不符合题意.11 分当2k 时，设2()()(1)(1)3lnh xf xk xxk xxk.因为22(1)3()xk xh xx，令()0,h x 即22(1)30 xk x.因为2(1)240k，解得22121(1)241(1)24,44kkkkxx.又因为2k，所以120,1xx.取02xx.当0(1,)xx时，()0h x，则()h x 在0(1,)x上单调递增.第 6 页 共 9 页所以()(1)0h xh.即()(1)f xk x.所以2k 符合题意.15 分故
12、实数 k 的取值范围是(,2).16分20.解析（）数列15 91115，不存在“心灵契合数列”.1 分因为1+5+9+11+15=41，则*141 110N5 1b，*24159N51b，*34198N51b，*441 1115N512b.所以数列15 91115，不存在“心灵契合数列”.3 分（）数列 nb为单调递减数列.4 分因为111nnnnaabbm，*11,nmnN5 分又因为12maaa，所以有10nnaa,所以1101nnnnaabbm6 分即12mbbb成立所以数列 nb为单调递减数列.7 分（）1i0，b0，a2，b1.10 分22【解析】（）因为221111tt，且222
13、22222141211yttxtt，所以 C 的直角坐标方程为221(1)4yxx 3 分直线 l 的直角坐标方程为 23110 xy5分（）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，）C上的点到 l 的距离为4cos11|2cos2 3sin11|377当23 时，4cos113取得最小值7，故C上的点到 l 距离的最小值为7 10分23解析（）取 AD 中点 O,连接,OP OB BD.因为 PAPD,所以 POAD.又侧面 PAD 底面 ABCD，面 PAD 面 ABCDAD，PO 平面 POD,所以 PO 平面 ABCD,易知 POOB.范围没写扣 1 分第 23 题第
14、8 页 共 9 页又在菱形 ABCD 中,60BCD，O 为 AD 中点，则 BOAD.故建立以 O 为坐标原点，,OA OB OP 分别 为,x y z 轴的坐标系.1 分因为 ABCD 菱形，且60BCD,2PAPD，则(0,3,0)(0,0,1)(2,3,0)(1,0,0)BPCD，又,E Q 是中点，则(1,3,0)E、3 1(1,)22Q，所以(1,0,0)AP ，(1,3,0)AB ，3 1(1,)22BQ ，设面 PAB 的一个法向量为(,)nx y z，直线 BQ 与平面 PAB 所成角，则030AP nxyAB nxy ，取1y ，则3,3xz，故(3,1,3)n 所以 si
15、n|cos,|n BQ 3334222|1472,故直线 BQ 与平面 PAB 所成角的正弦值为4214.5 分（）由（）可知,BOAD POAD,因为侧面 PAD 底面 ABCD,且平面 PAD 底面 ABCDAD,所以 PO 底面 ABCD.以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系Oxyz.则1,0,0,1,3,0,0,0,1,2,3,0DEPC,因为Q 为 PC 中点,所以3 11,22Q.所以3 10,3,0,0,22DEDQ,所以平面 DEQ 的法向量为11,0,0n.因为3 11,3,0,0,22DCDQ ,设平面 DQC 的法向量为2,nx y z,则2200DC nDQ n ,
16、即3031022xyyz .令3x,则1,3yz,即23,1,3n.所以12121221cos,7n nn nn n ，所以122sin,77n n 故所求二面角的正弦值为 2 77.10 分第 9 页 共 9 页24.解析（）设化学成绩获得 A 等第的学生原始成绩为 x，等级成绩为 y，由转换公式得：951008586xyxy，即14(85)8610 xy1433010 x，所以 143309610 x 92.1x，2 分根据成绩统计表显示满足92.1x的同学只有 3 人，获得 A 等级的学生有 15故恰好有 1 名同学的等级成绩不小于 96 分的概率为213122151235C CPC.4 分（）由题意等级成绩不小于 96 分人数为 3 人，获得 A 等级的人数由 15 人，则0331251524(0)91C CPC；1431251545(1)91C CPC；2331251520(2)91C CPC；323125152(3)91C CPC,8 分所以分布列为则期望45202()0231919191E .10 分0123P2491459120912919 分
