1、 2020 年高考江苏卷数学真题试卷（含答案）参考公式：柱体的体积VSh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 1,0,1,2,0,2,3AB，则 AB 2已知i 是虚数单位，则复数(1 i)(2i)z 的实部是 3已知一组数据4,2,3,5,6aa的平均数为 4，则a 的值是 4将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 5如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2，则输入 x 的值是 6在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线222105()
2、xyaa 的一条渐近线方程为52yx，则该双曲线的离心率是 7已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时，23f xx，则8f 的值是 8已知2sin()4=23，则sin 2 的值是 9如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.10将函数sin(32)4yx的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 11设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和221()nnSnnnN，则 d+q 的
3、值是 12已知22451(,)x yyx yR，则22xy的最小值是 13在ABC 中，43=90ABACBAC，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若3()2PAmPBm PC（m 为常数），则 CD 的长度是 14在平面直角坐标系 xOy 中，已知3(0)2P，A，B 是圆 C：221()362xy上的两个动点，满足 PAPB，则PAB 面积的最大值是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，
4、B1C 的中点（1）求证：EF平面 AB1C1；（2）求证：平面 AB1C平面 ABB1 16（本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB（1）求sinC 的值；（2）在边 BC 上取一点 D，使得4cos5ADC，求 tanDAC的值17（本小题满分 14 分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上，桥 AB 与MN 平行，OO为铅垂线(O 在 AB 上)经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离1h(米)与 D 到OO的距离 a(米)之间满足关系式21140ha；右侧曲线
5、BO 上任一点 F 到 MN 的距离2h(米)与 F 到OO的距离 b(米)之间满足关系式3216800hbb.已知点 B 到OO的距离为 40 米（1）求桥 AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括端点).桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 32 k(万元)(k0)，问O E为多少米时，桥墩 CD与 EF 的总造价最低？18（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F
6、2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B（1）求12AF F的周长；（2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP的最小值；（3）设点 M 在椭圆 E 上，记OAB与MAB的面积分别为 S1，S2，若213SS，求点 M 的坐标19（本小题满分 16 分）已知关于 x 的函数(),()yf x yg x与()(,)h xkxb k bR 在区间 D 上恒有()()()f xh xg x（1）若 222 2()f xxxg xxxD ，求 h(x)的表达式；（2）若2 1 ln,()()()(0)xxgkxhkxk Df xxx，求 k 的取值范
7、围；（3）若422342()2()(48()4 3 0)2 2f xxxg xxh xtt xttt，,2,2Dm n，求证：7nm20（本小题满分 16 分）已知数列()nan*N的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn设 与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有 11111kkknnnSSa成立，则称此数列为“k”数列（1）若等差数列 na是“1”数列，求 的值；（2）若数列 na是“3 23”数列，且0na，求数列 na的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列 na为“3”数列，且0na？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由数学试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基
8、本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共计 70 分.10,223 324 195 36 327 48 13912 3210524x 11412 4513185 或 01410 5二、解答题15本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.证明：因为,E F 分别是1,AC BC 的中点，所以1EFAB.又/EF 平面11AB C，1AB 平面11AB C，所以 EF平面11AB C.（2）因为1B C 平面 ABC，AB 平面 ABC,所以1BCAB.又 ABAC,1B C 平面11AB C,AC 平面1ABC,1,BC
9、ACC所以 AB 平面1ABC.又因为 AB 平面1ABB,所以平面1ABC 平面1ABB.16本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分 14 分.解：（1）在ABC中，因为3,2,45acB，由余弦定理2222cosbacacB，得2922 32cos455b ，所以5b.在ABC中，由正弦定理 sinsinbcBC，得52=sin45sinC，所以5sin.5C（2）在ADC中，因为4cos5ADC,所以ADC为钝角，而180ADCCCAD ,所以C为锐角.故22 5cos1 sin,5CC则sin1tancos2CCC.因
10、为4cos5ADC，所以23sin1cos5ADCADC，sin3tancos4ADCADCADC.从而31tan()242tantan(180)tan()=311tantan111()42ADCCADCADCCADCCADCC .17本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分.解：（1）设1111,AA BB CD EF 都与 MN 垂直，1111,A B D F 是相应垂足.由条件知，当40OB 时，31140640160,800BB 则1160AA.由21160,40OA 得80.OA 所以804
11、0120ABOAOB（米）.（2）以 O 为原点，OO 为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy（如图所示）.设2(,),(0,40),F x yx则3216,800yxx 3211601606800EFyxx.因为80,CE 所以80OCx.设1(80,),D xy则211(80),40yx所以22111160160(80)4.4040CDyxxx 记桥墩CD 和 EF 的总造价为()f x，则3232131()=(1606)(4)80024013(160)(040).80080f xkxxkxxkxxx2333()=(160)(20)80040800kfxkxxx x，令()=0fx，得20.
12、x 所以当20 x 时，()f x 取得最小值.答：（1）桥 AB 的长度为 120 米；（2）当OE 为 20 米时，桥墩CD 和 EF 的总造价最低.18本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 16 分.解：（1）椭圆22:143xyE 的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，则2224,3,1abc.所以12AF F的周长为 226ac.（2）椭圆 E 的右准线为4x.设(,0),(4,)P xQy，则(,0),(4,)OPxQPxy，2(4)(2)44,OP QPx xx
13、在2x 时取等号.所以OP QP的最小值为 4.（3）因为椭圆22:143xyE 的左、右焦点分别为12,F F，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，212AFF F，则123(1,0),(1,0),(1,)2FFA.所以直线:3430.ABxy设(,)M x y，因为213SS，所以点 M 到直线 AB 距离等于点O 到直线 AB 距离的 3 倍.由此得|343|3 0403|355xy，则 34120 xy或3460 xy.由2234120,143xyxy得2724320 xx，此方程无解；由223460,143xyxy得271240 xx，所以2x 或27x .代入直线:3460lxy
14、，对应分别得0y 或127y .因此点 M 的坐标为(2,0)或212(,)77.19本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分 16 分.解:（1）由条件()()()f xh xg x，得222 2xxkxbxx，取0 x，得 00b，所以0b 由22xxkx，得22()0 xk x，此式对一切(,)x 恒成立，所以22 0()k，则2k，此时222xxx 恒成立，所以()2h xx（2）1 ln,()()()()0,hg xk xxxx.令()1lnu xxx，则1()1,u xx 令()=0u x，得1x .所以min()0(1)u
15、 xu.则1lnxx 恒成立，所以当且仅当0k 时，()()f xg x恒成立另一方面，()()f xh x恒成立，即21xxkxk 恒成立，也即2()1 1+0 xk xk恒成立因为0k，对称轴为102kx，所以214 1)0()kk，解得 13k 因此，k 的取值范围是 03.k（3）当12t 时，由()()g xh x，得2342484()32xtt xtt，整理得4223328()0.()4ttxtt x令3242=()(328),tttt则642=538ttt 记64253()1),28(ttttt 则53222062(31)(3()06tttttt t恒成立，所以()t在1,2上是
16、减函数，则(2)()(1)t，即 2()7t 所以不等式()有解，设解为12xxx，因此217nmxx当 01t 时，432()()11 34241fhtttt 设432=342(41)ttttv t，322()=1212444(1)(31),v tttttt令()0v t，得33t 当33(0)t，时，()0v t，()v t 是减函数；当(1)33t，时，()0v t，()v t 是增函数(0)1v ，(1)0v，则当 01t 时，()0v t（或证：2()(1)(31)(1)0v tttt）则(1)(1)0fh，因此 1()mn，因为22mn-，所以217nm 当20t 时，因为()f
17、x，()g x 均为偶函数，因此7nm也成立综上所述，7nm20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分解：（1）因为等差数列na是“1”数列，则11nnnSSa，即11nnaa，也即1(1)0na，此式对一切正整数n均成立若1 ，则10na 恒成立，故320aa，而211aa ，这与na是等差数列矛盾所以1 （此时，任意首项为1的等差数列都是“11”数列）（2）因为数列*()nanN是“3 23”数列，所以1133nnnSSa，即1133nnnnSSSS 因为0na，所以10nnSS，则113113
18、nnnnSSSS 令1nnnSbS，则23113nnbb ，即221(1)(1)(1)3nnnbbb解得2nb，即12nnSS，也即14nnSS，所以数列nS是公比为4的等比数列因为111Sa，所以14nnS则21(1),34(2).nnnan （3）设各项非负的数列*()nanN为“3”数列，则11133311nnnSSa，即 33311nnnnSSSS因为0na，而11a ，所以10nnSS，则 31311=1nnnnSSSS 令 31=nnnSSc，则3311(1)nnnccc，即333(1)(1)(1)nnnccc（*）若0 或=1，则（*）只有一解为=1nc，即符合条件的数列na只有
19、一个（此数列为1，0，0，0，）若1 ，则（*）化为3232(1)(1)01nnnccc，因为1nc ，所以3232101nncc，则（*）只有一解为=1nc，即符合条件的数列na只有一个（此数列为1，0，0，0，）若 01，则3232101nncc 的两根分别在（0，1）与（1，+）内，则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）所以1nnSS 或31nnSt S 由于数列nS从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列nS有无数多个，则对应的na有无数多个综上所述，能存在三个各项非负的数列na为“3”数列，的取值范围是 01 数学(附加题)21【选做
20、题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）平面上点(2,1)A在矩阵11ab M对应的变换作用下得到点(3,4)B（1）求实数 a，b 的值；（2）求矩阵 M 的逆矩阵1MB选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知点1(,)3A 在直线:cos2l 上，点2(,)6B 在圆:4sinC 上（其中0，02 ）（1）求1，2 的值；（2）求出直线l 与圆 C 的公共点的极坐标C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分
21、10 分）设 xR，解不等式 2|1|4xx【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）在三棱锥 ABCD 中，已知 CB=CD=5,BD=2，O 为 BD 的中点，AO平面 BCD，AO=2，E 为 AC的中点（1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF=14BC，设二面角 FDEC 的大小为，求 sin 的值23（本小题满分 10 分）甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重
22、复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn（1）求 p1，q1 和 p2，q2；（2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示)数学(附加题)参考答案21【选做题】A选修 4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：（1）因为123=114ab ，所以213,24,ab 解得2ab，所以2112 M（2）因为2112 M，det2 2 1150 （）（）M，所以 M 可逆，从而121551255 -MB选修4-4：坐
23、标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：（1）由1 cos23，得14；24sin26，又（0，0）（即（0，6）也在圆C上，因此22 或0（2）由cos2,4sin,得 4sincos2，所以sin 21 因为0，0 2 ，所以4，=2 2所以公共点的极坐标为(2 2,)4 C选修4-5：不等式选讲本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分10分解：当x0时，原不等式可化为 224xx，解得203x；当 10 x 时，原不等式可化为 224xx，解得 10 x；当1x 时，原不等式可化为 224xx，解得 2 1x 综上，原
24、不等式的解集为2|23xx22【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力满分10分解：（1）连结OC，因为CB=CD，O为BD中点，所以COBD又AO平面BCD，所以AOOB，AOOC以OBOC OA，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz因为BD=2，5CBCD，AO=2，所以B（1，0，0），D（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）因为E为AC的中点，所以E（0，1，1）则 AB=（1，0，2），DE=（1，1，1），所以|102|15|15|53cosAB DEAB DEABDE，因此，直线AB与DE所成角的余弦值为1515
25、（2）因为点F在BC上，14BFBC，BC=（1，2，0）所以11 1(,0)44 2BFBC 又2 0,0DB（,），故7 1(,0)4 2DFDBBF设1111()xyz，n为平面DEF的一个法向量，则1100,DEDF，nn即111110710,42xyzxy，取12x，得17y，15z，所以1(27 5)n，设2222()xyz，n为平面DEC的一个法向量，又 DC=（1，2，0），则2200,DEDC，nn即22222020,xyzxy，取22x，得21y，21z，所以2(211)n，故2112|475|13|co|13786snnnn所以22 391coss n13i 23【必做题
26、】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力满分10分解：（1）113111133CC1CC3p，113211133CC2CC3q，11113121211111111113333CCCC1270(1)CCCC3927ppqpqpq，1111111133222112211111111111133333333CCCCCCCC()(1)CCCCCCCCqpqpq11216=9327q（2）当2n 时，1111312111111111113333CCCC120(1)CCCC39nnnnnnnppqpqpq，1111111133222112111111111111333
27、33333CCCCCCCC()(1)CCCCCCCCnnnnnqpqpq112=93nq，2，得1111124121222399333nnnnnnnpqpqqpq 从而1112(211)3nnnnpqpq，又111312pq，所以11 112()1()3 331nnnnpq，*n N 由，有1313()595nnqq ，又135115q，所以1113()1595nnq，*n N 由，有13111()210111()()33925nnnnnpq，*n N 故311 111()()1092 35nnnnpq，*n N nX 的概率分布nX012P1nnpqnqnp则*1()0(1)121(),3nnnnnnE Xpqqpn N
