1、第一节 数列的概念与简单表示法教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数3以常见数列为背景，利用通项公式、递推公式求数列的项.以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.基础梳理1数列的有关概念概念含义数列按照排列的一列数数列的项数列中的数列的通项 数列an的第n项an一定顺序每一个数通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式表示，这个公式叫作数列的通项公式前n项和数列an中，Sn叫作数列的前n项
2、和anf(n)a1a2an2.数列的表示方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an，n1，n2.S1SnSn14数列的分类三基自测1(必修52.1例3改编)在数列an中，a11，an1 1an1(n2)，则a4()A.32B.53C.74D.85答案：B2(必修52.1教材引例改编)把3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)则第6个三角形数是()A27 B.28C29 D.30答案：B3(必修52.1练习改编)数列1，23，35，47，59，的一个通项公式an是_答案：n2n14(必修5习题2.1A组改编)观察下面数列的特
3、点，用适当的数填空，并写出一个数列的通项公式()，4，9，()，25，()，49，an_.答案：1 16 36(1)nn2考点一|已知数列的前几项写通项公式(思维突破)【例1】(1)下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1 B.an1n12Can2sin n2D.an1n132(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：1,7，13,19，；0.8,0.88,0.888，；12，14，58，1316，2932，6164，；32，1，710，917，；0,1,0,1，；9,99,999,999 9，.解析(1)由an2sin n2，可得a11，a22，
4、a31，a42，.故选C.(2)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an891 110n.各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为232，原数列可化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.将数列统一为32，55，710，917，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，
5、联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它的一个通项公式为an2n1n21.an0n为奇数，1n为偶数.或an11n2或an1cos n2.这个数列的前4项可以写成101,1001,1 0001,10 0001，所以它的一个通项公式an10n1.名师点拨 1此类题目利用由特殊到一般的归纳推理即观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求2抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征，如奇数，偶数；(2)相邻项的变化特征，增加多少，减少多少，几倍关系，平方关系等；(3)拆项后的特征，、
6、分数等；(4)各项符号特征，符号(1)n或(1)n1.3常见数列的通项公式：(1)自然数列：1,2,3,4，ann；(2)奇数列：1,3,5,7，an2n1；(3)偶数列：2,4,6,8，an2n；(4)平方数列：1,4,9,16，ann2；(5)2的乘方数列：2,4,8,16，an2n；(6)正整数的倒数列：1，12，13，14，an1n；(7)重复数串列：9,99,999,9 999，an10n1；(8)符号数列：1,1，1,1，或1，1,1，1，an(1)n或an(1)n1.跟踪训练(1)数列3,7，11,15，的通项公式可能是()Aan4n7 B.an(1)n(4n1)Can(1)n(
7、4n1)D.an(1)n1(4n1)答案：C(2)根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：4,6,8,10，；112，123，134，145，；a，b，a，b，a，b，(其中a，b为实数)；3,33,333,3 333，.答案：an2(n1)(nN)an(1)n1nn1ana，n为奇数，b，n为偶数an13(10n1)考点二|已知递推关系求通项公式(方法突破)方法1 用累加法求数列型的通项公式【例2】在数列an中，a12，an1an3n2，则an_.解析 因为an1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 n3n12(n2)当n1时，
8、a12 12(311)，符合上式，所以an32n2n2.答案 32n2n2方法2 用累乘法求数列的通项公式【例3】已知数列an中，a11，(n1)annan1，则数列an的通项公式an_.解析 由(n1)annan1，可得an1an n1n.当n2时，anan1 nn1，an1an2n1n2，a3a232，a2a12.将以上各式累乘求得ana1n，ann，而n1也适合数列的通项公式为ann.答案 n方法3 用转化法求数列的通项公式【例4】在数列an中a11，an13an2，则an_.解析 因为an13an2，所以an113(an1)，所以 an11an13，所以数列an1为等比数列，公比q3.
9、又a112，所以an123n1，所以an23n11.答案 23n11名师点拨 典型的递推数列及处理方法递推式方法转化过程an1anf(n)累加法(a2a1)(a3a2)(anan1)ana1an1an f(n)累乘法a2a1a3a2a4a3an1an2 anan1ana1an1panq(p0,1，q0)转化法化为an1mp(anm)构造anm为等比数列跟踪训练(1)在数列an中，已知a11，an12an1，则其通项公式为an()A2n1 B.2n11C2n1 D.2n2答案：A(2)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.答案：nn121(3)在数列an中，a11，ann1n an
10、1(n2)则an_.答案：1n考点三 数列的性质【例5】(1)已知ann1n1，那么数列an是()A递减数列B.递增数列C常数列D.摆动数列(2)数列an的通项annn290，则数列an中的最大项是()A3 10B.19C.119D.1060解析(1)an12n1，将an看作关于n的函数，nN*，易知an是递增数列故选B.(2)令f(x)x90 x(x0)，运用基本不等式，得f(x)2 90，当且仅当x3 10时等号成立因为an1n90n，所以1n90n12 90，由于nN*，不难发现当n9或n10时，an 119最大故选C.答案(1)B(2)C名师点拨 1解决数列的单调性问题可用以下三种方法
11、(1)用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列(2)用作商比较法，根据an1an(an0或an0)与1的大小关系进行判断(3)结合相应函数的图象直观判断2解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值3数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，求数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解跟踪训练(1)(2018河北“五个一名校联盟”测试)已知数列an满足：an1anan1(n2，nN*)，a11，a22，Sn为数列an的前n项和，则S2 018()A3 B.2C1 D.0解析：因为an1anan1，a11，
12、a22，所以a31，a41，a52，a61，a71，a82，故数列an是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 0182 01660a2 017a2 018a1a23.故选A.答案：A(2)(2018郑州市质量预测)已知函数f(x)2a1x4，x1，ax，x1的定义域为R，数列an(nN*)满足anf(n)，且an是递增数列，则a的取值范围是()A(1，)B.12，C(1,3)D.(3，)解析：由题意，得a1，a2a1，即a1，a22a14，解得a3，故选D.答案：D考点四|数列性质、Sn与an的关系及应用(易错突破)【例6】(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式
13、为_(2)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析(1)当n1时，a1S13212，当n2时，Sn13(n1)22(n1)1，anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5，an2，n1，6n5，n2.(2)当n1时，S1a11，所以 1S1 1.易知Sn0，因为an1Sn1SnSnSn1，所以 1Sn 1Sn11，即 1Sn1 1Sn1，所以1Sn 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 1Sn(1)(n1)(1)n，所以Sn1n.答案(1)an2，n1，6n5，n2 (2)1n名师点拨 由Sn求an时，当n2时才有anSnSn1，对n1时的结果进
14、行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写跟踪训练(1)数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6()A344B.3441C45D.451解析：当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a23S13a13，an1n1，34n2n2.当n6时，a63462344.答案：A(2)在本例(1)中，若Sn3n22n，则an_.解析：a1S1321，当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5，而n1也适合an6n5.答案：6n5
