1、第 1 页 共 7 页梅州市高三总复习质检试题（2022.4）数学参考答案与评分意见一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9101112BDBCDABCABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.2 214.183515.331416.12四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（
2、本小题满分 10 分）解:（1）依题意，由余弦定理得:2222cosBCDBDCDB DCBDC.2 分149 127,2.3 分解得：.7BC.4 分（2）依题意，由正弦定理得:sinsinBCDBBDCDCB，.5 分所以32sin212sin.77DBBDCDCBBC.6 分因为 DBDC,所以DCB为锐角，所以232 7cos1 sin1.77DCBDCB.7 分12345678DDBAADCB第 2 页 共 7 页因为,BDCADCA 所以,ABDCDCABDCDCB .8 分所以sinsin(60)sin 60 coscos60 sinADCBDCBDCB.9 分32 712121
3、.272714.10 分18.(本小题满分 12 分)解：（1）选条件：1*,4nnnNaan，得124(1)nnaan，.1 分24(1)44nnaann，即数列212,kkaa均为公差为 4 的等差数列，.2 分于是2114(1)432(21)1kaakkk，.3 分又1224,3aaa，.4 分224(1)41=2(2)1kaakkkg，.5 分所以21.nan.6 分选条件：因为数列nSn为等差数列，且nSn的前3 项和为6，得3122361232SSSS ，.1 分所以222S，.2 分所以nSn的公差为212 1121SSd ，.3 分得到21(1),.nnSnn Snn .4 分
4、当2212,(1)21.nnnnaSSnnn.5 分第 3 页 共 7 页又112 1 1.a 所以21.nan.6 分（2）因为122214(21)(21)nnnnnaanbnnaa.7 分221112(21)(21)nn，.9 分所以12nnTbbb2222221 1111112 1335(21)(21)nn.10 分22112(1)1.2(21)(21)n nnn.12 分19.(本小题满分 12 分)解：（1）()f x 的定义域为 R，()2xfxe，.1 分令()0fx，即2xe，解得ln 2x，.2 分令()0fx，即2xe 解得ln 2x，.3 分综上所述，()f x 的单调递
5、减区间为(,ln 2)，单调递增区间为(ln 2,).5 分（2）令()2cos,(,0)2xg xexx x，()sin2xg xex，.7 分因为当(,0)2x 时，()(1)(sin1)0 xg xex，.8 分所以()g x 在(,0)2单调递减.9 分所以()(0)0g xg，.10 分所以函数()g x 在(,0)2上无零点.11 分即方程()cosf xx在(,0)2上无实根.12 分第 4 页 共 7 页20.(本小题满分 12 分)（1）证明:因为四边形 ABCD 是直角梯形,E F 分别是的,AD BC 中点,所以/,ABEFCD EFAE EFDE.2 分又,AEDEEE
6、F平面,AED.3 分AD平面,AED 所以 EF.AD.4 分（2）由(1)可知CD 平面 AEDCDAD,Rt ADC中,2224 162 2,ADACCD.5 分又2,AEED所以222,AEEDAD即.AEDE.6 分所以,.EFED EFEA EAED以 E 为原点，分别以,ED EF EA 所在直线作,x y z 轴，建立如图的空间直角坐标系：则3(0,3,0),(0,0,2),(2,4,0),(0,0).2FACQ.7 分设(,),0,1,P x y zAPAC所以(,2)(2,4,2),x y z.8 分得:2,4,22.xyz.9 分22223|(2)(4)(22)2PQ.1
7、0 分22524204252524().1212.11 分第 5 页 共 7 页则当512 时,有|PQ 最小值 5 36.12 分所以线段 PQ 长的最小值为 5 36.21.（本小题满分 12 分）解：（1）设动点),(yxP，由抛物线定义可知点 P 的轨迹是以)1,0(F为焦点，直线1:yl为准线的抛物线，.2 分所以动点 P 的轨迹方程为yx42.3 分（2）解法一：依题可设).4,(),4,(),1,(2222110 xxBxxAxQ.4 分由yx42,即：214yx，求导得：,2xy.5 分所以切线QBQA,的斜率分别是.2,22211xkxk.6 分所以QA的方程是),(2411
8、21xxxxy点)1,(0 xQ的坐标代入,得：),(24110121xxxx即.0421021xxx.7 分同理可得.0422022xxx.8 分于是21,xx是方程04202xxx的两根.所以120122,4.xxx x x.9 分由1202xxx，得120,2xxx即：.MQl.10 分由1 24x x ，121 212 2x xk k ，第 6 页 共 7 页所以QAQB，即：点Q 在圆 M 上.11 分所以直线l 和圆 M 相切.12 分（2）解法二：依题可设01122(,1),(,),(,).Q xA x yB x y则2211224,4.xy xy.4 分由yx42,即：214y
9、x，求导得：,2xy.5 分所以切线QBQA,的斜率分别是.2,22211xkxk.6 分所以直线QA的方程是1111(),2yyx xx即11220,x xyy同理可得直线QB 的方程是22220.x xyy.7分点)1,(0 xQ的坐标代入,得：0 11022220,220.x xyx xy于是直线 AB 的方程是0220.x xy.8 分令0 x 得1y .所以直线 AB 过焦点(0,1)F.又由02220,4x xyxy得220(2)10yxy，.9 分所以21202,yyx有定义得2120|24AByyx.10 分而点 M 到直线l 的距离为：22012021111(4)|2222x
10、yydxAB .11 分所以直线l 和以 AB 为直径的圆 M 相切.12 分22.(本小题满分 12 分)解：（1）设感染率为 p，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量 X 表示这10个人一共所需的检验次数.1 分第 7 页 共 7 页若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，1X ：若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时11X，.2 分且1010(1)(1),(11)1(1)P XpP Xp.4 分于是平均检测次数是101010()1(1)11 1(1)11 10(1)E Xppp.6 分这10个人一共所需平均检测次数是1011 10(1)p.8 分（2）病毒感染率为万分之一，即410p，于是采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：4 1010000011 10(1 10)110000 100000 0.999 1010010.10 分即进行“10合1混采检测”方案，10万人估计需要的检测次数为10100，比“一人一检”方案少使用约100000 1010089900份检测试剂.12 分
