1、132.2几何概率1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型2掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率1几何概率定义1设试验的全集是长度为正数的区间，A是的子区间，如果试验的结果随机地落在中，则称P(A)为事件A发生的概率，简称A的概率2几何概率定义2设试验的全集是面积为正数的区域，A是的子区域，如果试验的结果随机地落在中，则称P(A)为事件A发生的概率，简称A的概率3几何概率的性质(1)0P(A)1(概率总是0，1中的数)(2)P()1(必然事件的概率是1)(3)P()0(不可能事件的概率为0)(4)如果A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)P(A)P(A)1(对
2、立事件概率之和等于1)1判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个()(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个()(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等()(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等()(5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()A.B
3、C. D解析：选A.因为正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长应在6 cm与9 cm之间所以M应落在如图所示的区域内，故其概率P.3.如图，转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，则转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为()A. BC. D解析：选D.转盘停在任何一个位置是等可能的，因为阴影部分对应的扇形面积(或弧长)之和是整个圆的面积(或周长)的，所以所求概率P.几何概率的判断学生用书P53下列概率模型中，几何概率的个数为()从区间10，10内任取出一个数，求取到1的概率；从区间10，10内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10，10内任取出一个整数
4、，求取到大于1而小于2的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率A1B2C3 D4【解析】不是几何概率，虽然区间10，10内有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概率，因为区间10，10和1，1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；不是几何概率，因为区间10，10上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；是几何概率，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性【答案】B根
5、据几何概率的定义即可判断 1.判断下列试验是否为几何概率？并说明理由(1)在某月某日，求某个市区降雨的概率；(2)设A为圆上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率解：(1)不是几何概率，因为其不具有等可能性；(2)是几何概率，因为其具有无限性与等可能性，符合几何概率的特征与长度有关的几何概率学生用书P53国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使
6、含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？【解】根据题意，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉就是在40秒以前按错了键，在40秒后按错了键不会被擦掉，所以概率为P.与长度有关的几何概率问题，要把握好全集所代表的区域长度以及子区域所代表的区域长度，当子区域被赋予 了一定条件后可能变得较为复杂，因此，要时刻依据条件确定区域长度2.某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是，则河宽为()A80米B100米C40米 D50米解析：选B.该物品能够被找到的路径长为(500x)米，由
7、几何概型知，解得x100，故选B.与面积有关的几何概率学生用书P54设点M(x，y)在|x|1，|y|1时按均匀分布出现，试求满足：(1)xy0的概率；(2)xy1的概率；(3)x2y21的概率【解】满足|x|1，|y|1的点组成一个边长为2的正方形ABCD，则S正方形ABCD4.(1)方程xy0的图象是直线AC，满足xy0的点在AC的右上方，即在ACD内(含边界)，而SACDS正方形ABCD2，所以P(xy0).(2)设E(0，1)、F(1，0)，则xy1的图象是EF所在的直线，满足xy1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，如图所示而S五边形ABCFES四边形AB
8、CDSEDF4，所以P(xy1).(3)满足x2y21的点是以原点为圆心的单位圆O，SO，满足题意的点如图所以P(x2y21).把满足不等式的点的集合在直角坐标平面上找出来，然后运用几何概率的计算公式 3.街道旁边有一游戏：在铺有边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可免费重掷一次；若小圆板全部落在正方形内可再交5角，再掷一次；若小圆板压在塑料板的顶点上，可获得1元钱试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解：(1)如图所示，因为小圆板O落在正方形ABCD内任何位置
9、是等可能的，小圆板与正方形ABCD的边相交是在小圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板的边相交因此，试验全部结果构成的区域是边长为9 cm的正方形，设事件A为“小圆板压在塑料板边上”S正方形9981(cm2)，S阴影997732(cm2)故所求概率P(A).(2)小圆板与正方形的顶点相交是在小圆板的中心O到正方形ABCD的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm时，如图所示的阴影部分设事件B为“小圆板压在塑料板顶点上”S正方形9981(cm2)，S阴影12(cm2)，故所求的概率P(B).1在求解与长度有关的几何概率时，首先找到几何区域D，
10、这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生所对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率2当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率另外要特别注意：几何概率的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积)成正比，而与A的位置和形状无关求试验的几何概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解(1)适当选择观察角度，注意区分几何量是长度还是角度或是面积(2)几何概率，事件A发生在总区域内也是均匀的，即是等可能的1面积为S的ABC中，D是BC的中点，向A
11、BC内部投一点，那么点落在ABD内的概率为()A.BC. D解析：选A.向ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型设点落在ABD内为事件M，则P(M).2一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是()A. BC. D解析：选C.到达路口看到红灯或黄灯或绿灯亮是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的测度是5，试验的全部结果构成的区域测度是3054580，则P(A).3.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在xOT内的概率为_解析：
12、记“射线OA落在xOT内”为事件A.构成事件A的区域测度是60，所有基本事件对应的区域测度是360，所以由几何概型的概率公式得P(A).答案：4判断下列试验中事件发生的概率是古典概率还是几何概率(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率解：(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有6636(种)，且它们都是等可能的，因此事件发生的概率属于古典概率(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡
13、量，即与区域面积有关，因此属于几何概率A基础达标1已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.BC. D解析：选C.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1 min，而整个区域的时间长度为11 min，故由几何概率的概率公式，得P(A).2在区间1，1上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为()A. BC. D解析：选A.在区间1，1上随机取一个实数x，cos的值位于0，1区间，若使cos的值位于0，区间，取到的实数x应在区间1，1内，根据几何概率的计算公式可知P.3.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影
14、区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为()A. BC. D无法计算解析：选B.由几何概率的公式知：，又S正方形4，所以S阴影.4已知集合Ax|1x5，Bx|2x3，在集合A中任取一个元素x，则事件“xAB”的概率为()A. BC. D解析：选A.ABx|2x3，因为集合A表示的区间长度为5(1)6，集合AB表示的区间长度为321，所以事件“xAB”的概率为，故选A.5在区间0，1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0，1内的概率是()A. BC. D解析：选A.设在0，1内取出的数为a，b，若a2b2也在0，1内，则有 0a2b21.如图，试验的全部结果所
15、构成的区域为边长为1的正方形，满足a2b2在0，1内的点在单位圆内(如图中阴影部分所示)，故所求概率为，故选A.6向边长为2的正六边形内任意投掷一点，则该点到正六边形的所有顶点的距离均不小于1的概率是_解析：如图，根据题意可知，只要点落在图中的空白区域即可，所求的概率是图中空白区域的面积和正六边形的面积之比，故所求的概率为11.答案：17在区间1，2上随机取一个数x，则x0，1的概率为_解析：因为区间1，2的区间长度为3，随机数x的取值区间0，1的区间长度为1.所以由几何概率知x0，1的概率为.答案：8ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O
16、的距离大于1的概率为_解析：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为2，取到的点到O的距离大于1的概率为1.答案：19已知集合Ax|x23x40，Bx|0(1)在区间(4，5)上任取一个实数x，求“xAB”的概率；(2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“abAB”的概率解：(1)由已知得Ax|x23x40x|4x1，Bx|0x|2x4，显然ABx|2x1设事件“xAB”的概率为P1，由几何概型的概率公式得P1.(2)依题意，(a，b)的所有可能的结果一共有以下20种：(3，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(2，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(0，1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)又ABx|4x0且1，即2ba.依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为如图阴影部分由得交点坐标为.所以所求事件的概率为P.
