1、第9讲 幂函数 1.了解幂函数的概念.2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12 的图象，了解它们的变化情况.1.幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，是常数.2.幂函数的图象图 2-9-1五个常用幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，yx1 的图象，如图 2-9-1.3.幂函数 yx的图象 在第一象限内，直线 x1 的右侧，图象由下至上，指数由小到大；y 轴和直线x1之间，图象由上至下，指数由小到大.4.五个常用幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，yx1 的性质幂函数yxyx2yx3yx12yx1定义域RRR_(，0)(0，)值域R0，)R0，
2、)_奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性单调递增在(，0)上，单调递减；在(0，)上，单调递增单调递增单调递增在(，0)上，单调递减；在(0，)上，_定点(0,0)，(1,1)(1,1)0，)(，0)(0，)单调递减2.函数 yx 的图象是(1.所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是()A.(0,0)C.(1,1)B.(0,1)D.(1，1)ABCD13CB3.若幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 yf(x)的图象是()CABCD4.如图 2-9-2，曲线是幂函数 yx在第一象限内的图象.已12图 2-9-2c4,c2,c3,c1知分别取1,1,2四个值，则相应图象依次为：_.考点1幂函数
3、的概念例 1：(1)已知幂函数 f(x)kx 的图象过点12，22，则 k()A.12B.1 C.32D.2答案：C解析：由幂函数的定义知 k1.又 f12 22，所以12 22.解得 12.从而 k32.故选 C.(2)(2017 年江西九江七校联考)幂函数 f(x)(m2 4m 4)在(0，)为增函数，则 m 的值为()A.1 或 3C.3B.1D.2268mmx解析：由题意，可知 m24m41，m2 6m80，解得 m1.故选 B.答案：B【规律方法】(1)幂函数 yx的特点：系数必须为 1；指数必须为常数.(2)第(2)小题求出 m1 或 m3 后需根据幂函数为增函数可知 m3 不符合
4、题意.【互动探究】1.已知函数 g(x)loga(x3)2(a0，a1)的图象经过定点M，若幂函数 f(x)x的图象过点 M，则的值等于()A.1B.12C.2D.3解析：函数 g(x)loga(x3)2(a0，a1)的图象经过定点 M(4,2)，若幂函数 f(x)x的图象过点 M(4,2)，则 42.12.故选 B.B考点2 幂函数的图象 例2：请把如图 2-9-3 所示的幂函数图象的代号填入下面的表格内.AEBFCGDH图2-9-3函数代号图象代号yx23；yx2；yx12；yx1；yx13；yx43；yx12；yx53.答案：E CA G BD HF【规律方法】(1)探讨幂函数图象的分布
5、规律，应先观察图象是否过原点，过原点时0，否则0，再观察图象 是上凸还是下凸，上凸时 01；最后由x1 时，的值按逆时针方向依次增大得出结论.(2)幂函数yx(R)的图象如下表：qp001p，q 都 是奇数p 为奇数，q 为偶数p 为偶数，q 为奇数【互动探究】2.下面给出 4 个幂函数的图象(如图 2-9-4)，则图象与函数的大致对应是()图 2-9-4A.yx13；yx2；yx12；yx1B.yx3；yx2；yx12；yx1C.yx2；yx3；yx12；yx1D.yx13；yx12；yx2；yx1解析：yx2 为偶函数，对应；yx12，定义域 x0，对应；yx1 为奇函数，且图象与坐标轴不
6、相交，对应；yx3 与 yx13均为奇函数，但 yx3 比 yx13增长率大，故对应yx3.故选 B.答案：B考点3比较大小例 3：(1)(2016 年新课标)已知 a243，b323，c2513，则()A.bacB.abcC.bcaD.cab解析：因为 a243423，b323，c2513523，又幂函数 yx23在0，)上是增函数，所以 323423523，即 ba0，f13 12131313，由幂函数 yx13单调递增，得 f13 121313130；f12 12121213，由指数函数 y12x 单调递减，得 f12 121212131 时单调递增，0a0 时在第一象限单调递增，0 时
7、在第一象限单调递减.1213，1313，1212【互动探究】)Cc 的大小关系是(A.abcC.bacB.acbD.bca解析：因为函数 y 0.6x 是减函数，00.60.60.60.61.5，即 ba1.因为函数 yx0.6 在(0，)上是增函数，110.61，即c1.综上所述，bac.故选C.3.(2015年山东)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，易错、易混、易漏对幂函数 yx0 理解不透彻例题：已知幂函数 f(x)x m2 2 m3(mZ)的图象与 x 轴、y轴都无交点，且关于 y 轴对称，试确定 f(x)的解析式.正解：由题意，得m22m30，|m22m3|是偶数，mZ.由，得1m3.再由，得 m1,1,3.当 m1 和 3 时，解析式为 f(x)x01(x0)；当 m1 时，解析式为 f(x)x4.【失误与防范】一般说来，幂函数f(x)x m2 2 m3(mZ)的图象与x 轴、y 轴都无交点，应该马上想到指数小于零，其实函 数f(x)x0 的图象为除掉点(0,1)的直线y1(x0)，该图象与x轴、y 轴也都无交点，且关于y 轴对称，完全符合上题，但容易忽略而出错.
