1、第16讲 导数在函数中的应用 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的单调性函数 yf(x)在(a，b)内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f(x)0)，由 f(x)0，得 ln x1ln1e，x1e.由 f(x)0，得 lnx1ln1e，0 x0，即 x22x30.解得3x0a2160 a4.
2、故选 D.2.(2016 年新课标)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)上单调递增，则实数 a 的取值范围是()A.1,1 B.1，13C.13，13D.1，13 解析：由题意，得 f(x)123cos 2xacos x0 在(，)上恒成立，故 123(2cos2x1)acos x0，即43cos2xacos x530，即43t2at530 对 t1,1恒成立.构造函数g(t)43t2at53，因为函数 g(t)开口向下，所以二次函数 g(t)的最小值的可能值为端点值，故只需保证g113a0，g113a0，解得13a13.故选 C.答案：C思想与方法运用分类讨论思想讨论函数
3、的单调性例题：(2016年新课标)已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.设 aa，则ln(2a)0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.)若a1.e2故当 x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(
4、x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.故 f(x)在(1，)上至多有一个零点，在(，1)上至多有一个零点.由于 f(2)a0，f(1)e0，则 f(2)f(1)0.根据零点存在性定理，f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.而当 x1 时，exe，x21e(x2)a(x1)2a(x1)2e(x1)e.因此，当 x1 且 x0.则 a(x1)2e(x1)e0 的两根 t1e e24ae2a1，t2e e24ae2a1，t10，故当 xt2 时，a(x1)2e(x1)e0，设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(，ln(2a)，又 f(1)e0，根据零点存在性定理，f(x)在(，1)上有
5、且只有一个零点.所以 f(x)有两个零点.设 a0，则 f(x)(x2)ex，所以 f(x)有一个零点.e2(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.f(x)极小值f(1)e0，f(x)极大值fln(2a)aln(2a)2210，故此时函数 f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a时，f(x)ex(x2)ex2a(x1)(x1)(ex若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在e2e)0 恒成立，此时函数 f(x)至多一个零点，不符合题意，舍去；e2(，1)，(ln(2a)，)上单调递增.f(x)极大值f(1)e0，f(x)极小值f(ln(2a)0，此时函数
6、f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(0，).【规律方法】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.【互动探究】3.(2017 年广东深圳模拟)已知函数 f(x)12x22aln x(a2)x，当 a0 时，讨论函数 f(x)的单调性.解：函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)x2ax a2x2xax.当a2，即 a2 时，f(x)x22x0，f(x)在(0，)上单调递增.当 0a2，即2a0 时，0 x2 时，f(x)0；当ax2 时，f(x)2，即 a2 时，0 xa 时，f(x)0；2xa 时，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减.综上所述，当 a2 时，f(x)在(0，)上单调递增；当2a0 时，f(x)在(0，a)，(2，)上单调递增，在(a,2)上单调递减；当 a2 时，f(x)在(0,2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减.
