1、第三章 统计案例 1 回归分析1.1 回归分析 1.2 相关系数 1.3 可线性化的回归分析学习目标重点难点1.理解相关关系和函数关系的区别和联系，会求相关系数，并能判断其相关程度2会用最小二乘法求线性回归方程3在实际问题中，能借助线性回归方程进行预测或估值等4会进行可线性化的回归分析，拟合函数，并根据拟合程度调整函数关系.1.重点是利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，会求回归方程2难点是进行可线性化的回归分析，拟合函数，解决实际问题.一、阅读教材：1.1回归分析，完成下列问题1线性回归方程设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，线性回归方程为yabx则lxx_，lxy_
2、，lyy_，i1nxi x 2i1nx2in x 2i1nxi x yi y i1nxiyin x yi1nyi y 2i1ny2in y 2b lxylxx _ _，a _i1nxi x yi y i1nxi x 2i1nxiyin x yi1nx2in x 2y b x回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值是否一定为真实值？提示：不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等二、阅读教材：1.2相关系数的有关内容，完成下列问题2相关系数计算r lxylxxlyyi1n
3、xi x yi y i1nxi x 2i1nyi y 2_i1nxiyin x yi1nx2in x 2i1ny2in y 2性质范围r_线性相关程度(1)|r|越大，线性相关程度_；(2)|r|越接近于0，线性相关程度_；(3)当r0时，两个变量_相关；(4)当r0时，两个变量_相关；(5)当r0时，两个变量线性_1,1 越高 越低 正 负 不相关 1对于回归分析，下列说法错误的是()A在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定B线性相关系数可以是正的或是负的C回归分析中，如果r21或r1，说明x与y之间完全线性相关D样本相关系数r(，)解析：相关系数的取值范围
4、应为|r|1答案：D三、阅读教材：1.3可线性化的回归分析的有关内容，完成下列问题3可线性化的回归分析通 过 变 换 先 将 非 线 性 函 数 转 化 成 线 性 函 数，利 用_得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程最小二乘法 2试将yaebx转化为线性函数解：先对yaebx两边取对数得ln yln abx记uln y，cln a，则ucbx即为所求的线性函数线性回归方程及其应用某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(要求：点要描粗)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线
5、性回归方程 ybxa(相关公式：bi1nxiyin x yi1nx2in x 2，a y b x)解：(1)如图所示(2)i14xiyi6283105126158，x 68101249，y 235644，i14x2i6282102122344，b158494344492 14200.7，a y b x40.792.3，故线性回归方程为 y0.7x2.3互动探究 试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力解：由本例中线性回归方程当x9时，y0.792.34，预测记忆力为9的同学的判断力约为4【点评】(1)求线性回归方程的基本步骤：画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；计
6、算：x，y，i1nx2i，i1ny2i，i1nxiyi；代入公式求出 ybxa 中参数 b，a 的值；写出线性回归方程并对实际问题作出估计(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义1从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位：千元)的数据资料，算得i110 xi80，i110yi20，i110 xiyi184，i110 x2i720(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa；(2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元
7、，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程 ybxa 中，bi1nxiyin x yi1nx2in x 2，a y b x，其中 x，y 为样本平均值解：(1)由题意知 n10，x 1ni1nxi80108，y 1ni1nyi20102又i1nx2in x 2720108280，i1nxiyin x y184108224，由此可得 bi1nxiyin x yi1nx2in x 224800.3，a y b x20.380.4，故所求回归方程为 y0.3x0.4(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b0.30)，故x与y之间是正相关(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.
8、7(千元)相关系数关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系解：x 17(21232527293235)27.4，y 17(711212466115325)81.3，i17x2i2122322522722923223525 414，i17x iyi 217 2311 2521 2724 2966 321153532518 542，i17y2i7211221224266211523252124 393，ri17xiyi7 xyi17x2i7 x 2i17y2i7 y 218 542727.481.35
9、414727.42124 393781.320.837 5由于 r0.837 5 与 1 比较接近，x 与 y 具有线性相关关系【点评】回归分析是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的，对于相关关系不明确的两个变量，可先作散点图，由图粗略地分析它们是否具有相关关系，在此基础上，求其回归方程，并作回归分析2下列说法中正确的有()若r0，则x增大时，y也相应增大；若r0，则x增大时，y也相应增大；若r1或r1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上A BCD解析：本题考查两个变量的相关性，若r0，则表示两个变量正相关，x增大时，y也相应增大，故正确若r0，则表示两个变
10、量负相关，x增大时，y相应减小，故错误|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故正确答案：C研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如下表：可线性化的回归分析刹车时的车速/(km/h)0102030405060刹车距离/m00.31.02.13.65.57.8(1)以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(2)观察散
11、点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，请推测刹车时的速度为多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解：(1)散点图如图所示(2)由图像，设函数的表达式为 yax2bxc(a0)，将(0,0)，(10,0.3)，(20,1.0)代入，得c0，100a10bc0.3，400a20bc1.0，解得 a0.002，b0.01，c0所以，函数的表达式为 y0.002x20.01x(0 x140)经检验，表中其他各值也符合此表达式(3)当y46.5时，即0.002x20.01x46.5，所以，x25
12、x23 2500解得x1150，x2155(舍去)故可推测刹车时的速度为150 km/h，而150140，因此发生事故时，汽车属于超速行驶【点评】本题利用了给出数据的散点图，准确找到与之拟合较好的函数类型来刻画，然后将非线性问题转化为线性问题来处理，这是解决此类问题的常用策略3在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立 y 与 x 之间的回归方程解：由数值表可作散点图如图所示根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系，设 ykx，令 t1x，则 ykt，原数据变为t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如图所
13、示由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系列表如下：itiyitiyit2iy2i141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062517.753694.2521.312 5430所以 t 1.55，y 7.2所以 bi15tiyi5 tyi15t2i5 t 24.134 4，a yb t0.8所以 y0.84.134 4t所以 y 对 x 的回归方程是 y0.84.134 4x1回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法2回归直线 yabx 过点(x，y)，其中 x 1ni1nxi，y 1ni1nyi3相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；相关系数越接近于0，相关性越弱4对于确定具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决建立回归模型的步骤：(1)确定研究对象，明确变量关系；(2)画出散点图，观察变量之间的关系；(3)由经验确定回归方程的类型；(4)按一定规则估计回归方程中的参数点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十九)谢谢观看！
