1、第四章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)(x3)ex的单调递减区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)答案A解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x0在1,1上恒成立，即f(x)在1,1上是单调递增的，故当x1时，f(x)max6.4(2014浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a()A2B3C4D5答案D解析f (x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f (x)0的实数根，a5.5(
2、2014淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x0是其极值点的函数是()Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)答案B解析对于A，f (x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f (x)sinx，当x(，0)时，f (x)0，故f(x)cosx在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f (x)cosx10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.6已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值
3、范围是()A(，)(，)B(，)C(，)D，答案D解析f (x)3x22ax1，f(x)在(，)上是单调函数，且f (x)的图像是开口向下的抛物线，f (x)0恒成立，4a2120，a，故选D.7如图是函数yf(x)的导函数的图像，给出下面四个判断：f(x)在区间2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在区间1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数；x2是f(x)的极小值点其中，所有正确判断的序号是()A BC D答案B解析由函数yf(x)的导函数的图像可知：(1)f(x)在区间2，1上是减函数，在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；(2)f(x)在x1处取得极小值，在x2处取得
4、极大值故正确8(2014银川九中二模)已知f(x)x2sin(x)，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图像是()答案A解析f(x)x2cosx，f(x)xsinx，1sinx1，且f (x)f (x)，f (x)为奇函数，排除B、D；令g(x)xsinx，则g(x)cosx，当x(0，)时，g(x)0，g(x)在(0，)上为减函数，即f (x)在(0，)上为减函数，排除C，故选A.9(2013华池一中高二期中)若关于x的方程x33xm0在0,2上有根，则实数m的取值范围是()A2,2 B0,2C2,0 D(，2)(2，)答案A解析令f(x)x33xm，则f (x)3x233(x1)(x1
5、)，显然当x1时，f (x)0，f(x)单调递增，当1x1时，f (x)0，f(x)单调递减，在x1时，f(x)取极大值f(1)m2，在x1时，f(x)取极小值f(1)m2.f(x)0在0,2上有解，2m2.10(2014天门市调研)已知函数f(x)asinxbcosx在x时取得极值，则函数yf(x)是()A偶函数且图像关于点(，0)对称B偶函数且图像关于点(，0)对称C奇函数且图像关于点(，0)对称D奇函数且图像关于点(，0)对称答案D解析f(x)的图像关于x对称，f(0)f()，ba，f(x)asinxbcosxasinxacosxasin(x)，f(x)asin(x)asin(x)asi
6、nx.显然f(x)是奇函数且关于点(，0)对称，故选D.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为_答案c0.解得c1e，从而f(x)maxf(1)1.13(2014沈阳质检)已知函数f(x)x(xa)(xb)的导函数为f(x)，且f(0)4，则a22b2的最小值为_答案8解析f(x)x(xa)(xb)，f(x)(xa)(xb)x(xa)(xb)，f(0)ab4，a22b22ab8.14若函数yx36x2m的极大值等于13，则实数m等于_答案19解析y3x212x，由y0，得x0或x4，容易得出当x4
7、时函数取得极大值，所以43642m13，解得m19.15(2014哈六中期中)已知函数f(x2)是偶函数，x2时f (x)0恒成立(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，且f(4)0，则不等式(x2)f(x3)2时，f (x)0，f(x)在(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减，又f(4)0，f(0)0，0x4时，f(x)0，x4时，f(x)0，由(x2)f(x3)0得(1)或(2)由(1)得x3；由(2)得2x0，且f(x)的极大值为5，极小值为1，求f(x)的解析式答案f(x)x33x21解析f(x)x3ax2b，f(x)3x22ax.令f(x)0，得x0或x.又a0，0.当x0时，f
8、(x)0；当x0时，f(x)0.f(x)在(，)和(0，)上是增函数，在(0，)上是减函数f()是f(x)的极大值，f(0)是f(x)的极小值，即f()()3a()2b5；f(0)b1，解得a3，b1.所求的函数解析式是f(x)x33x21.17已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围答案(1)a3或a1，b0(2)(5，)(，1)解析(1)f(x)3x22(1a)xa(a2)，由于函数f(x)的图像过原点，则f(0)0，从而b0，又函数图像在
9、原点处的切线斜率是3，则f(0)3，所以a(a2)3，解得a3或a1.(2)令f(x)0，即3x22(1a)xa(a2)0，解得x1a，x2.由于函数f(x)在区间(1,1)上不单调，则有，或，解得，或.所以a的取值范围是(5，)(，1)18(2015北京文，19)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点答案(1)f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)；极小值(2)略解析(1)由f(x)kln x，(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x.f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：
10、x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)；f(x)在x处取得极小值f().(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间( 1，上仅有一个零点. 19在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底
11、箱子如图，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？答案箱底的边长是40cm时，容积最大，最大容积16000cm3解析设箱底边长为xcm，则箱高hcm，得箱子容积V(x)x2h(0x60)，V(x)60x(0x60)令V(x)60x0，解得x0(舍去)，x40，并求得V(40)16000.由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，故当x40cm时，箱子的容积最大，最大容积是16000cm3.20已知函数f(x)2lnxx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图像在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在，e上有两个零点，求实数m的取值范围答案
12、(1)y2x1(2)(1,2解析(1)当a2时，f(x)2lnxx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2lnxx2m，则g(x)2x.x，e，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e20，则g(e)g()g(x)在，e上的最小值是g(e)而g(x)在，e上有两个零点，则，解得1m2，实数m的取值范围是(1,221(2014韶关市曲江一中月考)已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时，
13、f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立答案(1)f(x)x33x(2)增区间(，1)，(1，)；减区间(1,1)极大值2(3)略解析(1)f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，即ax3cxdax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又当x1时，f(x)取得极值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x1，当1x1时，f (x)0，函数f(x)单调递减；当x1时，f (x)0，函数f(x)单调递增；函数f(x)的递增区间是(，1)和(1，)；递减区间为(1,1)因此，f(x)在x1处取得极大值，且极大值为f(1)2.(3)由(2)知，函数f(x)在区间1,1上单调递减，且f(x)在区间1,1上的最大值为Mf(1)2.最小值为mf(1)2.对任意x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2)|Mm4成立即对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立
