1、第十四章 选修部分 第70节 参数方程考纲呈现 了参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用直线的参数方程解决问题.诊断型微题组 课前预习诊断双基1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么xft，ygt就是曲线的参数方程 通过消去参数2常见曲线的参数方程和普通方程 1将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值
2、域，即x和y的取值范围 2直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离 1若曲线C的参数方程为x1cos 2，ysin2(为参数)，则曲线C上的点的轨迹是()A直线x2y20 B以(2,0)为端点射线 C圆(x1)2y21 D以(2,0)和(0,1)为端点的线段【答案】D【解析】曲线x1cos 2ysin2，(为参数)，消去参数，得：x2(1y)，即 x2y20，(0 x2，y0)，点(x，y)的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段 2已知直线xx0at，yy0bt(t为参数)上两点A，B对应的参数值是
3、t1，t2，则|AB|等于()A|t1t2|B|t1t2|C.a2b2|t1t2|D|t1t2|a2b2【答案】C【解析】由题a(x0at1，y0bt1)，B(x0at2，y0bt2)，所以|AB|2(y0bt2)(y0bt1)2(x0at2)(x0at1)2(a2b2)(t1t2)2，|AB|a2b2|t1t2|.3直线x2t，y1t(t为参数)与曲线x3cos，y3sin(为参数)的交点个数为_【答案】2【解析】直线方程可化为xy10，曲线方程可化为x2y29，圆心(0,0)到直线xy10的距离d 12 22 3.故直线与圆相交，有两个交点故答案为2.4直线l：x1 2t，y2 2t(t为
4、参数)上到点A(1,2)的距离为4 2的点的坐标为_【答案】(3,6)或(5，2)【解析】设直线l上到点A的距离为4 2的点为点Q(x，y)，则|QA|11 2t222 2t2 2t2 2t24 2，解得t22，所以Q(3,6)或Q(5，2)故答案为(3，6)或(5，2)形成型微题组 归纳演绎形成方法 参数方程与普通方程的互化(2018贵州遵义模拟)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：xt，yta)(t为参数)过椭圆C：x3cos，y2sin)(为参数)的右顶点，求常数a的值【解】直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为x29y241，椭圆C的右顶点坐标为(3,0)直线l过(3,0)，3
5、a0，a3.微技探究 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数(2)利用三角恒等式消去参数(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围 (2018河北保定模拟)已知两曲线参数方程分别为x 5cos，ysin(0)和x54t2，yt，(tR)求它们的交点坐标【解】将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x25 y21(0y1，5 x5)和y2 45 x，联立解得交点为1，2 55.参数方程的应
6、用(2017全国，22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x3cos，ysin(为参数)，直线l的参数方程为xa4t，y1t(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为 17，求a.(1)【解】曲线C的普通方程为x29y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由 x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425.从而C与直线l的交点坐标为(3,0)，2125，2425.(2)【解】直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos，sin)到l的距离为d|3cos 4sin a4|17.当a4时，d的最大值为a917.由题设得
7、a917 17，所以a8；当a0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1t23 2，t1t24.又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23 2.极坐标方程和参数方程的综合应用(2017全国，22)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x2t，ykt(t为参数)，直线l2的参数方程为x2m，ymk(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin)20，M为l3与C的交点，求M的极径【解】(1)消去参数t得l1的普通方程l1：
8、yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y1k(x2)设P(x，y)，由题设得ykx2，y1kx2，消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)联立2cos2sin24，cos sin 20 得cos sin 2(cos sin)故tan 13，从而cos2 910，sin2 110.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为 5.微技探究 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后
9、在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想 (2018 安徽十校联考)已知在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是x3t，ym 3t(t 是参数，m 是常数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 asin3，点M 的极坐标为4，6，且点 M 在曲线 C 上(1)求 a 的值及曲线 C 的直角坐标方程；(2)若点 M 关于直线 l 的对称点 N 在曲线 C 上，求|MN|的长【解】(1)将点M的极坐标4，6 代入方程asin3，得4asin63，所以a4.由4sin3 得
10、2sin 2 3cos，22sin 2 3cos，将xcos，ysin)代入化简得x2y22 3x2y0，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22 3x2y0.(2)由 x2y22 3x2y0 配方得(x 3)2(y1)24，曲线 C 是圆，且圆心坐标为(3，1)易知点 M 在圆 C 上，由点 M 关于直线 l 的对称点 N 在圆 C 上，得直线 l 经过圆 C 的圆心，33t，1m 3t，m2.这时直线 l 的参数方程是x3t，y2 3t，消去参数 t，得 x 3y2 30，易知点 M 的直角坐标为(2 3，2)，点 M 到直线 l 的距离为 3，|MN|2 3.目标型微题组 瞄准高考使命必达1
11、(2018全国，22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x2cos，y4sin(为参数)，直线l的参数方程为x1tcos，y2tsin(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率【解】(1)曲线C的直角坐标方程为x24y2161.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又
12、由得t1t242cos sin 13cos2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.2(2018全国，22)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为xcos，ysin(为参数)，过点(0，2)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程【解】(1)O的直角坐标方程为x2y21.当2时，l与O交于两点 当2时，记tan k，则l的方程为ykx 2.l与O交于两点当且仅当21k21，解得k1或k1，即2，34或4，2.综上，的取值范围是4，34.(2)l的参数方程为xtcos，y 2tsin.t为参数，434 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tPtAtB2，且tA，tB 满足t22 2tsin 10.于是tAtB2 2sin，tP 2sin.又点P的坐标(x，y)满足xtPcos，y 2tPsin，所以点P的轨迹的参数方程是x 22 sin 2，y 22 22 cos 2 为参数，434
