1、广东省顺德容山中学2012届高三上学期第一次月考试题（数学理）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 第卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项符合题目要求.1已知集合，则集合=（ ）A B C D2复数的值是（ ）A1 B C D 3已知向量=，=，若，则|=（ ）A B C D 4已知,（ ）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇且偶函数5已知直线、,平面，则下列命题中： 若，,则 若，,则若，,则若，, ,则，其中真命题有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个（第6题图）6给出计算 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A B C D7“成等差数列”是“”成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 8规定记号“”表示一种运算，即 ，若，则=（ ）A B1 C 或1 D
3、2第卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9的展开式中的常数项是 （用数字作答）10右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为 11设平面区域是由双曲线的两条渐近线和抛物线的准线所围成的三角形（含边界与内部）若点，则目标函数的最大值为 12一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中)分/组 10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频 数2x3y24 则样本在区间 10，50 ) 上的频率
4、13已知数列满足,则该数列的通项公式 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为_PABOC15（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分分）设三角形的内角的对边分别为 ,（1）求边的长；（2）求角的大小；（3）求三角形的面积。17（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的
5、概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。第18题图CDBAPE18（本小题满分14分）如图，四边形为矩形，且，为上的动点.(1) 当为的中点时，求证：；(2) 设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的平面角大小为. 试确定点E的位置.20（本小题满分14分）已知向量，（其中实数和不同时为零），当时，有，当时，（1）求函数式；（2）求函数的单调递减区间；（3）若对，都有，求实数的取值范围21（本小题满分14分）已知数列、满足，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：；（3）求证：对任意的有成立2012届高三第一次月考理科数学参考答案与评分标
6、准一选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CDBABAAB5【解析】(2)(3)(4)为假命题，选B6【解析】.选A.7【解析】当都取负数时. 无意义。选A.8【解析】根据运算有.选B二填空题：共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题920 10. 113. 12. 13. 14 15 9【解析】常数项为：. 10【解析】该组合体的侧视图是上面边长为的正三角形，下面是边长为的正方形组合体的侧视图的面积为.xy A(1,2)11【解析】双曲线的两条渐近线为， 抛物线的准线为， 当直线过点时，. 12【解析】.另解：13【解析】.14【解析
7、】点的直角坐标为，过点平行于轴的直线方程为即极坐标方程为15【解析】由已知条件可求得圆的半径，圆的面积为三、解答题17（本小题满分12分）解： （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球. 因此它的概率P是： 4分（2）设摸得白球的个数为，则=0，1，2。 7分的分布列为：012P9分 12分18（本小题满分14分）方法一：(1) 证明：当为的中点时，从而为等腰直角三角形，则，同理可得，于是，2分又，且，4分 ，又，. 6分（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）（还可以
8、分别算出PE，PD，DE三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）(2) 如图过作于，连，则，7分为二面角的平面角. 9分设，则.11分于是13分，有解之得。点在线段BC上距B点的处. 14分 方法二、向量方法.以为原点，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图. 1分（1）不妨设，则，从而，5分于是，所以所以 6分（2）设，则，则 .10分易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则应有 即解之得，令则， 从而，12分依题意，即，解之得（舍去），13分所以点在线段BC上距B点的处 .14分 19（本小题满分14分）解：（1）法一：连结CP，由，知ACBCxyABCOP|CP|A
9、P|BP|，由垂径定理知即 -4分设点P（x，y），有化简，得到 -8分法二：设A，B，P，根据题意，知， 故 -4分又，有，故代入式，得到化简，得到 -8分（2）根据抛物线的定义，到直线的距离等于到点C（1，0）的距离的点都在抛物线上，其中，故抛物线方程为 -10分由方程组得，解得 -12分由于，故取，此时故满足条件的点存在的，其坐标为和 -14分20（本小题满分14分）解：（1）当时，由 得，；（且）-2分当时，由.得 -4分 -5分 （2）当且时， 由0,解得，-6分当时， -8分函数的单调减区间为（1，）和（，1） -9分（3）对，都有 即，也就是对恒成立，-11分由（2）知当时， 函数在和都单调递增-12分又，当时 ，当时， 同理可得，当时， 有，综上所述得，对， 取得最大值2； 实数的取值范围为. -14分（2）-6分证法1： -8分证法2： -8分（3）用数学归纳法证明： 当时，不等式成立；-9分假设当（，）时，不等式成立，即，那么当时-12分 当时，不等式成立由知对任意的,不等式成立-14分
