1、2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程目标定位重点难点1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程2.能根据条件确定抛物线的标准方程重点：抛物线的方程难点：抛物线的方程1抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)_的点的轨迹叫作抛物线点F叫作抛物线的_，直线l叫作抛物线的_距离相等焦点准线2抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程_y22px(p0)Fp2，0 xp2y22px(p0)Fp2，0 xp2图形标准方程焦点坐标准线方程_x22py(p0)F0，p2yp2x22py(p0)F0，p2yp21若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是()
2、A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线【答案】D【解析】圆心与A点的距离等于圆心到直线l的距离2(2019 年辽宁大连期末)若点 P 为抛物线 C：x212y 上的动点，F 为抛物线 C 的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B12 C14 D18【答案】D【解析】由抛物线定义，得|PF|yP1818，所以|PF|的最小值为18.3焦点在直线3x4y120上的抛物线标准方程为()Ax216y或y212xBx212y或y216xCx212y或y216xDx216y或y212x【答案】C【解析】直线3x4y120与坐标轴交于点(4,0)，(0，3)，若焦点为(4,0)，则抛物线的方程为y216x；若焦点
3、为(0，3)，则抛物线的方程为x212y.故选C.4抛物线y22x 的焦点坐标是_，准线方程是_【答案】12，0 x12【解析】抛物线 y22x 的焦点坐标是12，0，准线方程是 x12.【例1】动点到点(3,0)的距离比它到直线x2的距离大1，则动点的轨迹是()A椭圆B双曲线C双曲线的一支D抛物线【解题探究】根据抛物线的定义来解答抛物线的定义【答案】D【解析】已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线故选D.抛物线定义的考查有两个层次：一是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线二是当已知曲线是抛物线
4、时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|d，涉及距离、最值、弦长等利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决过抛物线焦点的弦的有关问题的有效途径1(2019 年广西河池期末)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0 的值为()A1 B2 C4 D8【答案】A【解析】由题意知抛物线的准线为 x14.因为|AF|54x0，根据抛物线的定义，得 x014|AF|54x0，解得 x01.【例2】已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，
5、m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和实数m的值；(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程求抛物线的标准方程、焦点、准线方程【解题探究】点M的横坐标小于0且焦点在x轴上，故可设抛物线方程为y22px(p0)，再利用M与焦点距离关系列方程组并求解【解析】(1)抛物线焦点在 x 轴上且过点 M(3，m)，设抛物线方程为 y22px(p0)，则焦点坐标 Fp2，0.由题意知m26p，m23p225，解得p4，m2 6 或p4，m2 6.所求抛物线方程为 y28x，m2 6.(2)p4，抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是 x2.焦点位置不同，抛物线标准方程的形式不同，对应的开口方向、焦点坐标、准线
6、方程也不同2已知抛物线的方程为y2ax(a0)，求它的焦点坐标和准线方程【解析】(1)当 a0 时，2pa，pa2.焦点坐标为a4，0，准线方程为 xa4.(2)当 a2，A 在抛物线内部设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d.由图，可知当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72.此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2.点 P 坐标为(2,2)与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，本题运用抛物线的定义“化折(线)为直”，充分体现了数学中的转化思想3已知点 M(2,4)及焦点为 F 的抛物线
7、y18x2，在抛物线上求一点 P，使|PM|PF|的值最小【解析】如图所示，设抛物线上的点 P 到准线的距离为|PQ|.由抛物线的定义，知|PF|PQ|，|PF|PM|PQ|PM|.当 P，Q，M三点共线时，|PM|PF|最小由 M(2,4)，可设 P(2，y0)，代入 y18x2，得 y012，故 P 点的坐标为2，12.考虑问题不全面致误【示例】抛物线上一点(5，2 5)到焦点 F(x,0)的距离是6，则抛物线的标准方程是()Ay22x，y218xBy24x，y236xCy24xDy218x，y236x【错解】由已知得x522 526，整理得 x210 x90.x1 或 x9，F(1,0)
8、或 F(9,0)若 F(1,0)，则 p2，方程为 y24x；若 F(9,0)，则 p18，方程为 y236x.故选 B.【错因分析】由已知求出 F(1,0)或 F(9,0)，只说明这两点到点(5，2 5)的距离为 6，并不代表点(5，2 5)一定在以 F(1,0)或 F(9,0)为焦点的抛物线上【警示】应用分类讨论的思想解题时，应注意验证分类的结果是否都符合题意【正解】由已知得x522 526，整理得 x210 x90，即(x1)(x9)0.x1 或 x9.F(1,0)，p2，y24x，或 F(9,0)，p18，y236x.显然，若抛物线为 y236x，则它的准线方程为 x9.由抛物线的定义
9、，点 A(5，2 5)到直线 x9 的距离应该是 6，而点 A(5，2 5)到直线 x9 的距离为 14，矛盾所求抛物线的标准方程为 y24x.故选 C.1标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标准方程，只须求出p的值即可，常用待定系数法用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线方程为y2ax(a0)，或者x2ay(a0)2求最值问题：数形结合，利用抛物线的定义转化为几何知识求解1(2019 年广东深圳期末)抛物线14x2y 的焦点坐标是()A0，116 B0，14C(0,1)D(0,4)【答案】C【解析】由14x2y，得 x24y，所以焦
10、点坐标为(0,1)2若抛物线y22px(p0)的准线方程为x4，则p的值为()A1B2C4D8【答案】D【解析】抛物线 y22px(p0)的准线方程为 x4，p24，解得 p8.故选 D3一动圆的圆心在抛物线y28x上且恒与直线x20相切，则动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)【答案】B【解析】直线x20为抛物线的准线，动圆过抛物线的焦点(2,0)故选B.4若抛物线 y22px 的焦点与椭圆x29y251 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_【答案】x2【解析】c2954，c2.椭圆x29y251 的右焦点为(2,0)p22.抛物线的准线方程为 xp22.点击进入WORD链接
