1、第二章 平面向量 7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例学习目标重点难点1.掌握点到直线的距离公式及其证明方法2.掌握利用向量方法解决解析几何问题的方法、步骤3.掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明确向量在物理中应用的基本题型.1.重点是点到直线的距离公式及其向量法证明，向量在几何中和物理中的应用2.难点是向量的实际应用.方向向量AA2B2，BA2B21直线的法向量和点到直线的距离公式(1)直线的法向量一般地，称与直线的_垂直的向量为该直线的法向量直线 l 的方向向量 v(B，A)，设 n(s，t)为直线 l 的法向量，则 nv(s，t)(B，A)sBtA0，
2、我们不妨取 sA，tB，则可以得到直线 l 的一个法向量 n(A，B)，n 的单位向量 n0 n|n|_.(2)点到直线的距离公式的推导过程(向量方法)如图，M(x0，y0)是直线 l：AxByC0 外一定点，P(x，y)是直线 l 上任意一点，则点 M 到直线 l 的距离等于向量PM 在直线 l 上的单位法向量 n0 方向上射影的长度：注意：一条直线的方向向量和法向量都有无数个 若直线方程为ykxb，则其方向向量常设为(1，k)，法向量常设为(k，1)若直线方程为AxByC0，则其方向向量常设为(B，A)，法向量则设为(A，B)|Ax0By0C|A2B2d|PM n0|PM n|n|(其中
3、n(A，B)利用向量数量积的坐标表示可得点到直线的距离公式为 d_.2思考：若直线l方程为3x4y10，则其单位法向量是多少？点A(2,4)到直线y2x1的距离是多少？提示：35，45 553向量在几何中的应用(1)要证明两线段 ABCD，可转化为证明|AB|2|CD|2.(2)要证明两线段 ABCD，只要证明存在一实数 0，使ABCD.(3)要证明两线段 ABCD，只要证明ABCD 0 即可(4)要证 A，B，C 三点共线，只要证明存在一实数，使ABAC成立；或若OA a，OB b，OC c，只要证明存在一个实数 t，使 cta(1t)b.(5)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式：c
4、os ab|a|b|.4向量在物理中的应用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的三角形法则或平行四边形法则求解(2)用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；结果还原为物理问题已知两点A(3,2)，B(1,4)到直线mxy3的距离相等，求m的值思路点拨：利用公式，建立关于m的方程求解探究一 点到直线的距离公式解：mxy3 化为 mxy30，由点到直线的距离公式可得|3m23|m21|m43|m21.解得 m6 或 m12.题后点评：求点 M(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离 d|Ax0By
5、0C|A2B2，若给出的直线方程不是一般方程，一定先把它化为一般方程，再用公式求距离1 点 P(1，2)到 直 线 l：3x 1 4y 的 距 离 等 于_.答案：2解析：3x14y 变为 3x4y10.点(1，2)到直线 l：3x 4y 10 的距离为 d|31421|32422.在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点求证：AFDE.探究二 向量在平面几何中的应用思路点拨：可建立直角坐标系，求出AF，DE 的坐标，通过证明AFDE 0 来证明也可直接将向量分解，通过数量积运算来证明证明：方法一 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形 ABCD 的边长为 2，则 A(0,0)，D(0
6、,2)，E(1,0)，F(2,1)，AF(2,1)，DE(1，2)因为AFDE(2,1)(1，2)220，所以AFDE，即 AFDE.方法二 设正方形边长为 1，由图形知AFABBFAB12BC，DE DA AEDA 12AB，于是AFDE AB12BC DA 12AB ABDA AB12AB12BCDA 12BC12AB0121200，因此AFDE，即 AFDE.题后点评：用向量证明平面几何问题的方法，常见思路有两种(1)向量的线性运算法：选取基底把待证问题用基底线性表示 利用向量的线性运算或数量积找相应关系 把向量问题几何化(2)向量的坐标运算法：建立适当的平面直角坐标系把相关向量坐标化
7、向量的坐标运算找相应关系 把向量问题几何化2已知点 O 是ABC 所在平面内一点，且满足|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2|OC|2|AB|2，求证：点 O 是ABC 的垂心证明：设OA a，OB b，OC c，则BC cb，CA ac，ABba.|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2|OC|2|AB|2，a2(cb)2b2(ac)2c2(ba)2.cbacba.故ABOC(ba)cbcac0，BCOA(cb)acaba0.ABOC，BCOA.点 O 是ABC 的垂心用两根长度相等的轻绳拉一物体，物体受到的重力为G，两绳受到的拉力为F1，F2，夹角为，如右图(1)求其中一根绳受的拉力|
8、F1|和|G|的关系式，用数学观点分析|F1|的大小与夹角的关系；(2)求|F1|的最小值；(3)如果每根绳承受的最大拉力为|G|，求的取值范围探究三 向量在物理中的应用思路点拨：用向量方法解决物理问题的一般步骤如下(1)用向量知识将物理问题转化为数学问题，即将物理量之间的关系抽象为数学模型，这是十分关键的一步；(2)利用向量的线性运算或数量积运算求解数学模型；(3)根据数学模型的解答结果解释或回答相关的物理问题解：(1)由力的平衡得 F1F2G0.设 F1，F2 的合力为 F，则 FG，F1F2F 且|F1|F2|，|F|G|.由直角三角形得 cos 212|F|F1|G|2|F1|，|F1
9、|G|2cos 2，0，180由于函数 ycos x 在 x0，180上为减函数，逐渐增大时，cos 2逐渐减小，|G|2cos 2逐渐增大当 增大时，|F1|也增大(2)由(1)可知，当 0时，|F1|有最小值为|G|2.(3)依题意得，|G|2|F1|G|，1212cos 21，即12cos 21.由于 ycos x 在 x0，180上为减函数，0260.0，120题后点评：本题的数学建模是运用力的平衡求出力的线性运算关系，通过直角三角形中的边角关系建立三角函数，由数学知识求解实际问题3.在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图所示)
10、，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小解：如图所示，两根绳子的拉力之和OA OB OC，且|OC|OG|300 N，AOC30，BOC60.在OAC 中，ACOBOC60，AOC30，则OAC90，从而|OA|OC|cos 30150 3(N)，|AC|OC|sin 30150(N)，|OB|AC|150 N.答：与铅垂线成 30角的绳子的拉力大小是 150 3 N，与铅垂线成 60角的绳子的拉力大小是 150 N.1直线的法向量(1)一般地，称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量，一条直线的法向量有无数个(2)直线l：AxByC0(A2B20)的一个方向向量是(B，A)，它的一个法向量是(
11、A，B)2点到直线的距离公式推导过程设 M(x0，y0)是直线 l：AxByC0 外一定点，P(x，y)为直线 l 上任意一点，n0 为 l 的单位法向量，点 M 到直线 l 的距离等于向量PM 在 n0AA2B2，BA2B2 方向上射影的长度，即有 d|PM n0|Ax0By0C|A2B2.3用向量解决平面几何问题的基本思想与方法(1)用向量法证明几何问题的基本思想：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算、性质、法则推出所要求证的结论(2)证明直线平行、垂直，线段相等等问题的基本方法：要证 ABCD，可转化为证明|AB|2|CD|2 或|AB|CD|.要证线段
12、 ABCD，只要证存在一个实数 0，使等式ABCD 成立即可要证线段 ABCD，只需证ABCD 0.4用向量解决平面几何问题的常用方法与步骤(1)根据操作过程可分为两种方法：基底法在图形中，选择基底，其他向量都用基底来表示基底的选择不同，可导致计算量的大小不同坐标法在图形中，建立恰当的坐标系，用向量坐标解决问题(2)用向量方法解决平面几何问题的基本步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系5用向量解决物理问题(1)利用向量知识研究物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象(2)明确用向量研究物理问题的相关知识：力、速度、加速度、位移都是向量；力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运用的叠加法即向量的合成；动量mv是数乘向量；功即是力F与所产生的位移s的数量积(3)解决问题的一般步骤：问题的转化：画出力的示意图，把物理问题转化成数学问题；模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；参数的获取：求出数学模型的相关解；问题的答案：回到问题的初衷，用已经获取的参数值去解释相关的物理现象点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十九)谢谢观看！
