1、第二章 平面向量 3 从速度的倍数到数乘向量3.2 平面向量基本定理学习目标重点难点1.理解并掌握平面向量基本定理2.能运用平面向量基本定理和向量的线性运算解决有关问题.1.重点是平面向量基本定理及应用2.难点是平面向量基本定理与线性运算的综合应用.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在_一对实数1，2，使a_.不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组_.唯一1e12e2 基底注意：基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个向量，就可以作为一组基底 零向量与任一向量共线，因此零向量不能作为基底 如果e1，e2是同一平面内的
2、两个不共线的向量，那么这一平面内的任一向量a都可用e1，e2唯一的一个线性组合1e12e2来表示，即若1e12e2xe1ye2，则1x，2y.2思考：基底有什么特点？平面内基底唯一吗？提示：基底的特征有两个，一个是在同一个平面内，第二个是作为基底的两个向量不共线平面内基底不唯一思路点拨：根据平面向量基本定理，结合向量的线性运算进行逐步分解探究一 用基底表示向量在ABC 中，ABa，ACb.(1)若 D 是 BC 上一点，且|BD|2|DC|，试用 a，b 表示AD；(2)若 E 是 BC 上一点，且BE14EC，试用 a，b 表示AE.解：(1)如图，由于 D 在 BC 上，且|BD|2|DC
3、|，所以BD 23BC.于是AD ABBD AB23BCAB23(ACAB)13AB23AC13a23b.(2)如图，由于BE14EC，所以BE15BC.于是AEABBEAB15BC AB15(AC AB)45AB15AC45a15b.题后点评：将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法是运用向量的线性运算法则将待求向量不断转化1如图所示，已知在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是BC，DC 边上的中点若ABa，AD b，试以 a，b 为基底表示DE，BF.解：四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点，AD BC2BE，CD BA2CF.CF12CD 1
4、2BA12AB12a.DE DA ABBEAD AB BEba12ba12b，BFBCCFAD CFb12a.思路点拨：(1)可用平面向量基本定理进行证明；(2)可用线性运算以及重心的定义求证探究二 平面向量基本定理与线性运算的综合应用已知ABC(1)若 D 是 BC 边的中点，求证：AD 12(ABAC)；(2)若点 M 满足MA MB MC 0，求证：M 是ABC 的重心证明：(1)因为 D 是 BC 边的中点，所以BD DC 12BC.于是AD ABBD AB12BC AB12(AC AB)12AB12AC.所以等式成立(2)如图，设 F 是 AB 边的中点因为MA MB MC 0，所以
5、MA MB MC.又MA MB 2MF，所以MC 2MF.于是 M，C，F 三点共线，即点 M 在中线CF 上，且是靠近 AB 边中点的一个三等分点，因此，M 是ABC的重心题后点评：在三角形中，中线、重心等与向量的关系非常重要，一些结论的用处非常广泛，须熟记例如，在ABC 中，若 M 是重心，AD，BE，CF 是三条中线，则下列结论都是成立的：(1)MA MB MC 0；(2)AM BM CM 0；(3)AD BECF0；(4)MD ME MF 0.2.如右图所示，已知OCB 中，点 C 是以 A 为对称中心的点 B 的对称点，点 D 在 OB 边上，且 DB13OB，DC 和 OA 交于点
6、 E，设OA a，OB b.(1)用 a 与 b 表示向量OC，DC；(2)若OE OA，求实数 的值解：(1)OC OB BCOB 2BA，BAOA OB，OC OB 2(OA OB)2OA OB 2ab；DC DB BC13OB 2BA13OB 2(OA OB)2OA 53OB 2a53b.(2)ABba，CB2(ba)，OC 2ab.CEOE OC a(2ab)(2)ab，CD DC 53b2a.CD，CE共线，存在唯一的实数 m，使CEmCD.即(2)abm53b2a.a，b 不共线，22m，153m.m35，45.45.平面向量基本定理：若e1，e2为基底，对于平面内任一向量a，存在
7、唯一实数对1，2，使a1e12e2.(1)任何向量a都可以表示成e1与e2的一个线性组合：a1e12e2(存在性)(2)这个线性组合的表达式是唯一的，即实数1，2唯一确定(唯一性)(3)若e1，e2不共线，则可以作为表示平面内所有向量的一组基底，但表示平面内向量的基底不唯一(4)e1，e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，若e1，e2共线，则e1e2，此时就不能用e1，e2表示平面内与e1，e2不共线的向量了，零向量不能作为基底(5)特别地，当a与e1共线时，20；当a与e2共线时，10；当a0时，120.(6)1e12e2叫作e1，e2的一个线性组合，由平面向量基本定理可知，若e1，e2不共线，e1和e2的所有线性组合构成的集合1e12e2，1，2R能表示平面内的全体向量(7)平面向量基本定理的推广：平面内任意三个不共线的向量，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且表示形式唯一点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十五)谢谢观看！
