1、第二章 平面向量 2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法学习目标重点难点1.理解并掌握向量加法的定义2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会用这两个法则作出两个向量的和向量3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会运用它们进行向量的运算1.重 点 是 向 量 加 法 的 定义、向量加法的三角形法则和平行四边形法则及其运算律2.难点是利用向量的加法法则求和向量、加法的运算及应用.1向量的加法的定义求两个向量_的运算，叫作向量的加法两个向量的和仍然是一个_和向量2向量的求和法则(1)三角形法则：如图所示，已知向量 a，b，在平面内任取一点 A，作ABa，BCb，再作向量AC，则向量AC
2、叫作向量_，记作 ab.这个法则叫作向量求和的_法则a与b的和三角形(2)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a，b，作ABa，AD b，则 A，B，D 三点不共线，以AB，AD 为邻边作平行四边形 ABCD，则_ab，这个法则叫作向量求和的_法则AC平行四边形注意：(1)运用向量加法的三角形法则时，要注意首尾相接(2)对于零向量与任一向量a，规定0aa0a.(3)当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的，但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不再适用(4)向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则：n 个向量经过平移，顺次首尾相接，组成一向量折线，
3、这 n 个向量的和等于折线起点到终点的向量，即A0A1 A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA0An.(5)由向量加法的三角形法则，可以得到：当a，b不共线时，|ab|a|b|；当a，b共线且反向时，|ab|a|b|；当a，b共线且同向时，|ab|a|b|.一般地，我们有|ab|a|b|.3思考：两向量和的三角形法则的实质是什么？能否推广到多个向量和的多边形法则？提示：用三角形法则求两个向量和的实质是，第一，将b(或a)平移，使两个向量的一个起点与另一个终点相连；第二将剩下的起点与终点相连，并指向终点则该向量即为两向量的和，也就是作平移首尾相连能推广到多个向量和的多边形法则4向量加法运算律
4、(1)交换律：ab_.(2)结合律：abc_ca_注意：由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向量的加法运算就可按照任意的次序与组合来进行例如，(ab)(cd)(bd)(ac)(ad)(bc)ba(ab)(bc)如图，已知向量a，b，c不共线求作向量abc.思路点拨：可用三角形法则或平行四边形法则求出ab，再与c求和探究一 利用向量的加法法则作和向量解：方法一 如图，在平面内作OA a，ABb，则OB ab；再作BCc，则OC abc.方法二 如图，在平面内作OA a，OBb，以 OA 与OB 为邻边作平行四边形 OADB，则OD ab；再作OC c，以 OD 与 OC 为邻边作平行四边
5、形 ODEC，则OE abc.题后点评：用三角形法则作两向量的和时，要注意保证两向量“首尾相接”；用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保证两向量有公共起点1如图，已知向量a与b，试用三角形法则作出和向量ab.解：在平面内任取一点 A，作ABa，BCb，则ACab.如图所示探究二 向量的加法运算如 图，已 知 O 为 正 六 边 形ABCDEF 的中心，化简下列向量：(1)OA OC；(2)BCFE；(3)OA FE.思路点拨：此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则，观察是否具备应用法则的条件若不具备，应改变条件，以便使用法则求解解：(1)由于 ABCDEF 是正六边形，O 是中心，所以四边
6、形OABC 是平行四边形，于是OA OC OB.(2)由于 ABCDEF 是正六边形，所以FEAO OD BC，因此BCFEAO OD AD，即BCFEAD.(3)OA FEOA OD 0.题后点评：1.化简、计算向量加法算式时，一般通过向量加法的交换律和结合律，使各个向量能够“首尾相接”或“起点相同”，然后再运用两个法则求解2化简时要结合所给平面几何图形的性质，发现其中长度相等的向量，互相平行的向量等，以便进行转化2化简：(1)CD BCAB；(2)ABDF CD BCFA.解：(1)CD BCAB(ABBC)CD ACCD AD.(2)ABDF CD BC FA(ABBC)(CD DF)F
7、AACCFFAAFFA0.探究三 向量加法的实际应用一艘船从点 A 出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为 2 km/h，求船实际航行的速度的大小与方向思路点拨：该问题属于实际应用题，其中船速和水的流速及两者间的方向关系明确垂直，因此解答本题可借助向量知识及直角三角形的边角关系求解解：如图，设AD 表示船垂直于对岸的速度，AB表示水流的速度，以 AD，AB 为邻边作平行四边形 ABCD，则AC就是船实际航行的速度在 RtABC 中，|AB|2，|BC|AD|2 3，所以|AC|AB|2|BC|24.因为 tanCAB2 32 3，所以CAB60.所以船实际航行的
8、速度的大小为4 km/h，方向是与水流的方向成60角题后点评：实际问题的向量解法的步骤把实际问题转化为向量问题 解决向量问题 把向量问题转化为实际问题3一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，求河水的流速解：如图，设AB表示渔船垂直于对岸的速度，则ABBCAC，AC就是渔船实际航行的速度由题意，渔船到达对岸的航行时间为 422(h)，渔船的实际航速为 824(km/h)因此，|AC|4 km/h.又|AB|2 km/h，ABBC，|BC|AC|2|AB|22 3 km/h.河水的流速是 2 3 km/h.1向量加法的注意事项(1)
9、两个向量的和仍为向量(2)零向量与任一向量a有a00aa.(3)用三角形法则求和必须使两个向量首尾相接(即前一个向量的终点与后一个向量的起点重合)，其和是第一个向量的起点指向第二个向量的终点(4)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的，当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了当求两个或多个向量的和时，各个向量首尾顺次连接，和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(5)在五边形 ABCDE 中，ABBCCD DE EA0，即在封闭图形中，所有向量依次相加的和为零向量2使用三角形法则的解题步骤用三角形法则求两个向量和的步骤：将b(或a)平移，使两个向量中一个向量的起点与另一个向量的终点相连；将剩下的起点与终点相连，箭头指向终点，该向量即为两个向量的和，也就是“作平移，首尾相连”点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十二)谢谢观看！
