1、广东实验中学20192020学年（下）高一级中段模块考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.
2、第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若a，b，则下列不等式成立的是（ ）A.B.C.D.2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）A.B.C.D.3.已知为等差数列的前n项和，若，则数列的公差（ ）A.4B.3C.2D.14.已知圆C（C为圆心，且C在第一象限）经过，且为直角三角形，则圆C的方程为（ ）A.B.C.D.5.在中，三条边分别为a，b，c，若，则三角形的形状（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线与的位
3、置关系是（ ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直7.在中，D是边上一点，则的值为（ ）A.B.C.D.8.在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法错误的是（ ）A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为2的等差数列9.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为（ ）A.2B.6C.D.1010.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，
4、若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.B.C.D.11.若直线与曲线没有公共点，则实数m的取值范围是（ ）A.B.C.D.12.已知正项数列的前n项和为，且.若对于任意实数，不等式（）恒成立，则实数t的取值范围为（ ）A.B.C.D.第二部分非选择题（90分）二.填空题13.在等比数列中，已知，则_.14.已知圆C的方程为，则过点且与圆C相切的直线l的方程_.15.若的两边长分别为2和3，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为_.16.给出以下三个结论：若数列的前n项和为（），则其通项公式为（）；锐角三角形中，；若正
5、实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是.其中正确的是_（把你认为正确的序号全部写上）二、解答题17.（10分）根据条件求下列圆的方程：（1）求经过，两点，并且圆心在直线上的圆的方程；（2）求半径为，圆心在直线上，被直线截得的弦长为的圆方程.18.（12分）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.19.（12分）已知不等式的解集为A.（1）若，求集合A；（2）若集合A是集合的真子集，求实数a的取值范围.20.（12分）已知数列的前n项和为，且满足（）.数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列与的通项公式.（2）若，数
6、列的前项和为，若对于任意不等式恒成立，求实数m的取值范围.21.（12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？22.（12分）在平面直角坐标系中，已知以点（）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线（）与圆C交于M，
7、N两点，且点为线段的中点.（）求m的值和圆C的方程；（）若Q是直线上的动点，直线，分别切圆C于A，B两点，求证：直线恒过定点；（）若过点（）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u，并求u的最大值.广东实验中学20192020学年（下）高一级中段模块考试数学答案1.若a，b，则下列不等式成立的是（ D ）A.B.C.D.2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ C ）A.B.C.D.3.已知为等差数列的前n项和，若，则数列的公差（ B ）A.4B.3C.2D.14.已知圆C（C为圆心，且C在第一象限）经过，且
8、为直角三角形，则圆C的方程为（ D ）A.B.C.D.5.在中，三条边分别为a，b，c，若，则三角形的形状（ A ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线与的位置关系是（ C ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直7.在中，D是边上一点，则的值为（ C ）A.B.C.D.8.在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法错误的是（ D ）A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为2的等差数列9.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为（ C ）A.2B.6C.D.10【分
9、析】因为直线横过定点A，设，则，即，所以.又知道A在直线上，得到m，n满足的关系，代入即可.【解答】解：设A点坐标为，依题意，即，所以，即A点坐标为，又知道A点在直线上，所以，即，所以，当且仅当，时，等号成立，故选：C.10.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ B ）A.B.C
10、.D.【解析】解：设点A关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为C，根据题意，为最短距离，先求出的坐标，的中点为，直线的斜率为1，故直线为，由，联立得故，所以，故，故选：B.11.若直线与曲线没有公共点，则实数m的取值范围是（ D ）A.B.C.D.【解析】解：由等价变形得：（），曲线表示以为圆心，半径为1的下半圆，作出曲线，以及直线，由直线和圆相切，即，解得或（舍去），当直线通过时，即，可得或时，直线与曲线没有公共点，故选：D.12.已知正项数列的前n项和为, ，且.若对于任意实数，不等式（）恒成立，则实数t的取值范围为（ A ）A.B.C.D.【解答】解：由，当时，.解得，当时，两式相减
11、得，整理得，由，所以，所以，所以数列是以2为首项，3为公差的等差数列，所以，所以，因此原不等式转化为对于任意的，恒成立，化为：，设，可得且，即有，即，可得或，则实数t的取值范围是故选：A.二.填空题13.在等比数列中，已知，则256.14.已知圆C的方程为，则过点且与圆C相切的直线l的方程和.15.若的两边长分别为2和3，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为.16.给出以下三个结论：若数列的前n项和为（），则其通项公式为（）；锐角三角形中，；若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是.其中正确的是（把你认为正确的序号全部写上）16.对于，数列的前n项和为（），（），（），又，通项公
12、式为，错误；正确对于，正实数x，y满足，可得，不等式恒成立，即恒成立，变形可得恒成立，即恒成立，即，解不等式可得，或（舍负）可得，要使恒成立，只需恒成立，化简可得，即，解得或，实数a的取值范围是，正确.综上，正确的命题是.二、解答题17.（10分）根据条件求下列圆的方程：（1）求经过，两点，并且圆心在直线上的圆的方程；（2）求半径为，圆心在直线上，被直线截得的弦长为的圆方程.【解析】解：（1），两点中点为，由题意知线段的垂直平分线方程为，由，解得，圆心，半径，所求圆的方程为；（2）设圆的方程为，圆心在直线上，.由圆被直线截得的弦长为，将代入，得，设直线交圆C于，则，所以，即，又，或，所求圆的方
13、程为或.18.（12分）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【解答】解：（1）法一：由正弦定理得，即，；，（1）法二：由余弦定理得化简得，（2）由，得中，由正弦定理，得，19.（12分）已知不等式的解集为A.（1）若，求集合A；（2）若集合A是集合的真子集，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.（1）由题意，当时，不等式，即，即，解得，所以集合（2）由，可得，当时，不等式的解集为由集合A是集合的真子集可得，所以，当时，不等式的解集为满足题意.当时，不等式的解集为，由集合A是集合的真子集，可得，所以，综上可得：，即实数a的取值范围为20.（12
14、分）已知数列的前n项和为，且满足（）.数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列与的通项公式.（2）若，数列的前项和为，若对于任意不等式恒成立，求实数m的取值范围.【解答】解：（1）（），可得，解得，时，即为，可得数列为首项和公比均为2的等比数列，即有，；数列是首项为，公差d不为零的等差数列，且，成等比数列.可得，即为，解得，又，可得，；（2）两式相减可得，化简可得，即有，m大于等于5.21.（12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活
15、垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解答】解：（）当时，该项目获利为S，则，当时，因此，该项目不会获利当时，S取得最大值，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：当）时，所以当时，取得最小值240；当时，当且仅当，即时，取得最小值200.因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.22.（12分）在
16、平面直角坐标系中，已知以点（）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线（）与圆C交于M，N两点，且点F 为线段的中点.（）求m的值和圆C的方程；（）若Q是直线上的动点，直线，分别切圆C于A，B两点，求证：直线恒过定点；（）若过点（）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u，并求u的最大值.【解答】（）解：由题意，即，解得（）.圆心坐标为，半径为1，由圆心到直线的距离，可得或，点在直线上，.故，圆C的方程为；（）证明：设，则的中点坐标为，以为直径的圆的方程为，即.联立，可得所在直线方程为：.直线恒过定点；（）解：由题意可设直线l的方程为，的面积为S，则，当最大时，S取得最大值.要使，只需点C到直线l的距离等于，即，整理得：，解得.当时，最大值是1，此时，即.当时，.是上的减函数，.当最小时，最大.过C作于F，则，当最大时，最小.，且，当最大时，取得最大值，即最大.，当时，取得最大值.当的面积最大时，直线l的斜率，.综上所述，当时，时u取得最大值1；当时，.所以u的最大值是1.
