1、考点规范练44椭圆一、基础巩固1.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于()A.72B.32C.3D.42.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.343.设F1,F2分别为椭圆x24+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|PF1+PF2|=23,则F1PF2等于()A.6B.4C.3D.24.设F1,F2为椭圆x24+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,PF1PF2
2、的值为()A.0B.2C.4D.-25.(多选)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是()A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12D.若PF1=F1Q,则椭圆C的长轴长为5+176.设F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若F2AB是面积为43的等边三角形,则椭圆C的方程为.7.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)与椭圆C2:y2a2+x2
3、b2=1(ab0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为.8.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m与PF1交于点M.求点M的轨迹方程.9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.二、综合应用10.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1的离心率为e1,双曲线C2:x2a2-y2b2=1的离心率为e2,其中,ab0,e1e2=33,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,
4、则椭圆C1的方程为()A.x22+y2=1B.x24+y22=1C.x26+y23=1D.x216+y28=111.(多选)设椭圆的方程为x22+y24=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列说法正确的是()A.直线AB与OM垂直B.若点M的坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为13,43D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=42312.(多选)已知F是椭圆x225+y216=1的右焦点,椭圆上至少有21个不同的点Pn(n=1,2,3,),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,组成公差为d(d0)的
5、等差数列,则()A.该椭圆的焦距为6B.|FP1|的最小值为2C.d的值可以为310D.d的值可以为2513.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则1|PF1|+4|PF2|的最小值是.14.如图,过原点O的直线AB交椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)于A,B两点,过点A分别作x轴、AB的垂线AP,AQ交椭圆C于点P,Q,连接BQ交AP于一点M,若AM=45AP,则椭圆C的离心率是.15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,总有AFB120,则椭圆C离心率的取值范围为.16.
6、已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,32为椭圆上一点,|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程;(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一直线与椭圆交于M,N两点,且SHMA=6SPHN,求直线MN的方程.三、探究创新17.如图,把半椭圆:x2a2+y2b2=1(x0)和圆弧:(x-1)2+y2=a2(x1,短轴长2b2,故B不正确.C中,因为P在椭圆内,所以长轴长2a|PF1|+|PF2|=1+5,所以离心率e=2c2a|F1F2|,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴长为4,焦距为2
7、,则短半轴长为3,所以点M的轨迹方程为x24+y23=1.9.解椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1,m0.m-mm+3=m(m+2)m+30,mmm+3.a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.由e=32,得m+2m+3=32,m=1.椭圆的标准方程为x2+y214=1,a=1,b=12,c=32.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标分别为F1(-32,0),F2(32,0),四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,-12),B2(0,12).10.C椭圆C1:x2a2+y2b2=1的离心率e1=c1a=1-b2a2,双曲线C
8、2:x2a2-y2b2=1的离心率e2=c2a=1+b2a2,由e1e2=33,得1-b2a21+b2a2=33,则a=2b.由x2+2y2-2b2=0,x-y+3=0,得3x2+12x+18-2b2=0,由=122-43(18-2b2)=0,解得b2=3,则a2=6,故椭圆C1的方程为x26+y23=1.故选C.11.BD对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),则M(x1+x22,y1+y22).由已知得x122+y124=1,x222+y224=1,两式相减,整理得y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-2,即kABkOM=-2-1,故选项A错误.对于B选项,因为kABkOM
9、=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选项B正确.对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M13,43,则kABkOM=14=4-2,所以选项C错误.对于D选项,直线方程为y=x+2,与椭圆方程x22+y24=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-43,所以|AB|=-43-02+23-22=423,故选项D正确.12.ABC由椭圆x225+y216=1可得a=5,b=4,c=3,所以A正确.|FP1|的最小值为a-c=5-3=2,所以B正确.设|FP1|,|FP2|,|FP3|,组成公
10、差为d(d0)的等差数列an,可得该数列为递增数列,a1=|FP1|2,an=|FPn|a+c=8,又d=an-a1n-1,所以d8-2n-1621-1=310,所以C正确,D不正确.13.94据题意ca=32,b=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=3,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,所以1|PF1|+4|PF2|=14(1|PF1|+4|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=14(5+|PF2|PF1|+4|PF1|PF2|)94,当且仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=83,|PF1|=43时,等号成立.14.255设A(x1,y1),Q(x2,y2),则B(-x1,-y
11、1),P(x1,-y1),M(x1,-35y1),由ABAQ,得y1x1y2-y1x2-x1=-1,由B,M,Q三点共线,得y15x1=y2+y1x2+x1,故y2+y1x2+x1=-15x2-x1y2-y1,即y22-y12=-15(x22-x12).又因为x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,所以x12-x22a2+y12-y22b2=0,所以b2a2=15,故椭圆C的离心率是255.15.(0,12如图所示,设椭圆的右焦点为E,则四边形AFBE是平行四边形,AFB120,FAE60.设|AE|=m,|AF|=n,由椭圆的定义可知,m+n=2a,则mn(m+n)24=a2
12、.在AFE中,由余弦定理知,cosFAE=m2+n2-EF22mn=(m+n)2-2mn-EF22mn=4a2-4c22mn-1=2(a2-c2)mn-12(a2-c2)a2-1=1-2e2.FAE60,cosFAE12,1),1-2e212,e214.又0e1,e(0,12.16.解(1)因为|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2.又点P(-1,32)在椭圆上,所以14c2+3223c2=1,所以c=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)由(1)知点A(2,0),因为点P-1,32,所以直线AP的方程为x+2y-2=0,
13、所以H(0,1).当直线MN与x轴垂直时,不合题意.当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,由y=kx+1,x24+y23=1,可得(4k2+3)x2+8kx-8=0.设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8k4k2+3,x1x2=-84k2+3.由SHMA=6SPHN,可得|AH|MH|=6|NH|PH|,又|AH|=2|PH|,所以|MH|=3|NH|,得x1=-3x2,代入,可得-2x2=-8k4k2+3,-3x22=-84k2+3,所以316k2(4k2+3)2=84k2+3,解得k=62,所以直线MN的方程为y=62x+1或y=-62x+1.17.
14、(6,8由(x-1)2+y2=a2(x0),令y=0,可得x=1-a,即A1(1-a,0).由半椭圆的方程可得A2(a,0),B2(0,b),B1(0,-b),由B1FB2=120,可得bc=3,由F(1,0)可得b=3,所以a=2,所以半椭圆和圆弧的方程分别为x24+y23=1(x0),(x-1)2+y2=4,所以A1(-1,0),A2(2,0),B1(0,-3),B2(0,3),可得A1相当于椭圆的左焦点,A1PQ的周长为|PF|+|PA1|+|A1Q|+|QF|,当点P,Q均在半椭圆上时,|PF|+|PA1|=4,|A1Q|+|QF|=4,此时A1PQ的周长为8.当点P,Q有一个在半椭圆上,另一个在圆弧上时,不妨设点P在圆弧上,则|A1Q|+|QF|=4,|PF|=2,0|PA1|2,此时A1PQ的周长的取值范围为(6,8).综上所述,A1PQ的周长的取值范围为(6,8.
