1、高中物理必修第二册全册知识点汇总第五章 抛体运动.-1-5.1 曲线运动.-1-5.2 运动的合成与分解.-6-5.3 实验：探究平抛运动的特点.-17-5.4 抛体运动的规律.-24-专题抛体运动规律的应用.-33-第六章 圆周运动.-38-6.1 圆周运动.-38-6.2 向心力.-46-6.3 向心加速度.-53-6.4 生活中的圆周运动.-58-专题课向心力的应用和计算.-70-专题课生活中的圆周运动.-74-第七章 万有引力与宇宙航行.-78-7.1 行星的运动.-78-7.2 万有引力定律.-83-7.3 万有引力理论的成就.-91-7.4 宇宙航行.-98-7.5 相对论时空观与
2、牛顿力学的局限性.-107-第八章 机械能守恒定律.-111-8.1 功与功率.-111-8.2 重力势能.-122-8.3 动能和动能定理.-128-8.4 机械能守恒定律.-135-8.5 实验：验证机械能守恒定律.-141-专题动能定理和机械能守恒定律的应用.-148-第五章 抛体运动5.1 曲线运动一、曲线运动的速度方向1曲线运动运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。特别提示数学中的切线不考虑方向，但物理学中的切线具有方向。如图所下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君示，若质点沿曲线从 A 运动到 B，则质点在 a 点的速度方向(切线方向)为 v1 的方向，若从 B 运动到 A，则质点在
3、 a 点的速度方向(切线方向)为 v2 的方向。2速度的方向质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。3运动性质由于曲线运动中速度方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。二、物体做曲线运动的条件1当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。2当物体加速度的方向与速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。曲线运动的速度方向“丢沙包”游戏曾经风靡南北，是一个经典的群体性游戏，极受孩子们欢迎。讨论：(1)丢出的沙包在空中做什么运动？(2)沙包运动的速度在不同时刻有什么特点？曲线运动一定是变速运动吗？提示：(1)曲线运动。(2)速度方向时刻发生变化，都沿该时刻曲线的切线
4、方向；曲线运动一定是变速运动。1曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向。特别提示曲线的切线如图所示，过曲线上的 A、B 两点作直线，这条直线叫作曲线的割线。设想 B点逐渐沿曲线向 A 点移动，这条割线的位置也就不断变化。当 B 点非常非常接近A 点时，这条割线就叫作曲线在 A 点的切线。2曲线运动是变速运动：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。3曲线运动的分类：(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动。
5、(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动。特别提示曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。【例 1】翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过 M 点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过 A、B、C 三点。下列说法中正确的是()A过 A 点时的速度方向沿 AB 方向B过 B 点时的速度方向沿水平方向C过 A、C 两点时的速度方向相同D在圆形轨道上与过 M 点时速度方向相同的点在 AB 段上思路点拨过山车做曲线运动，在任一位置的速度方向沿轨迹上该点的切线方向。B翻滚过山车经过 A、B、C 三点
6、的速度方向如图所示，由图可判断出 B 正确，A、C 错误；翻滚过山车在圆形轨道 AB 段上的速度方向偏向左上方，不可能与过 M 点时速度方向相同，D 错误。在确定某点的速度方向时，要弄清两点：一是物体沿轨迹的运动方向，二是轨迹在该点的切线方向。然后两方面结合确定该点的速度方向。物体做曲线运动的条件提示：物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上。如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。甲乙
7、(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？提示：(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同。(2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上。1物体做曲线运动的条件(1)动力学条件是合力方向与速度方向不共线。这包含三个层次的内容：初速度不为零；合力不为零；合力方向与速度方向不共线。(2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线。2曲线运动的轨迹与速度、合力的关系做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，
8、夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧。特别提示速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系1根据速度和合力的方向，可定性画出物体的运动轨迹，如图甲所示。2根据物体的运动轨迹，可确定物体在某点的速度方向，也可定性画出受力方向，如图乙所示。3合外力与速率变化的关系若合力方向与速度方向的夹角为，则：甲乙丙【例 2】质点沿如图所示的轨迹从 A 点运动到 B 点，已知其速度逐渐减小，图中能正确表示质点在 C 点处受力的是()ABCDC根据曲线运动中合力 F 应指向轨迹的“凹侧”，故 A、D 错误；在 B 项中，F 的方向与 v 的方向成锐角，质点从 A 到 B 加速，故
9、B 错误；在 C 项中，F的方向与 v 的方向成钝角，质点从 A 到 B 减速，故 C 正确。易错分析力和运动轨迹关系的三点提醒(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。(3)合力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做减速曲线运动。5.2 运动的合成与分解一、一个平面运动的实例1蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为 vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为 vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻 t，蜡块的位置 P 可以用它
10、的 x、y 两个坐标表示：xvxt，yvyt。注意：蜡块向右上方的运动可看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成的。2蜡块运动的速度：大小 vv 2x v 2y，方向满足 tan vyvx。3蜡块运动的轨迹：yvyvxx，是一条过原点的直线。二、运动的合成与分解1合运动与分运动如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。2运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫运动的分解。3运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循矢量运算法则。一个平面运动的实例(蜡块运动的分析)一条宽阔
11、的大河上有两个码头 A、B 隔河相对。小明驾着小船从这边的码头 A出发，将一批货物运送到对岸的码头 B。他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小明惊奇地发现小船行驶的路线并不与河岸垂直，而是朝河的下游方向偏移。怎样来研究这种运动呢？提示：小船的实际运动为小船自身的运动与沿河流方向运动的合运动。1研究蜡块的运动2结论蜡块向右上方的运动可看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成。特别提示1vx、vy 都是常量，vv 2x v 2y 也是常量，说明蜡块的速度大小是一定的；tan vyvx也是一常量，说明蜡块的速度方向是一定的。综上可知蜡块做的是匀速直线运动。2根据 tan yx，也能判断蜡块
12、的运动是直线运动，因为 tan yxvyvx，是定值，也就是说，位移的方向一直不变，所以蜡块做直线运动。【例 1】(多选)质量为 m2 kg 的物体在光滑的水平面上运动，在水平面内建立 xOy 坐标系，t0 时物体位于坐标系的原点 O。物体在 x 轴和 y 轴方向的分速度 vx、vy 随时间 t 变化的图线如图甲、乙所示。则()At0 时，物体速度的大小为 3 m/sBt8 s 时，物体速度的大小为 4 m/sCt8 s 时，物体速度的方向与 x 轴正方向的夹角为 37Dt8 s 时，物体的位置坐标为(24 m，16 m)AD由题图可知，t0 时刻，vx3 m/s，vy0，所以 t0 时刻，物
13、体的速度大小 v03 m/s，A 正确；t8 s 时，vx3 m/s，vy4 m/s，物体的速度大小 vv 2x v 2y 5 m/s，B 错误；t8 s 时，设速度方向与 x 轴正方向的夹角为，则 tan vyvx43，得53，C 错误；t8 s 时，物体的位置坐标 xvxt24 m，y12ayt216 m，所以 t8 s 时，物体的位置坐标为(24 m，16 m)，D 正确。运动的合成与分解因蜡块随玻璃管沿水平方向匀加速运动，蜡块沿竖直方向上匀速运动，蜡块所受合外力与合速度有夹角，故其轨迹不是直线。如图所示，跳伞运动员打开降落伞后正从高空下落。(1)跳伞员在无风时竖直匀速下落，有风时运动员
14、的实际运动轨迹还竖直向下吗？竖直方向的运动是跳伞员的合运动还是分运动？(2)已知跳伞员的两个分运动速度，怎样求跳伞员的合速度？提示：(1)有风时跳伞员不沿竖直方向向下运动。无风时跳伞员竖直匀速下落，有风时，跳伞员一方面竖直匀速下落，一方面在风力作用下水平运动。因此，竖直匀速下落的运动是跳伞员的分运动。(2)应用矢量运算法则求合速度。1合运动与分运动(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。(2)物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。2合运动与分运动的四个
15、特性等时性各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性各分运动与合运动是同一物体的运动独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响3运动的合成与分解(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解。(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。特别提示合运动与分运动有等时、独立、等效、同体四个特性，最重要的是等时性，时间像桥梁一样联系着分运动和合运动。4确定合运动性质的方法分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，确定合运动的合初速
16、度 v0 和合加速度 a，然后进行判断：(1)判断是否做匀变速运动：若 a 恒定，物体做匀变速运动；若 a 变化，物体做变加速运动。(2)判断轨迹曲直：若 a 与 v0 共线，则做直线运动；若 a 与 v0 不共线，则做曲线运动。(3)互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断分运动合运动矢量图条件两个匀速直线运动匀速直线运动a0一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动匀变速曲线运动a与 v 成角两个初速度为零的匀加速直线运动初速度为零的匀加速直线运动v00两个初速度不为零的匀加速直线运动匀变速直线运动a 与 v 方向相同匀变速曲线运动a与 v 成角【例 2】竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清
17、水，内有一个蜡块能在水中以 0.1 m/s 的速度匀速上浮。在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成 30角，如图所示。若玻璃管的长度为 1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，下列关于玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离计算结果正确的是()A0.1 m/s，1.73 mB0.173 m/s，1.0 mC0.173 m/s，1.73 mD0.1 m/s，1.0 mC由题图知竖直位移与水平位移之间的关系为 tan 30yx由分运动具有独立性和等时性得：yvyt、xvxt联立解得：x1.73 m，vx0.173 m/s。故 C 项正确。
18、上例中，若将玻璃管水平向右匀速运动改为从静止开始匀加速运动；将蜡块实际运动方向与水平方向成 30角改为蜡块最终位移方向与水平方向成 45角，其他条件不变，则玻璃管水平方向的加速度多大？提示：由 tan 45yx，则 x1.0 m，由 x12at2，yvyt 得 t10 s，a0.02 m/s2。“三步走”求解合运动或分运动(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以用勾股定理、三角函数、三角形相似等数学知识。运动的合成与分解的应用生活中常遇到这样两种实际问题：甲1如图所示，小船渡河问题中，
19、小船渡河参与了哪两个运动？怎样过河时间最短？怎样过河位移最短？提示：小船渡河参与了相对于静水的运动和随河水漂流的运动；船头垂直河岸渡河时时间最短，合位移垂直河岸时位移最短。2如图乙所示，绳联物体问题中，如何判断合速度和分速度？速度怎样分解？乙提示：物体的实际运动是合运动；将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量。1运动的合成与分解的应用解题思路(1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。(2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。(3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量
20、之间的关系。2两种常见物理模型(1)“小船渡河”模型模型特点小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：()船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同。()船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成。两类最值问题()渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，t 短 dv 船，此时船渡河的位移 x dsin，位移方向满足 tan v 船v 水。()渡
21、河位移最短问题情况一：v 水v 船最短的位移为河宽 d，此时渡河所用时间 tdv 船sin，船头与上游河岸夹角满足 v 船cos v 水，如图甲所示。甲情况二：v 水v 船如图乙所示，以 v 水矢量的末端为圆心，以 v 船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为)，此时航程最短。由图可知 sin v 船v 水，最短航程为 x dsin v 水v 船d。此时船头指向应与上游河岸成角，且 cos v 船v 水。乙【例 3】一小船渡河，河宽 d180 m，水流速度为 v12.5 m/s。船在静水中的速度为 v25 m/s，求：(1)小船渡河的最短时间为多少？此时
22、位移多大？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，甲合速度为倾斜方向，垂直分速度为v25 m/s。t dv dv21805s36 sv 合v21v2252 5 m/sxv 合t90 5 m。(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度。如图乙所示，由 v2sin v1 得30。所以当船头朝上游与河岸成一定角度60时航程最短。乙xd180 mt dvdv2cos 3018052 3s24 3 s。答案(1)36 s90 5 m(2)偏向上游与河岸成 60角
23、24 3 s解题误区1小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。2求渡河的最小位移时，要先弄清 v 船与 v 水的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。3渡河时间与船随水漂流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。(2)“关联速度”模型“关联”速度关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。“关联”速度分解的步骤()确定合运动的方向：物体实
24、际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。()确定合运动的两个效果。用轻绳或可自由转动的轻杆连接的物体的问题效果 1：沿绳或杆方向的运动效果 2：垂直绳或杆方向的运动相互接触的物体的问题效果 1：垂直接触面的运动效果 2：沿接触面的运动()画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系。常见的速度分解模型甲乙丙丁【例 4】如图所示，以速度 v 沿竖直杆匀速下滑的物体 A 用轻绳通过定滑轮拉物体 B，当绳与水平面夹角为时，物体 B 的速度为()AvB vsin Cvcos Dvsin D将 A 的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vBvsin，故 D
25、正确。上例中，若物体 B 以速度 v 向左匀速运动，则物体 A 做什么运动？提示：vA vsin 由于变小，故 vA变大，故物体 A 向上做加速运动。5.3 实验：探究平抛运动的特点一、平抛运动1抛体运动：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动。2平抛运动(1)概念：如果抛体运动的初速度是沿水平方向的，物体所做的运动叫作平抛运动。(2)条件：物体具有水平方向的初速度且运动过程中只受到重力的作用。二、探究平抛运动的特点1实验思路(1)提出问题平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小和方向时刻在发生变化。这个复杂的曲线运动有什么规律呢？能否分解为
26、两个简单的直线运动？(2)科学猜想由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受重力作用。因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成。那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了。2进行实验方案一：利用频闪照相法探究平抛运动的特点(1)实验目的探究平抛运动的轨迹是一条什么曲线。探究平抛运动水平方向和竖直方向是什么运动。(2)实验原理数码相机每秒拍下小球做平抛运动时的十几帧或几十帧照片，将照片上不同时刻的小球的位置连成平滑曲线，便得到小球的运动轨迹，如图所示，由于相邻两帧照片间的时间间隔相等，只要测出相邻两帧照片上小球位置间的水平距离和竖直距离，就很容易判断平抛运动在水平方向和竖
27、直方向的运动特点。(3)数据处理建立以抛出点为坐标原点，以小球水平抛出时的初速度方向为 x 轴正方向，以竖直向下为 y 轴正方向的直角坐标系。测出相邻两帧照片中小球移动的水平距离和竖直距离。根据水平位移和竖直位移随时间变化的具体数据分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点。(4)结果分析水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动是匀加速直线运动。方案二：利用描迹法探究平抛运动的特点(1)实验设计实验装置如图所示。小钢球从斜槽上滚下，从水平槽飞出后做平抛运动。每次都使小钢球在斜槽上同一位置滚下，小钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的，设法用铅笔描出小钢球经过的位置。通过多次实验，在竖直
28、坐标纸上记录小钢球所经过的多个位置，用平滑的曲线连起来就得到小钢球做平抛运动的轨迹。(2)实验器材和步骤实验器材小钢球、斜槽轨道、木板及竖直固定支架、坐标纸、图钉、重垂线、铅笔、三角板、刻度尺等。实验步骤a安装、调整斜槽将斜槽固定在实验桌上，使其末端伸出桌面，斜槽末端的切线水平，如图所示。b调整木板并确定坐标原点用图钉将坐标纸固定在木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小钢球运动轨迹所在的平面平行且靠近。把小钢球放在槽口(斜槽末端)处，用铅笔记下小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点 O，O 点即坐标原点。利用重垂线画出过坐标原点的竖直线作为 y 轴，在水平方向建立 x 轴。c描点使小
29、钢球从斜槽上某一位置由静止滚下，小钢球从斜槽末端飞出，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小钢球在某一 x 值处的 y 值，然后让小钢球从斜槽上同一位置由静止滚下，移动笔尖在坐标纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，用铅笔在坐标纸上描出代表小钢球通过位置的点。重复几次实验，在坐标纸上描出一系列代表小钢球通过位置的点。d描绘出平抛运动的轨迹取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点用平滑曲线连接起来，即可得到小钢球做平抛运动的轨迹。特别提示斜槽的粗糙程度对该实验没有影响，因为每次钢球从同一高度滚下，所受摩擦力相同，到达槽口的速度相同，因此轨迹依然重合，不影响实验结果。(3)注意事项应保持斜槽末端的切线水平，钉有
30、坐标纸的木板竖直，并使小钢球的运动靠近坐标纸但不接触。小钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，在斜槽上释放小钢球的高度应适当，使小钢球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。坐标原点(小钢球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点。实验原理及操作【例 1】用如图 1 所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道 PQ 滑下后从 Q 点飞出，落在水平挡板 MN 上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白
31、纸上将留下一系列痕迹点。图 1(1)下列实验条件必须满足的有_。A斜槽轨道光滑B斜槽轨道末段水平C挡板高度等间距变化D每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球(2)为定量研究，建立以水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴的坐标系。a取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于 Q 点，钢球的_(选填“最上端”“最下端”或“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定 y 轴时_(选填“需要”或“不需要”)y 轴与重垂线平行。b若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图 2 所示，在轨迹上取 A、B、C 三点，AB 和 BC 的水平间距相等且均为 x，测得 AB 和 BC 的竖直间距分别是
32、 y1 和 y2，则y1y2_13(选填“大于”“等于”或“小于”)。可求得钢球平抛的初速度 v0 大小为_(已知当地重力加速度为 g，结果用上述字母表示)。图 2(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是_。A从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹B用频闪照相法在同一底片上记录平抛钢球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹C将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹解析根据平抛运动的规律：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动解答。(1)本实验中要保证钢
33、球飞出斜槽末端时的速度水平，即钢球做平抛运动，且每次飞出时的速度应相同，所以只要每次将钢球从斜槽上同一位置由静止释放即可，故 B、D 正确。(2)a.平抛运动的起始点应为钢球静置于 Q 点时，钢球的球心对应纸上的位置，由于平抛运动在竖直方向做自由落体运动，所以在确定 y 轴时需要 y 轴与重垂线平行；b由初速度为零的匀加速直线运动规律即在相等时间间隔内所通过的位移之比为 1357可知，由于 A 点不是抛出点，所以y1y213；设 AB、BC 间所用的时间为 T，竖直方向有：y2y1gT2，水平方向有：xv0T，联立解得：v0 xgy2y1。(3)平抛运动的特性：初速度为 v0，加速度为 g，细
34、管水平喷出水柱满足要求，A 正确；用频闪照相法在同一底片上记录钢球不同时刻的位置即平抛运动的轨迹上的点，平滑连接在一起即为平抛运动轨迹，所以此方案可行，B 正确；将铅笔垂直于竖直的白板放置，以一定初速度水平抛出，笔尖与白纸间有摩擦阻力，所以铅笔做的不是平抛运动，故此方案不可行，C 错误。【答案】(1)BD(2)a.球心需要b大于xgy2y1(3)AB数据处理【例 2】(1)在“研究平抛物体的运动”的实验中，为减小空气阻力对小球的影响，选择小球时，应选择下列的_。A实心小铁球B空心铁球C实心小木球D以上三种球都可以(2)在研究平抛运动的实验中，斜槽末端要_，且要求小球要从_释放，现用一张印有小方
35、格的纸记录轨迹，小方格边长 L2.5cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图所示，小球由 A 到 B 位置的时间间隔为_s，小球平抛的初速度大小为_m/s。小球在 B 点的速度为_m/s。解析(1)为了减小空气阻力对小球的影响，要选择体积较小质量较大的小球，故选实心小铁球，故 A 正确，B、C、D 错误；(2)在研究平抛运动的实验中，为保证小球做平抛运动，斜槽末端要水平，为保证每次运动轨迹相同，要求小球从同一位置无初速度释放，小球竖直方向做自由落体运动，有：hgT2，即为：LgT2，得：TLg2.510210s0.05 s。小球初速度为：v0 xT22.51020.05m/s1 m/s；B 位
36、置竖直方向速度为：vy3L2T32.510220.05m/s0.75 m/s；则 B 点的速度为：vBv 20 v 2y 120.752 m/s1.25 m/s。答案(1)A(2)切线水平同一位置无初速度0.0511.25实验拓展与创新【例 3】某同学设计了一个研究平抛运动的实验，实验装置示意图如图甲所示。A 是一块水平木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽(甲图中的 P0P0、P1P1)，槽间距离均为 d。把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板 B 上，实验时依次将B 插入 A 板的各插槽中，每次让小球从斜轨的同一位置由静止释放。每打完一点后，把 B 板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离 d。实验
37、得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，如图乙所示。甲乙(1)实验前应对实验装置反复调节，直到_为止。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了_。(2)每次将 B 板向纸面内侧平移距离 d，是为了_。(3)在图乙中绘出小球做平抛运动的轨迹。思路点拨本题是利用留迹法描绘平抛运动的轨迹，解题的关键是明确每次将 B 板向纸面内侧平移距离 d 的目的。解析(1)小球每次离开斜轨后，应做轨迹相同的平抛运动，所以实验前要反复调节实验装置，使斜轨末端水平。每次从同一位置由静止释放小球，是为了使小球每次运动的初速度相同。(2)每次 B 板插入后一槽中会使小球的水平位移增加 d，所以每次将 B 板向纸面内侧平移 d，就
38、可以对应水平位移的变化，使 B 板上的 x 坐标能表示水平位置的变化。(3)用平滑曲线连接各点，可得轨迹如图所示。【答案】(1)斜轨末端水平保证小球每次射出时初速度相同(2)使板上的x 坐标能表示小球的水平位移(3)如解析图所示5.4 抛体运动的规律一、平抛运动的速度将物体以初速度 v0 水平抛出，由于物体只受重力作用，t 时刻的速度为：1水平方向：vxv0。2竖直方向：vygt。3合速度大小：vv 2x v 2y v20g2t2方向：tan vyvxgtv0为速度方向与水平方向间的夹角特别提示由 tan gtv0知，速度与水平方向的夹角随时间 t 的增大而增大，但一定不会达到 90，因为水平
39、方向上的分运动是匀速直线运动，水平分速度不变，合速度也就不可能沿竖直方向。二、平抛运动的位移与轨迹将物体以初速度 v0 水平抛出，经时间 t，物体的位移为：1水平方向：xv0t。2竖直方向：y12gt2。3合位移大小：sx2y2v0t212gt22方向：tan yx gt2v0为位移方向与水平方向间的夹角4轨迹：由水平方向 xv0t 解出 t xv0，代入 y12gt2 得 y g2v20 x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。特别提示y g2v20 x2 中，g、v0 都是与 t 无关的常量，所以 g2v20是与 x，y 无关的常量。y g2v20 x2 与数学中的二次函数方程 yax2 形式相
40、似，二次函数的图像是一条抛物线，“抛物线”的名称就是由抛体运动得来的。三、一般的抛体运动物体抛出的速度 v0 沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设 v0 与水平方向夹角为)，如图所示。1水平方向：物体做匀速直线运动，初速度 vxv0cos。2竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度 vyv0sin。平抛运动的研究方法及规律如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力，(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？(3)为了研究问题方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？提示：(1)因忽略空气阻力，
41、飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为 g，方向竖直向下。(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。(3)可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。1平抛运动的特点项目物理特性理想化特点物理上提出的平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力速度平抛运动的速度大小和方向都不断改变，故它是变速运动加速度平抛运动的加速度为自由落体加速度，恒定不变，故它是匀变速曲线运动速度变化做平抛运动的物体任意相等时间内速度变化量相等，均为vgt，方向竖直向下2(1)平抛运动的规律及处理方法速度位移水平分运动水
42、平速度 vxv0水平位移 xv0t竖直分运动竖直速度 vygt竖直位移 y12gt2合运动大小：vv20gt2方向：与水平方向夹角为，tan vyvxgtv0大小：s x2y2方向：与水平方向夹角为，tan yx gt2v0图示(2)平抛运动的研究方法：研究平抛运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。3方法(1)利用水平位移或竖直位移求解时间：根据水平方向 xv0t 或竖直方向 y12gt2 可求解时间。(2)利用竖直分速度可求解时间：先求出竖直分速度，再根据 vygt 可求解时间。(3)利用匀变速直线运动的推论ygT2 可求解时间
43、。4平抛运动的两个推论(1)平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为，位移与水平方向夹角为，则 tan 2tan。证明：因为 tan vyv0gtv0，tan yx gt2v0，所以 tan 2tan。(2)做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。证明：如图所示，P 点速度的反向延长线交 OB 于 A 点。则 OB v0t，AB PBtan 12gt2v0gt12v0t。可见 AB 12OB。【例 1】如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间 t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为 g。下列说法正确的是()A小球水平抛出时的初速
44、度大小为 gttan B小球在 t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为2C若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D若小球初速度增大，则减小思路点拨：通过对落地点的速度分解，分析 A、D 两个选项。通过该过程中位移的分解，分析 B、C 两个选项。D如图所示，小球竖直方向的速度为 vygt，则初速度为v0 gttan，选项 A 错误；平抛运动的时间 t2yg，由高度决定，与初速度无关，选项 C 错误；位移方向与水平方向的夹角为，tan yx12gt2v0t gt2v0，tan vyv0gtv0，则 tan 2tan，但2，选项 B 错误；由于 tan gtv0，若小球的初速度增大，则减小，选项 D
45、 正确。(1)上例中，小球在水平方向的位移是多少？解析小球在竖直方向的速度 vygt则 v0 gttan xv0t gt2tan。(2)在上例中，小球落地时的速度是多大？解析小球在竖直方向的速度 vygt则 v vysin gtsin。(1)平抛运动中，速度偏向角是指过该点轨迹的切线与水平方向的夹角；位移偏向角是指该点与起点的连线与水平方向的夹角，不要将两者混淆。(2)平抛运动中，某时刻速度、位移与初速度方向的夹角、的关系为 tan 2tan，而不要误记为2。与斜面相关的平抛运动两个小球 A 和 B 以不同的水平初速度抛出后落到斜面上同一位置，(1)两小球在落点的速度方向是否相同？(2)小球在
46、运动过程中，距斜面最远时的条件？提示：(1)两个小球在落点的速度方向相同。(2)当小球的合速度方向与斜面平行时，小球距斜面最远。1常见的两类问题(1)物体从斜面上某一点抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。(2)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度方向与斜面垂直。位移与水平方向的夹角为速度与竖直方向的夹角为2基本求解思路题干信息实例处理方法或思路速度方向垂直打在斜面上的平抛运动(1)会速度分解图，确定速度与竖直方向的夹角(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy(3)根据 tan vxvy列方程求解位移方向从斜面上水平抛出后
47、又落在斜面上的平抛运动(1)确定位移与水平方向的夹角，画位移分解图(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析 x、y(3)根据 tan yx列方程求解【例 2】如图所示，小球以 v0 正对倾角为的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为 g)()A小球空中运动时间为v0g tan B小球的水平位移大小为 2v20g tan C由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解D小球的竖直位移大小为v20g tan 思路点拨“小球到达斜面的位移最小”隐含的条件是小球的位移与斜面垂直，利用数学知识得出水平位移 x 与竖直位移 y 之间的关系，就能求解。B如图所示，过抛出点作斜面
48、的垂线；当小球落在斜面上的 B 点时，位移最小，设运动的时间为 t，则水平方向：xv0t；竖直方向：y12gt2。根据几何关系有xytan；联立解得 t 2v0g tan；小球的水平位移大小为 xv0t 2v20g tan；竖直位移大小为 y12gt2 2v20g tan2，由水平位移和竖直位移可求解位移的大小；故 A、C、D 错误，B 正确。解题技巧解决与斜面结合的平抛运动问题的“三类突破口”1若水平位移、水平速度已知，可应用 xv0t 列式，作为求解问题的突破口。2若竖直高度或竖直分速度已知，可应用 y12gt2 或 vygt 列式，作为求解问题的突破口。3若物体的末速度的方向或位移的方向
49、已知，可应用 tan gtv0是物体速度与水平方向的夹角或 tan gt2v0是物体的位移与水平方向的夹角列式作为求解问题的突破口。一般的抛体运动体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。以抛出的铅球为例：(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？(2)铅球在最高点的速度是零吗？提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为 g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。1斜抛运动的规律：斜抛物体的轨迹(1)速度规律水平速度：
50、vxv0 xv0cos。竖直速度：vyv0ygtv0sin gt。t 时刻的速度大小为 vv 2x v 2y。(2)位移规律水平位移：xv0 xtv0tcos。竖直位移：yv0tsin 12gt2。t 时间内的位移大小为 s x2y2，与水平方向成角，且 tan yx。2射高和射程：(1)斜抛运动的飞行时间：t2v0yg2v0sin g。(2)射高：hv 20y2gv20sin22g。(3)射程：sv0cos t2v20sin cos gv20sin 2g，对于给定的 v0，当45时，射程达到最大值，smaxv20g。3一般抛体运动问题的分析思路：一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法
51、相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。【例 3】(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球 A、B，分别落在地面上的 M、N 点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则()AB 的加速度比 A 的大BB 的飞行时间比 A 的长CB 在最高点的速度比 A 在最高点的大DB 在落地时的速度比 A 在落地时的大CDA、B 两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B 项错误；由于 B 球的水平射程比 A球的大
52、，故 B 球的水平速度及落地时的速度均比 A 球的大，C、D 项正确。解题技巧斜上抛运动问题的分析技巧(1)斜上抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。(2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。专题抛体运动规律的应用平抛运动与曲面的结合问题两种常见类型(1)抛出点和落点都在圆面上。如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的 A 点以 v0 水平向右抛出，落在圆形轨道上的 C 点。(2)抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图所示，一小球从一半圆轨道左端 A点正上方某处开始
53、做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 B 点。【例 1】(多选)如图所示，一个半径 R0.75 m 的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端 A 点正上方的 B 点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的 C 点掠过。已知 O 为半圆柱体圆心，OC 与水平方向夹角为 53，重力加速度为 g10 m/s2，则()A小球从 B 点运动到 C 点所用时间为 0.3 sB小球从 B 点运动到 C 点所用时间为 0.5 sC小球做平抛运动的初速度为 4 m/sD小球做平抛运动的初速度为 6 m/s思路点拨将小球在 C 点的速度和经过的位移沿水平方向和竖直方向分解，然后利用圆的几何特点结合平
54、抛运动规律进行求解，注意速度方向与水平方向夹角的正切值等于位移方向与水平方向夹角正切值的 2 倍。AC小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 C 点，根据几何关系可知小球在 C 点时速度方向与水平方向的夹角为 37，设位移方向与水平方向的夹角为，则有 tan tan 37238，又水平位移 x1.6R，tan yx y1.6R，R0.75 m，解得 y 920 m，根据 y12gt2 得 t0.3 s，根据水平位移 x1.6Rv0t，得 v04 m/s。选项 A、C 正确。解决平抛运动与曲面结合问题的方法(1)充分利用几何关系找出小球到达圆面时水平位移 x 和竖直位移 y 的关系。(2
55、)找出小球到达圆面时，速度方向与水平方向之间的夹角。(3)通过位移或速度关系求解飞行时间及相关物理量。平抛运动的相遇问题平抛运动的相遇问题是指两个或两个以上物体在同一竖直平面内做平抛运动时所涉及的问题。三类常见的平抛运动的相遇问题(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)水平抛出，则两物体每个时刻都在同一高度，二者间距只取决于两物体抛出速度的大小关系。(2)若两物体同时从不同高度水平抛出，则两物体之间的高度差始终与抛出点之间的高度差相同，二者间距由两物体的抛出速度和高度差共同决定。(3)若两物体从同一点先后水平抛出，两物体之间的高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
56、【例 2】(多选)如图所示，a、b 两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，它们做平抛运动的轨迹的交点为 P，则以下说法正确的是()Aa、b 两球同时落地Bb 球先落地Ca、b 两球在 P 点相遇D无论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇BD由 h12gt2 可得 t2hg，因 hahb，且 a、b 两球同时抛出，故 b 球先落地，A 错误，B 正确；两球的运动轨迹相交于 P 点，因为 P、a 之间的高度大于P、b 之间的高度，同时抛出两球，所以 b 球先通过 P 点，两球不会同时到达 P 点，故无论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇，C 错误，D 正确。类平抛运动的分析与求解1类平抛运动
57、类平抛运动是一种匀变速曲线运动。在初速度方向上不受力，初速度保持不变；在与初速度垂直的方向上存在一恒力，区别于平抛运动中的重力。特别提示类比法是一种重要的物理思维方法。充分运用类比法，可加深对物理规律和概念的理解，提高分析解决问题的能力，从而达到触类旁通、以点带面、事半功倍的学习效果。2类平抛运动的特点及处理方法受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。运动特点在初速度 v0 方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 aF 合m。处理方法常规分解将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立
58、、互不影响，且与合运动具有等时性。特殊分解对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为 ax、ay，初速度 v0 分解为 vx、vy，然后分别在 x、y 轴方向列方程求解。【例 3】如图所示，光滑斜面长 L10 m，倾角为 30，一小球从斜面的顶端以 v010 m/s 的初速度水平射入，求：(g 取 10 m/s2)(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移 x；(2)小球到达斜面底端时的速度大小。思路点拨小球的运动过程与平抛运动的过程类似，以一定的初速度抛出后，在与初速度方向垂直的恒力作用下运动。可以将小球的运动分解为沿合外力方向的初速度为零的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速
59、直线运动。解析(1)小球在斜面上沿 v0 方向做匀速直线运动，沿垂直于 v0 方向做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 mgsin 30ma，又L12at2解得 t2Lgsin 30所以 xv0tv02Lgsin 3020 m。(2)小球运动到斜面底端时的速度大小用 v 表示，则有vxv010 m/svy 2aL 2gsin 30L gL10m/s故 vv 2x v 2y 10 2 m/s。答案(1)20 m(2)10 2 m/s解题技巧类平抛运动问题的求解思路1分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，并明确两个分运动的方向。2利用两个分运动的规律
60、求解分运动的速度与位移。3根据题目的已知条件与未知条件，充分利用运动的等时性、独立性、等效性。第六章 圆周运动6.1 圆周运动一、圆周运动及线速度1圆周运动的概念运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动。2线速度(1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。用 v 表示。(2)表达式：vst，单位为米/秒，符号是 m/s。(3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当t 很小时，其物理意义与瞬时速度相同。(5)匀速圆周运动：如
61、果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。注意匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动，它的线速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动不是匀速运动，严格地说，应该将其称为匀速率圆周运动。二、角速度1定义：如图所示，物体在t 时间内由 A 运动到 B。半径 OA 在这段时间内转过的角与所用时间t 之比叫作角速度，用符号表示。2表达式：t。3国际单位：弧度每秒，符号 rad/s。在国际单位制中角的度量单位为“弧度”，在利用公式t计算角速度时，的单位是“弧度”。3602弧度。4物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。5匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。三、周期1周
62、期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用 T 表示，单位为秒(s)。2转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号 n 表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。3物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。四、线速度与角速度的关系1两者关系：在圆周运动中，线速度大小等于角速度的大小与半径的乘积。2表达式：vr。描述圆周运动的物理量如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c 是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时：(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时，a、b、c 三点角速度和周期各有什么关系？(2)a、b、c 三点做圆周运动的线速度有什么关系？提示
63、：(1)abc，TaTbTc。(2)vavcvb。1描述圆周运动的各物理量之间的关系2描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧(1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由2T 2n 知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。(2)线速度与角速度之间关系的分析：由 vr 知，r 一定时，v；v 一定时，1r；一定时，vr。特别提示在讨论 v、r 三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。、T 和 n 三个物理量可相互换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。【例 1】某品牌电动自行车的
64、铭牌如下：车型：20 寸(车轮直径：508 mm)电池规格：36 V，12 Ah(蓄电量)整车质量：40 kg额定转速：210 r/min外形尺寸：L1 800 mmW650 mmH1 100 mm充电时间：28 h电机：后轮驱动、直流永磁式电机额定工作电压/电流：36 V/5 A根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为()A15 km/hB18 km/hC20 km/hD25 km/h思路点拨车的速度与车轮边缘的线速度大小相等，再根据2n60 和 vr可求得车速。C由题目所给信息可知额定转速 n210 r/min，则车轮转动的角速度2n60，由于车轮直径 d508 mm，则车轮半径 r
65、d20.254 m，则车轮转动的线速度 vr2n60 r22100.25460m/s5.6 m/s20 km/h。求解圆周运动中各物理量间的关系问题时，首先必须明确线速度、角速度、周期、频率即转速等，都是从不同角度描述圆周运动的物理量，通过分析题给条件，弄清问题中哪些物理量不变，然后根据 vr，2T，T1f等关系式求解。三种传动方式跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度和角速度的关系如何？提示：(1)线速度和角速度都相同。(2)角速度相同，线速度不同。1三种
66、传动装置同轴传动皮带传动齿轮传动装置A、B 两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接，A、B 两点分别是两个轮子边缘的点两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为 n1、n2)特点角速度、周期相同线速度大小相同线速度大小相同转动方向相同相同相反规律线速度与半径成正比：vAvBrR角速度与半径成反比：ABrR周期与半径成正比：TATBRr角速度与半径成反比：ABr2r1n1n2周期与半径成正比：TATBr1r22.求解传动问题的思路(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。(2)确定半径关系：
67、根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据1r分析，若角速度大小相等，则根据 vr 分析。【例 2】如图所示的传动装置中，B、C 两轮固定在一起同轴转动，A、B 两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是 rArC2rB。若皮带不打滑，求 A、B、C 三轮边缘上 a、b、c 三点的角速度之比和线速度之比。解析A、B 两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则 A、B 两轮边缘的线速度大小相等，即 vavb 或 vavb11由 vr 得abrBrA12B、C 两轮固定在一起同轴转动，则 B、C 两轮的角速度相等，即bc或bc11由 vr 得 vbvcrBrC1
68、2由得abc122由得 vavbvc112。答案122112上例中，若 C 轮的转速为 n r/s，其他条件不变，则 A 轮边缘的线速度和角速度各为多大？提示：由2n，vbrB得 vavb2nrBavarA2nrBrAn。传动装置的特点在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量。(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同。(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。圆周运动的周期性和多解问题如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪 45 次，风扇转轴 O
69、 上装有 3 个扇叶，它们互成 120角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动。讨论：(1)扇叶上的每一点都在做什么运动？(2)观察者感觉扇叶不动，为什么？此时扇叶的转速为多少？提示：(1)扇叶上每一点都在绕风扇转轴做圆周运动。(2)每经过特定的时间扇叶上每一点就会回到初始位置，所以观察者感觉扇叶不动。T 145s，在一个周期 T 内，扇叶转动的角度应为 120的整数倍，则转动的角速度T30n rad/s(n1，2，3)，转速 n 230n2 60 r/min900 n(r/min)(n1，2，3)1问题特点(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。(2)运动特点：一个物体做
70、匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。2分析技巧(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。【例 3】如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为 d，飞镖距圆盘 L，且对准圆盘上边缘的 A 点水平抛出，初速度为 v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心 O 的水平轴匀速转动，角速度为。若飞镖恰好击中 A 点，则下列关系式正确的是()Advv20L2gBL(12n)v0(n
71、0，1，2，3)Cv0d2Dd2g2(12n)2(n0，1，2，3，)思路点拨圆周运动是一种周期性运动，每经过一个周期物体都会回到原来的位置，本题中飞镖恰好击中 A 点说明在飞镖做平抛运动的这段时间内圆盘应转过的弧度为(2n1)(n0，1，2，3，)。飞镖的水平位移为 L，竖直位移为 d，根据圆周运动和平抛运动的相关知识求解。B依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上 A 点做匀速圆周运动，恰好击中 A 点，说明 A 正好在最低点被击中，则 A 点转动的时间 t2n1，平抛的时间 t Lv0，则有 Lv02n1(n0，1，2，3，)，B 正确，C 错误；平抛的竖直位移为 d，则 d12gt2，联立
72、有 d212g2(2n1)2(n0，1，2，3，)，dvv2012L2g，A、D 错误。解决圆周运动多解问题的方法(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度上再加上 2n，具体n 的取值应视情况而定。6.2 向心力一、向心力1定义做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。2方向向心力的方向始终沿半径指向圆心。1向心力的方向时刻在变，向
73、心力是变力。2向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。3公式：Fnm2r 或者 Fnmv2r。4效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点1变速圆周运动的合力变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果：(1)合外力 F 跟圆周相切的分力 Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变线速度的大小。(2)合外力 F 指向圆心的分力 Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。2一般曲线运动(1)曲线运动：运动轨
74、迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。(2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。一般的曲线运动通过以上方法进行处理后，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理了。对匀速圆周运动向心力的理解飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用？(2)这些力的合力方向及作用效果是什么？提示：(1)重力和支持力。(2)这些力的合力指向圆心，充当向心力，改变速度的方向。1匀速圆周运动中向心力的方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。2向心力的特
75、点：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。3向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。向心力来源的实例分析向心力来源实例分析重力提供向心力如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供弹力提供向心力如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的 O 点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供摩擦力提供向心力如图所示，
76、木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外合力提供向心力如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供分力提供向心力如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供【例 1】如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是()A老
77、鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用B老鹰受重力和空气对它的作用力C老鹰受重力和向心力的作用D老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用思路点拨分析受哪些力，分析向心力是什么。B老鹰在空中做匀速圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力，不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项 B 正确。分析向心力来源的思路(1)明确研究对象。(2)确定圆周运动所在平面，明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置。(3)进行受力分析，指向圆心方向的合力即为向心力。实验：探究向心力大小的表达式1.实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)特别提
78、示向心力演示器原理及实验操作简介1如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。2小球做圆周运动的向心力由横臂挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力筒下降，露出的标尺上的红白相间的等分格可显示出两个球所受向心力的比值。3传动皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变半径；使用不同质量的球可改变质量。2实验方法：控制变量法3实验过程(1)保持两个小球质量 m 和角速度相同，使两球运动半径 r 不同进行实验，比较向心力 Fn 与运动半径 r 之间的关系。(2)保持两个小球质量
79、 m 和运动半径 r 相同，使两球的角速度不同进行实验，比较向心力 Fn 与角速度之间的关系。(3)保持运动半径 r 和角速度相同，用质量 m 不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力 Fn 与质量 m 的关系。4实验结论两球相同的物理量不同的物理量实验结论1m、rr 越大，Fn 越大，Fnr2m、r越大，Fn 越大，Fn23r、mm 越大，Fn 越大，Fnm精确的实验表明向心力的大小可以表示为Fnm2r 或 Fnm v2r或 Fnm(2T)2r。【例 2】用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。(1)本实验采用的科学方法是_。A控制变量法B累积法C微元法D放
80、大法(2)图示情景正在探究的是_。A向心力的大小与半径的关系B向心力的大小与线速度大小的关系C向心力的大小与角速度大小的关系D向心力的大小与物体质量的关系(3)通过本实验可以得到的结果是_。A在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比B在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比C在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比D在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比解析(1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A 正确。(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以
81、选项 D 正确。(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项 C 正确。答案(1)A(2)D(3)C变速圆周运动与一般曲线运动教材第 29 页“思考与讨论”答案提示：线速度减小时，物体所受合力的方向与速度方向的夹角大于 90。荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景。(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式 Fnmv2rm2r还适用吗？提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬
82、挂点。公式 Fnmv2rm2r 仍然适用。1变速圆周运动合力的作用效果(1)跟圆周相切的分力 Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。(2)指向圆心的分力 Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。2匀速圆周运动与变速圆周运动的比较匀速圆周运动变速圆周运动线速度特点线速度的方向不断改变、大小不变线速度的大小、方向都不断改变受力特点合力方向一定指向圆心，充当向心力合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力周期性有不一定有性质均是非匀变速曲线运动公式Fnmv2rm2r，anv2r2r 都适用3.一般曲线运动(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。(2
83、)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。特别提示(1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用 Fnmv2r、Fnmr2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意 Fn、v 必须是同一时刻的瞬时值。(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。【例 3】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的 A 点的曲率圆定义：通过 A 点和
84、曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作 A 点的曲率圆，其半径叫作 A 点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度 v0 抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点 P 处的曲率半径是()甲乙Av20gBv20sin2gCv20cos2gDv20cos2gsin 思路点拨物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力提供，列出重力等于向心力的表达式进行求解。C斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度 vxv0cos 做匀速直线运动，竖直方向以初速度 vyv0sin 做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度为零，其速度为 vPv0cos，且为水平方向
85、。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由 mgm v0cos 2得v20cos2g，所以 C 正确，A、B、D 错误。6.3 向心加速度匀速圆周运动的加速度方向和大小1向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。2向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。3向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。4向心加速度的大小：(1)基本公式 anv2r2r。(2)拓展公式 an42T2 rv。匀速圆周运动的向心加速度方向甲乙问题 1：图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？问题 2：做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何
86、确定？你的依据是什么？问题 3：除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？提示：(1)具有加速度。(2)从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。(3)从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。对向心加速度的理解方向向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心与该点的线速度方向垂直。向心加速度的方向时刻在改变。作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。意义向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。特别提醒向心加速度方向的推导如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在 A、B 两点的
87、速度分别为 vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。甲乙丙丁第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过 A、B 两点时的速度方向，分别用 vA、vB 表示，如图甲所示。第二步，平移 vA 至 B 点，如图乙所示。第三步，根据矢量运算法则，作出物体由 A 点到 B 点的速度变化量v，其方向由 vA 的箭头位置指向 vB 的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB 的大小相等，所以v 与 vA、vB 构成等腰三角形。第四步，假设由 A 点到 B 点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A 点到 B 点的距离将非常小，作出此时的v，如图丁所示。仔细观
88、察图丁，可以发现，此时，v 与 vA、vB 都几乎垂直，因此v 的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度 a 与v 的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。【例 1】下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是()A向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B向心加速度表示角速度变化的快慢C向心加速度描述线速度方向变化的快慢D匀速圆周运动的向心加速度不变C匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然 A 项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以 B 项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变
89、化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以 C 项正确；向心加速度的方向是变化的，所以 D 项错误。匀速圆周运动的向心加速度大小教材第 32 页“思考与讨论”答案提示：B、C 两点的向心加速度与半径成正比，因为 B、C 两点同轴转动，角速度相同，由 an2r 知，an 与 r 成正比；A、B 两点的向心加速度与半径成反比，因为 A、B 两点线速度 v 大小一样，由 anv2r知，an 与 r 成反比。如图所示，两个啮合的齿轮，其中 A 点为小齿轮边缘上的点，B 点为大齿轮边缘上的点，C 点为大齿轮中间的点。讨论：A 和 B、B 和 C 两个点的向心加速度与半径有什么关系？提示：(
90、1)A、B 两个点的线速度相同，由 anv2r知向心加速度与半径成反比。(2)B、C 两个点的角速度相同，由 an2r 知向心加速度与半径成正比。1向心加速度的大小根据牛顿第二定律 Fma 和向心力表达式 Fnmv2r，可得向心加速度的大小anv2r或 an2r。特别提示1.表达式 anv2r、an2r 中各物理量是同一时刻的量，即它们是瞬时对应关系。2表达式 anv2r、an2r 不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。2对向心加速度表达式的理解(1)向心加速度的几种表达式(2)向心加速度的大小与半径的关系当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频
91、率的增大或周期的减小而增大。当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。an 与 r 的关系图像：如图所示，由 anr 图像可以看出，an 与 r 成正比还是反比，要看恒定还是 v 恒定。【例 2】如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的 2 倍，大轮上的一点 S 离转动轴的距离是大轮半径的13。当大轮边缘上的 P 点的向心加速度是 12 m/s2 时，大轮上的 S 点和小轮边缘上的 Q 点的向心加速度各为多少？思路点拨P 和 S 在同一轮上，角速度相同，选用 an2r 计算向心加速度。P 和 Q 为皮
92、带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用 anv2r计算向心加速度。解析同一轮子上的 S 点和 P 点的角速度相同，即SP由向心加速度公式 an2r，得aSaPrSrP故 aSrSrPaP1312 m/s24 m/s2又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vPvQ由向心加速度公式 anv2r得aPaQrQrP故 aQrPrQaP212 m/s224 m/s2。答案4 m/s224 m/s2向心加速度公式的应用技巧6.4 生活中的圆周运动一、火车转弯1火车在弯道上的运动特点火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。2
93、火车转弯时向心力的来源分析(1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的向心力由外轨对车轮轮缘的弹力提供(如图所示)，由于火车的质量很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力，由重力 mg 和支持力 FN 的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如图所示。二、汽车过拱形桥汽车过拱形桥汽车过凹形桥受力分析向心力FnmgFNmv2rFnFNmgmv2r对桥的压力FNmgmv2rFNmgmv2r结论汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小汽
94、车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大三、航天器中的失重现象1向心力分析：宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力。mgFNmv2R。2失重状态：当 v gR时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。四、离心运动1定义：物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。2原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。火车转弯教材第 36 页“思考与讨论”答案提示：利用支持力 FN 与重力 G 的合力提供向心力，减轻轮胎与地面的径向摩擦力以防止侧滑。火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：重力 G 与支持力 FN 的合力
95、 F 是使火车转弯的向心力1火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？2火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？3火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？提示：1火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。2火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力。3火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力。1转弯轨道特点(1)火车转弯时重
96、心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内。(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供做圆周运动的向心力。2转弯轨道受力与火车速度的关系(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则 mgtan mv20R，如图所示，则 v0 gRtan，其中 R 为弯道半径，为轨道平面与水平面的夹角(tan hL)，v0 为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。(2)若火车行驶速度 v0 gRtan，外轨对轮缘有侧压力。(3)若火车行驶速度 v0 gRtan，内轨对轮缘有侧压力。特别提醒1转弯轨道受力与火车速度的关系2其他弯道特点高速公路、赛车
97、的弯道处设计成外高内低，使重力和支持力的合力能提供车辆转弯时的向心力，减少由于转弯产生的摩擦力对行驶车辆的影响，目的是在安全许可的范围内提高车辆的运行速度。【例 1】有一列重为 100 t 的火车，以 72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为 400 m。(g 取 10 m/s2)(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度的正切值。思路点拨：(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。解析(1)v72
98、km/h20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：FNmv2r105202400N1105 N由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于 1105 N。(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则 mgtan mv2r由此可得 tan v2rg0.1。答案(1)1105 N(2)0.1上例中，要提高火车的速度为 108 km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？提示：速率变为原来的32倍，则由 mgtan mv2R，可知：若只改变轨道半径，则 R变为 900 m，若只改变路基倾角，则 tan 0.225。火车转弯问题的两点注意(
99、1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。汽车过拱形桥教材第 37 页“思考与讨论”答案提示：地球可看作一个巨大的拱形桥，由重力与支持力的合力提供向心力，即 FnmgFNmv2R，当速度 v 增大时，汽车对地面的压力减小
100、，当速度增大到 v gR时，地面对车的支持力等于 0，驾驶员与座椅间的压力为 0，驾驶员躯体的各部分之间的压力也为 0，他有失重的感觉。如图甲、乙为汽车在拱形桥、凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动。甲乙问题 1：当你坐汽车经过如图甲所示的桥面时，你有什么感觉？汽车在最高点时对桥的压力会有什么特点？问题 2：若质量为 m 的汽车在拱形桥上以速度 v 行驶，桥面的圆弧半径为 R。则汽车对桥的压力多大？如果汽车速度不断变大，会出现什么情况？问题 3：当你坐汽车经过如图乙所示因下陷形成的凹形路面时，你有什么感觉？汽车在最低点时对路面的压力会有什么特点？问题 4：若质量为 m 的汽车在凹
101、形路面上以速度 v 行驶，路面的圆弧半径为 R。则汽车对凹形路面最低点的压力多大？问题 5：汽车对拱形桥的压力小于汽车的重力与汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力的原因是什么？与电梯中的超、失重现象背后的原因是否相同？提示：(1)失重的感觉，压力小于重力。(2)由牛顿第二定律知：mgFNmv2RFNmgmv2R当 v 增大时，FN 减小。(3)超重感觉，压力大于重力。(4)由牛顿第二定律知：FNmgmv2RFNmgmv2R。(5)汽车在拱形桥的最高点，在凹形路面的最低点，压力大于重力与压力小于重力的原因由加速度的方向决定，这种情况与电梯中超、失重现象的原因相同。1汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经
102、过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。由牛顿第二定律得：GFNmv2r，则 FNGmv2r。汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即 FNFNGmv2r，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。(1)当 0v gr时，0 gr时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。甲乙2汽车过凹形桥如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则 FNGmv2r，故 FNGmv2r。由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力 FNGmv2r，大于汽车的重力。【例 2】如图所示，质量 m2.0104 kg 的汽
103、车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为 60 m。如果桥面承受的压力不得超过3.0105 N(g 取 10 m/s2)，则：(1)汽车允许的最大速率是多少？(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？解析(1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力 FN13.0105 N，根据牛顿第二定律得 FN1mgmv2r即 vFN1m g r3.01052.01041060 m/s10 3 m/s gr10 6 m/s故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为 10 3 m/s。(2)汽车在凸形桥面的最高点时，由牛顿第二定律得mgFN2
104、mv2r则 FN2mgv2r 2.0104 1030060N1.0105 N由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为 1.0105 N。答案(1)10 3 m/s(2)1.0105 N对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源；(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。航天器中的失重现象甲乙丙问题 1：如图甲、乙所示，太空中的小球与陀螺相对于太空航处于静止状态，没有下落。它们受到地球对它的引力吗？为什么？问题 2：如图丙所示，如
105、果把地球看作一个巨大的拱形桥，汽车速度多大时，支持力会变成 0？此时汽车是否就成了环绕地球飞行的物体？问题 3：王亚萍相对地球做什么运动？半径近似为多少？受什么力作用？向心加速度的方向指向哪？问题 4：你所列的方程是怎样的？所得到的答案是什么？提示：(1)受地球的引力。正因为受地球引力，这个引力提供向心力，使得小球与陀螺才能相对太空舱静止，围绕地球做匀速圆周运动。(2)当 v gR时，FN0，此时汽车就成了环绕地球飞行的物体。(3)做圆周运动，半径近似认为等于地球半径，受地球的吸引力，向心加速度始终指向地心。(4)mgmv2Rv gR。人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后可近似认为绕
106、地球做匀速圆周运动，此时地球引力提供了卫星做圆周运动的向心力。航天器中的人和物随航天器一起做圆周运动，其向心力由地球引力和支持力的合力提供。若地球引力全部用来提供向心力，不对其他物体产生压力，则里面的人和物处于完全失重状态。此时，mgmv2R，所以 v Rg(式中 g 为航天器所在处的重力加速度，R 为航天器做匀速圆周运动的半径)。特别提醒1.航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力。反而是因为受到地球引力作用才使航天器连同其中的宇航员能环绕地球转动。2物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力消失。3物体的速度不断变化，具有加速度，处于非平衡状态。【例 3】“神 舟 十 号”飞
107、船绕地球的运动可视为匀速圆周运动，“神 舟十 号”航天员在“天 宫 一 号”中展示了失重环境下的物理实验或现象，下列四幅图中的行为可以在“天 宫 一 号”舱内完成的有()ABCDA用台秤称量重物的质量B用水杯喝水C用沉淀法将水与沙子分离D给小球一个很小的初速度，小球就能在竖直面内做圆周运动D重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤称量重物的质量，故 A 错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故 B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故 C 错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故 D 正确。解题
108、误区航天器的失重不能理解为不受重力作用，只是重力完全提供向心力。离心运动链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。甲乙(1)链球飞出后受几个力？(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？(3)物体做离心运动的条件是什么？提示：(1)重力和空气阻力。(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。(3)物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力。1离心运动的实质离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物
109、体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。2离心运动的条件做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。3离心运动、近心运动的判断如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn 与所需向心力 mv2r或 mr2的大小关系决定。(1)若 Fnmr2(或 mv2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。(2)若 Fnmr2(或 mv2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。(3)若 Fnmr2(或 mv2r
110、)即“提供”不足，物体做离心运动。特别提醒1.产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”。2做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去。4离心运动的应用和防止(1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。【例 4】如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是()A摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用B摩托车所受
111、外力的合力小于所需的向心力C摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去D摩托车将沿其半径方向沿直线滑去B摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项 A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项 B 正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项 C、D 错误。专题课向心力的应用和计算匀速圆周运动问题求解1匀速圆周运动的特点线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。2求解步骤解决匀速圆周运动相关问题的方法就是解决动力学问题的一般方法，其解决问题
112、的步骤也是解决动力学问题的步骤，但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些运动学规律，同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面、圆心和半径等。3几种常见匀速圆周运动的向心力分析图形受力分析以向心加速度方向为 x 轴正方向建立坐标系，将各力进行正交分解根据牛顿第二定律和向心力公式列关系式FTcos mgFTsin m2lsin FNcos mgFNsin m2r在水平面上F 升cos mgF 升sin m2r在光滑水平面上FNmAgF 拉mBgmA2r【例 1】如图所示，一长为 L 的细绳一端固定在天花板上，另一端与一质量为 m 的小球相连接。现使小球在一水平面内做匀速圆周运动，此时细绳与竖直
113、方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度大小为 g。(1)求维持小球做圆周运动的向心力大小 Fn；(2)求小球做圆周运动的线速度大小 v；(3)某同学判断，若小球的线速度增大，细绳与竖直方向的夹角也将增大，但不能等于 90。试证明当趋近于 90时，细绳对小球的拉力将趋近于无穷大。解析(1)小球做匀速圆周运动时受细线的拉力和重力作用，由向心力的定义及力的合成法则得 FnF 合mgtan。(2)由向心力的公式得 mgtan mv2R，又 RLsin，所以 v gLtan sin 或gLcos sin 。(3)细绳对小球的拉力 FT mgcos，当趋近于 90时，cos 趋近于 0，所以 FT 趋近于
114、无穷大。答案(1)mgtan(2)gLtan sin 或gLcos sin(3)见解析向心力是效果力，它由某一个力，或某一个力的分力，或几个力的合力提供，它不是性质力，分析物体受力时不能分析向心力。同时，还要清楚向心力的不同的表达式。两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球，细线上端固定在同一点。若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则图中两个小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是()ABCDB如图所示，小球做匀速圆周运动，对小球受力分析，根据向心力的公式有 mgtan m2Lsin，整理得 Lcos g2，g2是常量，即两球处于同一高度，B 正确。圆周运动中的临
115、界问题关于圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识列方程求解。1与绳的弹力有关的临界问题此问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)等。2与支持面弹力有关的临界问题此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)等。3因静摩擦力而产生的临界问题此问题要分析出静摩擦力达最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)等。【例 2】(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量 M2 kg 的木块，它与转台间的最大静摩擦力为 Fmax6.0 N，绳的一端系
116、在木块上，另一端通过转台的中心孔 O(孔光滑)悬挂一个质量 m1.0 kg 的物体，当转台以角速度5 rad/s 匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到 O 点的距离可以是(g 取 10 m/s2，M、m均视为质点)()A0.04 mB0.08 mC0.16 mD0.32 mBCD当 M 有远离轴心运动的趋势时，有 mgFmaxM2rmax，解得 rmaxmgFmaxM20.32 m，当 M 有靠近轴心运动的趋势时，有 mgFmaxM2rmin，解得 rminmgFmaxM20.08 m。故选项 B、C、D 正确。静摩擦力产生的临界情况在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的
117、转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当 F 静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速度。解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围、方向可以改变”这一特点。专题课生活中的圆周运动竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，都是绳模型，如图所示。甲乙(1)向心力分析小球运动到最高点时受向下的重力和向下的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向心力，mgFNmv2r。小球运动到最低点时受向下的重力和向上的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向心力，FNmgmv2r。(2)临界条件小球恰好过最高点时，应满足弹力
118、 FN0，即 mgmv2r，可得小球在竖直面内做圆周运动的临界速度 v gr。(3)能过最高点的条件：vv 临。(4)不能通过最高点的条件：vv 临，实际上小球在到达最高点之前就脱离了圆轨道，如图所示。【例 1】一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量 m0.5 kg，水的重心到转轴的距离 l50 cm。(g 取 10 m/s2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率 v3 m/s，求水对桶底的压力大小。思路点拨在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用。解析
119、(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。有：mgmv20l则所求的最小速率为：v0 gl2.24 m/s。(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为 FN，则由牛顿第二定律有：FNmgmv2l代入数据可得：FN4 N由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN4 N。答案(1)2.24 m/s(2)4 N竖直平面内圆周运动的分析方法(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。竖直面内圆周运动的轻
120、杆(管)模型小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，都是杆模型，如图所示。甲乙(1)向心力分析小球运动到最高点时受杆(或轨道)的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力。若弹力向上：mgFNmv2r；若弹力向下：mgFNmv2r。小球运动到最低点时受杆(或轨道)向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力，FNmgmv2r。(2)临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度 v 临0，轻杆或轨道对小球有支持力 FNmg。(3)当 0v gr时，杆或内管壁对小球的支持力 FNmgmv2r，支持力 FN 随v 的增大而减小，
121、其取值范围是 0FNmg。(4)当 v gr时，杆对小球施加的是拉力，且拉力 Fmv2rmg；或外管壁对小球有竖直向下的压力 FNmv2rmg。【例 2】长度为 0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连着一个质量 m2 kg 的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向。(g 取 10 m/s2)(1)杆做匀速圆周运动的转速为 2.0 r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为 0.5 r/s。解析小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为 2.0 r/s 时，2n4 rad/s由牛顿第二定律得FmgmL2故小球所受杆的作用力FmL2mg2(
122、0.542210)N138 N即杆对小球提供了 138 N 的拉力由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为 138 N，方向竖直向上。(2)杆的转速为 0.5 r/s 时，2n rad/s同理可得小球所受杆的作用力FmL2mg2(0.5210)N10 N力 F 为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为 10 N，方向竖直向下。答案(1)小球对杆的拉力为 138 N，方向竖直向上(2)小球对杆的压力为 10 N，方向竖直向下(1)注意 r/s 与 rad/s 的不同。(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力。(3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正
123、方向的办法。第七章 万有引力与宇宙航行7.1 行星的运动一、地心说和日心说开普勒定律1地心说地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他星体都绕地球运动。2日心说太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。注意古代两种学说都是不完善的，因为不管是地球还是太阳，它们都在不停地运动，并且行星的轨道是椭圆，其运动也不是匀速率的。鉴于当时人们对自然科学的认识能力，日心学比地心说更进一步。3开普勒定律定律内容公式或图示开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律所有行星轨道的半长
124、轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等公式：a3T2k，k 是一个与行星无关的常量注意不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的。二、行星运动的近似处理1行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。2对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动。3所有行星轨道半径 r 的三次方跟它的公转周期 T 的二次方的比值都相等，即r3T2k。对开普勒行星运动定律的理解教材第 45 页“做一做”提示：保持绳长不变，当两焦点不断靠近时，椭圆形状逐渐接近圆的形状；焦点重合时，半长轴转变为圆的半径。如图所示是地球绕太阳公转及四季的示意图，由图可知地球在春分日、夏至日、秋分日
125、和冬至日四天中哪一天绕太阳运动的速度最大？哪一天绕太阳运动的速度最小？提示：冬至日，夏至日。由图可知，冬至日地球在近日点附近，夏至日在远日点附近，由开普勒第二定律可知，冬至日地球绕太阳运动的速度最大，夏至日地球绕太阳运动的速度最小。对开普勒行星运动定律的理解定律认识角度理解开普勒第一定律对空间分布的认识各行星的椭圆轨道尽管大小不同，但太阳是所有轨道的一个共同焦点不同行星的轨道是不同的，可能相差很大开普勒第二定律对速度大小的认识行星沿椭圆轨道运动靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小近日点速度最大，远日点速度最小开普勒第三定律对周期长短的认识椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长该定律不仅适用
126、于行星，也适用于其他天体常数 k 只与其中心天体有关特别提醒开普勒行星运动定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，如绕某一行星运动的卫星。【例 1】关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是()A所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处C行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大D离太阳越近的行星运动周期越短D不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道不同，但有一个共同的焦点，即太阳位置，A、B 错误；由开普勒第二定律知，行星离太阳距离小时速度大，距离大时速度小，C 错误；运动的周期 T 与半长轴 a 满足a3T2
127、k，D 正确。开普勒行星运动定律的三点注意(1)开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律，它们都是经验定律。(2)开普勒第二定律与第三定律的区别：前者揭示的是同一行星在距太阳不同距离时的运动快慢的规律，后者揭示的是不同行星运动快慢的规律。(3)绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的天体，k 值相等，即r3T21a3T22k。开普勒行星运动定律的应用如图所示是火星冲日的年份示意图，请思考：(1)观察图中地球、火星的位置，地球和火星谁的公转周期更长？(2)已知地球的公转周期是一年，由此计算火星的公转周期还需要知道哪些数据？(3)地球、火星的轨道可近似看成圆轨道，开普勒第三定律还适用
128、吗？提示：(1)由题图可知，地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，根据开普勒第三定律可得：火星的公转周期更长一些。(2)还需要知道地球、火星各自轨道的半长轴。(3)对于圆轨道，开普勒第三定律仍然适用，只是a3T2k 中的半长轴 a 换成圆的轨道半径 r。1适用范围：既适用于做椭圆运动的天体，也适用于做圆周运动的天体；既适用于绕太阳运动的天体，也适用于绕其他中心天体运动的天体。2意义：开普勒关于行星运动的确切描述，不仅使人们在解决行星的运动学问题上有了依据，更澄清了人们对天体运动神秘、模糊的认识，同时也推动了对天体动力学问题的研究。3近似处理：由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在近似计算中，可以认为
129、，行星都以太阳为圆心做匀速圆周运动。【例 2】飞船沿半径为 R 的圆周绕地球运动，其周期为 T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点 A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在 B 点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求飞船由 A 点运动到 B 点所需要的时间。思路点拨：分析该题的关键是：开普勒第三定律对圆轨道和椭圆轨道都适用。椭圆轨道的半长轴大小为RR02。飞船由 A 点运动到 B 点的时间为其椭圆轨道周期的一半。解析飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由 A 点到 B 点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为RR
130、02，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为 T根据开普勒第三定律有R3T2RR023T2解得 TTRR02R3RR0T2RRR02R所以飞船由 A 点到 B 点所需要的时间为tT2RR0T4RRR02R。答案RR0T4RRR02R上例中，飞船在半径为 R 的圆周轨道与椭圆轨道上运行时的周期之比为多少？提示：由R3T2k 知，T R3。则周期之比为R3RR0238R3RR03。应用开普勒第三定律的步骤(1)判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立。(2)明确题中给出的周期关系或半径关系。(3)根据开普勒第三定律r31T21r32T22k 列式求解。7.2 万有引力定律一、
131、行星与太阳间的引力1模型简化行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。理想模型的建立1行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。太阳：中心天体；行星：环绕天体2太阳与行星间的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力。2太阳对行星的引力Fmv2rm2rT21r42mrT2。结合开普勒第三定律得：Fmr2。3行星对太阳的引力根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力 F的大小也存在与上述关系类似的结果，即 Fm 太r2。4太阳与行星间的引力由于 Fmr2、Fm 太r2，且 FF，则有 Fm 太mr2，写成等式 FGm 太mr2，式中G 为比例系数。5
132、太阳与行星间的引力方向沿着二者的连线。二、月地检验1猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律。2检验方法：(1)物体在月球轨道上运动时的加速度：a 1602g。(2)月球围绕地球做匀速圆周运动的加速度：a42r 月T2月。(3)对比结果：月球在轨道高度处的加速度近似等于月球的向心加速度。3结论：地面物体受地球的引力，月球所受地球的引力，太阳与行星的引力，遵从相同的规律。三、万有引力定律1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比。2表达式：F
133、Gm1m2r2。四、引力常量1测量者：卡文迪什。2数值：G6.671011Nm2/kg2。卡文迪什扭秤实验利用了“等效法”和“放大法”。太阳与行星间引力的理解(教师用书独具)教材第 51 页“思考与讨论”答案提示：a 月2r2T 月2r23.142.3610623.8108m/s22.69103m/s2g9.8 m/s2，a 月g 13 64313 600，在误差允许范围内可以验证前面的假设。如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动。(1)为什么行星会围绕太阳做圆周运动？(2)太阳对不同行星的引力与行星的质量是什么关系？(3)行星对太阳的引力与太阳的质量是什么关系？提示：(1)因为行星受
134、太阳的引力，引力提供向心力。(2)与行星的质量成正比。(3)与太阳的质量成正比。1两个理想化模型(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。2推导过程(1)太阳对行星的引力(2)太阳与行星间的引力【例 1】(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是()A由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大B行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小C由 FGM
135、mr2 可知 GFr2Mm，由此可见 G 与 F 和 r2 的乘积成正比，与 M 和m 的乘积成反比D行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力BD由 FGMmr2，太阳对行星的引力大小与 m、r 有关，对同一行星，r 越大，F 越小，选项 B 正确；对不同行星，r 越小，F 不一定越大，还要由行星的质量决定，选项 A 错误；公式中 G 为比例系数，是一常量，与 F、r、M、m 均无关，选项 C 错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，选项 D 正确。太阳与行星间的引力特点(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：
136、太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。万有引力定律的理解无论是太阳与行星、地球与月球以及任何物体之间都存在万有引力。(1)公式 FG m1m2r2 中 r 的含义是什么？(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式 FG m1m2r2 计算出来吗？提示：(1)r 指的是两个质点间的距离。(2)不能。万有引力定律的表达式 FG m1m2r2 只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间 r 不易确定。1FG m1m2r2 的适用条件(1)万有引力定律的公式适用于计
137、算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中 r 是两个球体球心间的距离。(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的 r 是球体球心到质点的距离。2万有引力的四个特性特性内容普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的
138、天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关3引力常量 G(1)对 G 值的理解目前引力常量推荐的标准值 G6.674 08(31)1011Nm2/kg2，通常取 G6.671011Nm2/kg2。引力常量有单位，单位符号为 Nm2/kg2。意义：在数值上等于两个质量都是 1 kg 的质点相距 1 m 时的相互作用力。因为引力常量 G 很小，我们日常生活中接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难察觉到物体之间的引力。(2)引力常量的测定卡文迪什扭秤实验的工作原理
139、是利用大球和小球间产生力矩，如图所示，此力矩与石英丝 N 力矩平衡。万有引力力矩使 T 形架转动，T 形架转动时带动平面镜 M 也发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度。利用石英丝 N 扭转力矩和扭转角度的关系，求出扭转力矩，从而求出大球和小球间的万有引力。利用 FGmmr2，即G Fr2mm，比较准确地得出了 G 的数值。(3)引力常量测定的意义卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值。卡文迪什扭秤实验是物理学上
140、非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法，合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。【例 2】对于万有引力定律的数学表达式 FGm1m2r2，下列说法中正确的是()A公式中 G 为引力常量，是人为规定的Br 趋近零时，万有引力趋于无穷大Cm1、m2 受到的万有引力总是大小相等，与 m1、m2 的质量是否相等无关Dm1、m2 受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力C万有引力公式中的引力常量 G 是由实验测定的，而不是人为规定的，A错误；使用公式 FG m1m2r2 时，若两物体可以看成质点，则 r 为两物体之间的距离。认为 r 趋于零，万有引力趋于无穷大的纯数学思想是不正
141、确的，因为当物体间的距离 r0 时，物体不可以看成质点，就不能直接应用公式 FG m1m2r2 计算，B 错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，不是平衡力，C 正确，D 错误。万有引力与重力的关系假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？提示：(1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向
142、地心。1万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为 M，半径为 R，A 处物体的质量为 m，则物体受到地球的吸引力为 F，方向指向地心 O，则由万有引力公式得FGMmR2。2万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力 F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力 F2 是重力，产生使物体压地面的效果。3重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上 FFnmg，即 GMmR2 mr2mg，所以 mgGMmR2 mr2。(2)地球两极处：向心力为零，所以 mgFGMmR2。(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力
143、的大小 mgGMmR2，重力的方向偏离地心。4重力、重力加速度与高度的关系(1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即 mgGMmR2，所以地球表面的重力加速度 gGMR2。(2)地球上空 h 高度，万有引力等于重力，即 mgG MmRh2，所以 h 高度的重力加速度 g GMRh2。【例 3】设地球自转周期为 T，质量为 M，引力常量为 G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为 R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为()AGMT2GMT242R3BGMT2GMT242R3CGMT242R3GMT2DGMT242R3GMT2A在赤道上：GMmR2 FNm42T2 R，可
144、得 FNGMmR2 m42T2 R；在南极：GMmR2FN，联立可得：FNFNGMT2GMT242R3，故选项 A 正确，B、C、D 错误。处理万有引力与重力关系的思路(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mgGMmR2。(2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极处：mgGMmR2；赤道处：mgF 向GMmR2。7.3 万有引力理论的成就一、“称量”地球的质量1合理假设：不考虑地球自转。2“称量”依据：地面上质量为 m 的物体所受的重力 mg 等于地球对物体的引力，即 mgGmm 地R2，由此可解得
145、 m 地gR2G。卡文迪什把测引力常量的实验称为“称量地球的质量”是不无道理的。3结论：只要知道 g、R 的值，就可以算出地球的质量。二、计算天体质量1计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程 Gmm 太r2 m42rT2，由此可解得 m 太42r3GT2。这种方法我们称之为“rT”法小 r 大 T 法，小 r 是行星轨道的半径，大 T 是行星的公转周期。2结论：只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r，就可以计算出太阳的质量。3计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T 和轨道半径 r，就可计算出行星的质量 m 行42r3G
146、T2。三、发现未知天体及预言哈雷彗星回归1海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星。2其他天体的发现近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。3预言哈雷彗星回归英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为 76 年。计算天体的质量与密度教材第 56 页“思考与讨论”答案提示：GMmr2 m42T2 r，M42r3GT2，
147、T 为地球绕太阳公转的周期，代入数据可计算太阳的质量，换用其他行星的相关数据计算，结果相近。因为各行星以太阳为中心天体，有r3地T2地r3行T2行k，k 为定值，可知估算结果相似。(1)假设地球绕太阳做匀速圆周运动，如果知道万有引力常量 G、地球绕太阳运动的周期 T 和轨道半径 r，可以计算出地球的质量吗？(2)如果要估算出太阳的密度，应该知道哪些条件？提示：(1)不可以。(2)万有引力常量 G、太阳半径 R、地球绕太阳运动的周期 T 和轨道半径 r。1天体质量的计算(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径 R 及其表面的重力加速度 g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，
148、得 mgGMmR2，解得天体的质量为 MgR2G，g、R 是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明GMmr2 mv2rMrv2Gr 为行星(或卫星)的轨道半径，v、T 为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期GMmr2 mr2Mr32GGMmr2 mr42T2M42r3GT2特别提醒1求解中心天体的质量，需知道绕该天体转动的某一环绕天体的运行规律，与环绕天体的质量无关。2利用上述两种方法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量。2天体密
149、度的计算(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度由 mgG MmR2 和 M4R33，得 3g4GR。(2)利用天体的卫星求天体密度若已知中心天体的半径 R，环绕天体的运转周期 T，轨道半径 r，则可得 GMmr2m42T2 r，中心天体质量 M43R3，联立可得 3r3GT2R3。特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径 r 可认为等于天体半径 R，则 3GT2。【例 1】(多选)若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0 水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L。已知月球半径为 R，万有引力常量为 G。则下列说法正确的是()A月球表面的重力加速度 g 月2hv20L2B月
150、球的质量 m 月2hR2v20GL2C月球的自转周期 T2Rv0D月球的平均密度 3hv202GL2AB根据平抛运动规律，Lv0t，h12g 月t2，联立解得 g 月2hv20L2，选项 A正确；由 mg 月G mm 月R2 解得 m 月2hR2v20GL2，选项 B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项 C 错误；月球的平均密度m 月43R3 3hv202GL2R，选项 D 错误。求解天体质量和密度时的两种常见误区(1)根据轨道半径 r 和运行周期 T，求得 M42r3GT2 是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应
151、一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用 R 表示，轨道半径用 r 表示，这样就可以避免如 3r3GT2R3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径 r 才可以认为等于天体半径 R。天体运动的分析与计算如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。(2)由 GMmr2 manmv2rm2rm42T2 r 表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量
152、都与轨道半径有关系。1天体运动的定性分析设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动。(1)由 GMmr2 m v2r得 vGMr，r 越大，天体的 v 越小。(2)由 GMmr2 m2r 得GMr3，r 越大，天体的越小。(3)由 GMmr2 m2T2r 得 T2r3GM，r 越大，天体的 T 越大。(4)由 GMmr2 man 得 anGMr2，r 越大，天体的 an 越小。2天体运动的定量计算(1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：GMmr2 m
153、a，式中 a 是向心加速度。(2)常用的关系式：GMmr2 mv2rm2rm42T2 r，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。mgG MmR2 即 gR2GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。【例 2】有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为 m1 和 m2，绕太阳运行的轨道半径分别是 r1 和 r2，求：(1)它们与太阳间的万有引力之比；(2)它们的公转周期之比。解析(1)设太阳质量为 M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比
154、F1F2GMm1r21GMm2r22m1r22m2r21。(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有GMmr2 m2T2r所以，天体绕太阳运动的周期 T2r3GM则两天体绕太阳的公转周期之比T1T2r31r32。答案(1)m1r22m2r21(2)r31r32上例中，若 r1r2，则两行星的运行的角速度1、2 和线速度 v1、v2 的关系怎样？提示：12，v1v2.双星问题的分析与求解2019 年 7 月，美国天文学家在最新一期自然杂志撰文称，他们发现了迄今已知宇宙中“运行速度最快的白矮星双星系统”“ZTF J15395027”，这一发现或对研究引力波具有重要意义。
155、如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，在相互引力作用下，形成相互环绕运行的一个系统。它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。(1)两个天体做圆周运动所需的向心力有什么特点？(2)两个天体做圆周运动的周期和角速度有什么关系？提示：(1)大小相等。(2)双星做圆周运动的角速度和周期都相同。1定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。2特点：(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm1m2L2 m121r1，Gm1m2L2m222r2。(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，12。(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L。3两颗星
156、到圆心的距离 r1、r2 与星体质量成反比，即m1m2r2r1，与星体运动的线速度成正比。4几个基本结论(建议自行推导)(1)轨道半径：r1m2m1m2Lr2m1m1m2L。(2)星体质量：m142r2L2GT2m242r1L2GT2。(3)周期：T2LLGm1m2。【例 3】(多选)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100 s 时，它们相距 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A质量之积B质
157、量之和C速率之和D各自的自转角速度思路点拨双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求出双星总质量与双星距离和周期的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系统旋转的角速度和线速度关系。BC由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动 12 圈，则两中子星的周期相等，且均为 T 112 s，两中子星的角速度均为2T，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为 m1、m2，轨道半径分别为 r1、r2，速率分别为 v1、v2，则有：Gm1m2L2 m12r1、Gm1m2L2 m22r2，又 r1r2L400 km，解得 m1m22L3G，A 错误，B 正确；又由 v1r1、v2r
158、2，则 v1v2(r1r2)L，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。7.4 宇宙航行一、宇宙速度1第一宇宙速度(1)物体绕地球速度推导：物体绕地球的运动可视作匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，有 Gmm 地r2 mv2r，由此解出 vGm 地r(m 地为地球质量，r 为物体做圆周运动的轨道半径)。(2)数值：已知地球的质量，近似用地球半径 R 代替 r，算出 vGm 地R 7.9km/s，这就是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度。第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速度。2第二宇宙速度当飞行器的速度等于
159、或大于 11.2 km/s 时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把 11.2 km/s 叫作第二宇宙速度。3第三宇宙速度在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于 16.7 km/s，这个速度叫作第三宇宙速度。图解三个宇宙速度二、人造地球卫星载人航天与太空探索1同步卫星：地球同步卫星位于赤道上方高度约 36 000 km 处，因相对地面静止，也称静止卫星。地球同步卫星与地球以相同的角速度转动，周期与地球自转周期相同。21957 年 10 月，苏联成功发射了世界上第一颗人造地球卫星。1969 年 7 月，美国“阿波罗 11 号”登上月球。2
160、003 年 10 月 15 日，我国“神舟五号”把航天员杨利伟送入太空。宇宙速度的理解与计算教材第 60 页“思考与讨论”答案提示：正确，在地球表面的物体所受引力GMmR2 mg，得 GMgR2，又 mgm v2R得 v gR。发射卫星，要有足够大的速度才行。(1)怎样求地球的第一宇宙速度？不同星球的第一宇宙速度是否相同？(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？提示：(1)根据 GMmR2 mv2R，得 vGMR；可见第一宇宙速度由地球的质量和半径决定；不同星球的第一宇宙速度不同。(2)轨道越高，需要的发射速度越大。1三个宇宙速度数值意义说明第一宇宙速度(环绕速度)7.9 k
161、m/s物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度7.9 km/s 是卫星在地面附近的最小发射速度，也是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，在地面附近发射速度 7.9 km/sv11.2 km/s，卫星在椭圆轨道上绕地球运动第二宇宙速度(逃逸速度)11.2 km/s物体挣脱地球引力的束缚，离开地球的最小发射速度当 11.2 km/sv16.7 km/s 时，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”第三宇宙速度16.7 km/s物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度当 v16.7 km/s 时，卫星脱离太阳的引力束缚，跑到太阳系以外的宇宙空间中去2第一宇宙速度的
162、两种推导方法对于近地人造卫星，轨道半径 r 近似等于地球半径 R6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，g 取 9.8 m/s2，则方法一：rR 万有引力提供向心力GMmR2 mv2R vGMR 7.9 km/s方法二：万有引力近似等于卫星重力 卫星重力提供向心力mgmv2R v gR7.9 km/s特别提醒上述两种推导地球第一宇宙速度的方法，也可以推广运用到其他星球上去。知道某个星球的质量 M 和半径 R，即可用 vGMR 求得该星球的第一宇宙速度；同样，若知道该星球的半径 R 和重力加速度 g，也可用 v gR求得该星球的第一宇宙速度。3决定因素由第一宇
163、宙速度的计算式 vGMR 可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量 M 和半径 R，与卫星无关。4对发射速度和环绕速度的理解(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。(2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由 GMmr2 m v2r可得 vGMr，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。【例
164、1】2020 年 3 月 9 日 19 时 55 分，我国在西昌卫星发射中心用“长 征三 号乙”运载火 箭，成功发射北 斗系统第五十四颗北 斗导 航卫 星，卫星顺利进入预定轨道。若已知地球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，地球的第一宇宙速度为 v1，则()A根据题给条件可以估算出地球的质量B据题给条件不能估算地球的平均密度C第一宇宙速度 v1 是人造地球卫星的最大发射速度，也是最小环绕速度D在地球表面以速度 2v1 发射的卫星将会脱离太阳的束缚，飞到太阳系之外A设地球半径为 R，则地球的第一宇宙速度为 v1 gR，对近地卫星有 GMmR2mg，联立可得 M v41gG，A 正确；地球体积
165、V43R343v21g3，结合 M v41gG，可以估算出地球的平均密度为 3g24Gv21，B 错误；第一宇宙速度 v1 是人造地球卫星的最小发射速度，也是最大的环绕速度，C 错误；第一宇宙速度 v17.9 km/s，第二宇宙速度 v211.2 km/s，第三宇宙速度 v316.7 km/s，在地球表面以速度 2v1发射的卫星，速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，此卫星成为绕太阳运动的卫星，D 错误。地球三种宇宙速度的理解(1)三种宇宙速度均指在地球上的发射速度。(2)第一宇宙速度是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是卫星的最小发射速度。(3)轨道半径越大的卫星，其运行速度越小，但
166、其地面发射速度越大。人造地球卫星如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度等跟什么因素有关呢？提示：(1)轨道平面过地心。(2)与轨道半径有关。1人造地球卫星的动力学特征人造地球卫星绕地球转动，可以视为匀速圆周运动，其所需的向心力只能由万有引力提供，故有 F 引G Mmr2 和 GMmr2 ma 向。此两式就表明了人造地球卫星的动力学特征。2人造地球卫星的轨道卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道，但轨道平面一定过地心。(1)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，卫星
167、的周期和半长轴的关系遵从开普勒第三定律。(2)卫星绕地球沿圆轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心。(3)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度。如图所示。3人造地球卫星的运动学特征(1)人造地球卫星的两个速度发射速度：指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。绕行速度：指卫星在进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。根据 vGMr 可知，卫星越高，半径越大，卫星的绕行速度就越小。(2)人造地球卫星的运动学特征由 GMmr
168、2 m v2r得，vGMr，即有 v 1r，说明卫星的运行轨道半径越大，其运行线速度就越小。vGMr 是人造地球卫星线速度的决定公式。由 GMmr2 m2r 得，GMr3，即有 1r3，说明人造地球卫星的运行轨道半径越大，角速度越小。GMr3 是人造地球卫星角速度的决定公式。由 GMmr2 man 得 anGMr2，即卫星的向心加速度 an1r2，运行轨道半径越大，向心加速度越小，与卫星自身的质量无关。由 GMmr2 m42T2 r 得，T2r3GM，即有 T r3，说明人造地球卫星的运行轨道半径越大，其运行周期就越长。T2r3GM是人造地球卫星周期的决定公式。发射人造地球卫星绕地球运动的最小
169、周期约为 85 分钟。4地球同步卫星(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步卫星。(2)特点确定的转动方向：和地球自转方向一致。确定的周期：和地球自转周期相同，即 T24 h。确定的角速度：等于地球自转的角速度。确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合。确定的高度：离地面高度固定不变(3.6104 km)。确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1103 m/s)。【例 2】(多选)已知地球质量为 m 地，半径为 R，自转周期为 T，地球同步卫星质量为 m，引力常量为 G。有关同步卫星，下列表述正确的是()A卫星距地面的高度为3Gm
170、 地T242B卫星的运行速度小于第一宇宙速度C卫星运行时受到的向心力大小为 Gm 地mR2D卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度BD由 G m 地mRh2m(Rh)2T2得卫星距地面的高度为3Gm 地T242R，选项A 错误；第一宇宙速度是最小的发射卫星的速度，是卫星最大的环绕速度，选项 B正确；同步卫星距地面有一定的高度 h，受到的向心力大小为 G m 地mRh2，选项 C错误；由 G m 地mRh2ma 得卫星运行的向心加速度为 a Gm 地Rh2，由 Gm 地mR2 mg得地球表面的重力加速度为 gGm 地R2，选项 D 正确。解决同步卫星问题的技巧1同步卫星与一般的卫星遵循同样
171、的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中。2同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面。载人航天与太空探索如图，2018 年 2 月 2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张 衡一号”发射升空，标志着我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期。(1)为什么发射速度越大，运行速度反而更小呢？是否违背了能量守恒定律？(2)发射人造卫星时，实际上是火箭把人造卫星送入轨道的，那么发射速度又该怎样理解呢？提示：(1)发射速度越大，把卫星送到的轨道高度越高，即运行轨
172、道半径越大，由 GMmr2 m v2r得 vGMr，r 越大 v 越小；不违背能量守恒。(2)发射高轨道卫星时，一般先利用火箭将卫星发射到近地轨道运行，然后在空中点火加速，卫星进入转移轨道，到达需要的高度(轨道)，再次利用空中点火加速，当引力和向心力相等时，人造卫星稳定在高轨道运行。1宇宙飞船的发射(1)发射人造卫星或宇宙飞船应选择靠近赤道处来建较高的发射塔，而且发射时发射的方向都是向东发射。这是什么原因呢？因为这样可节省火箭燃料。地球自西向东自转，随地球纬度变化，各处自转的线速度也不同。在赤道处，地球自转的线速度最大，自转的线速度大小随纬度的增大而减小，在南北两极速度为零。顺着地球自转方向，
173、在赤道附近向东发射倾角为零的卫星，这时就可以充分利用发射的卫星随地球自转的惯性，宛如“顺水推舟”，节省能量。(2)发射人造卫星(或飞船)进入轨道运行，近地环绕的圆轨道上的卫星(或飞船)的最大环绕速度 vGMR 7.9 km/s，若卫星(或飞船)的运行轨道为椭圆轨道，则近地速度为 7.9 km/sv，此种情况称为时间延缓效应。(2)长度收缩效应如果与杆相对静止的人测得杆长是 l0，沿着杆的方向，以 v 相对杆运动的人测得杆长是 l，那么两者之间的关系是 ll01vc2。由于 1vc21，所以总有 ll0，此种情况称为长度收缩效应。3相对论时空观t1vc2和 ll01vc2表明运动物体的长度(空间
174、距离)和物理过程的快慢(时间进程)都跟物体的运动状态有关。它所反映的时空观称作相对论时空观。二、牛顿力学的成就与局限性1牛顿力学的成就：从地面上物体的运动到天体的运动，都服从牛顿力学的规律。2牛顿力学的局限性：(1)微观世界：电子、质子、中子等微观粒子，它们不仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明。(2)牛顿力学只适用于低速运动，不适用于高速运动。相对论时空观的理解(教师用书独具)教材第 67 页“思考与讨论”答案提示：以子为参考系，子的平均寿命为 3.0 s。以地面为参考系，子的平均寿命为 21.3 s。如图所示，静止在地球上的人测得地月之间的距离为
175、l0，坐在从地球高速飞往月球的飞船里的宇航员测得地月之间的距离仍为 l0 吗？提示：不是，宇航员测得的地月之间的距离小于 l0。1狭义相对论的两个假设在经典力学中，v 船岸v 船水v 水岸成立，但在两个不同参考系中，爱因斯坦认为该式不成立。1905 年，爱因斯坦提出了两条基本假设(狭义相对论的基础)。(1)相对性原理物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式。(2)光速不变原理在一切惯性参考系中，测得的真空中的光速 c 都相同。例如：在粒子对撞机中，有一个电子经过加速器加速后，速度可达到光速的12。此时由于电子的速度接近光速，所以质量变化明显，根据爱因斯坦狭义相对论中运动质量与静止质量的关系得
176、mm01v2c2m0114m0342m03 1.155m0。2爱因斯坦假设中的主要效应(1)时间延缓效应：运动时钟会变慢，即t1v2c2。(2)长度收缩效应：运动长度 l 会收缩，即 ll01v2c2。【例 1】地面上长 100 km 的铁路上空有一火箭沿铁路方向以 30 km/s 的速度掠过，则火箭上的人看到铁路的长度应该为多少？如果火箭的速度达到 0.6c，则火箭上的人看到的铁路的长度又是多少？解析当火箭速度较低时，长度基本不变，还是 100 km。当火箭的速度达到 0.6c 时，由相对论长度公式ll01vc2代入相应的数据解得 l100 10.62 km80 km。答案100 km80
177、km由公式 ll01vc2知，相对于地面以速度 v 运动的物体，从地面上看，沿着运动方向上的长度变短了，速度越大，变短得越多。,两种情况：1在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象。2我们平常观察不到这种长度收缩效应，是因为我们生活在比光速低得多的低速世界里，长度收缩效应极不明显，即使运动物体的速度达到 v30 000 km/s即 0.1c，长度收缩效应也只不过是 5%，因此，在低速运动中，vc，ll0，长度收缩效应可忽略不计。牛顿力学的局限性粒子对撞机可以把质子加速到接近于光速，如图所示。经典力学是否适用于质子的运动规律？如何研究质子的运动规律？提示：不适用。经典力学只适用于宏观低速运动，描述
178、微观高速粒子的运动要用到量子力学。经典力学与相对论、量子力学的比较(1)区别经典力学适用于低速运动的物体；相对论是爱因斯坦假设阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律。经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律。(2)联系当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别。当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别。相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形。【例 2】关于经典力学、爱因斯坦假设和量子力学，下列说法中正确的是()A爱因斯坦假设和经典力学是相互对立、互不相容的两种理论B经典力学
179、包含于相对论之中，经典力学是相对论的特例C经典力学只适用于宏观物体的运动，量子力学只适用于微观粒子的运动D不论是宏观物体，还是微观粒子，经典力学和量子力学都是适用的B相对论没有否定经典力学，经典力学是相对论在一定条件下的特殊情形，选项 A 错误，B 正确；经典力学适用于宏观、低速、弱引力的领域，选项 C、D错误。第八章 机械能守恒定律8.1 功与功率一、功1内容：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。2公式：WFlcos。3功是标量(选填“标量”或“矢量”)。4功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。5功的单位物理意义：1 J 等于
180、1 N 的力使物体在力的方向上发生 1 m 位移的过程中所做的功，即 1 J1 N1 m1 Nm。二、正功和负功1正功和负功的取值W 的取值含义2W0力 F 不做功02W0力 F 对物体做正功2W0力 F 对物体做负功说明：力 F 对物体做负功，也可以表述为物体克服力 F 做功，这两种说法的意义是等同的。例如，可以说摩擦力做了3 J 的功，也可以说物体克服摩擦力做了 3 J 的功。2总功当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和，即W 总W1W2W3Wn。三、功率1定义力对物体所做的功 W 与完成这些功所用时间 t 的比值。2定义式
181、PWt。3单位在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号 W 表示。说明：在工程技术上常用的单位是千瓦kW，1 kW103 W。4意义功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。5功率与速度(1)关系：当一个力与运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与物体速度的乘积。(2)关系式：PFv。若 v 是物体的平均速度，则 PFv 为对应时间 t 内的平均功率。若 v 是瞬时速度，则 P 表示该时刻的瞬时功率。(3)应用：从 PFv 可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率 P 一定时，牵引力 F 与速度成反比，要增大牵引力，就要减小速度。对功的理解如图所示，马拉着小车(
182、包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力对小车做功吗？做正功还是负功？(2)马对小车做的功是否等于马的拉力 F(设 F 与水平方向的夹角为)和小车的位移 l 的乘积？(3)若小车做匀加速运动，合力做什么功？若小车做匀减速运动，合力做什么功？怎样求合力的功？提示：(1)小车(包括人)受 4 个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功。(2)不等于。因为 WFlcos。(3)若小车做匀加速运动，合力做正功。若小车做匀减速运动，合力做负功。合力的功等于拉力 F 做的功与摩擦力做的功的代数和，或者等于拉力和摩擦力的合力做
183、的功。1公式 FFlcos 的理解与应用(1)在使用公式 WFlcos 计算功时，公式中各量 W、F、l 都要取国际单位制单位。(2)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。(3)公式 WFlcos 只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。式中的 l 是力的作用点的位移，是力 F 的方向与位移 l 的方向的夹角。(4)公式 WFlcos，可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即 WF(lcos)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即 W(Fcos)l。(5)力 F 对物体所做的功 W，只与 F、l、三者有关，与
184、物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。(6)因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式 WFlcos 求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。2总功的计算当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算这几个力对物体所做的总功，通常有以下两种方法。(1)这几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。若以W1、W2、W3分别表示力 F1、F2、F3所做的功，则这些力所做的总功为 W 总W1W2W3(负功连同负号一起代入计算)。(2)这几个力对物体所做的总功等于这几个力的合力对物体所做的功
185、。若以 F 合表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为 W 总F 合lcos。【例 1】水平路面上有一辆汽车向左运动，车厢内有一个固定斜面，一个人坐在斜面上，车与人始终相对静止。下列说法正确的是()A汽车匀速行驶时，斜面对人的支持力不做功B汽车减速行驶时，斜面对人的支持力做负功C汽车减速行驶时，斜面对人的摩擦力一定做负功D汽车加速行驶时，斜面对人的摩擦力一定做正功C人受重力、垂直斜面向上的支持力、摩擦力三个力的作用，无论车做加速、匀速、减速运动，支持力与速度方向的夹角均小于 90，即支持力均做正功，故 A、B 错误；当车匀速运动时，人受到的合外力等于 0，即人受的支持力与摩擦力的合力与人的重力
186、等大反向，则当车向左做减速运动时，支持力与摩擦力的合力向右上方，才可使人的合力水平向右，则可知摩擦力在水平方向的分力一定大于支持力在水平方向的分力，故摩擦力与速度的夹角一定大于 90，即摩擦力做负功，故 C 正确；同理，当车向左做加速运动时，支持力与摩擦力的合力向左上方，才可使人的合力水平向左，则可知摩擦力有三种情况，第 1 种情况摩擦力沿斜面向上，在水平方向的分力一定小于支持力在水平方向的分力，摩擦力做负功，第 2种情况摩擦力为零，摩擦力不做功，第 3 种情况沿斜面向下，摩擦力做正功，故 D错误。判断力做正、负功的方法(1)根据力 F 和物体位移 l 方向的夹角判断常用于恒力做功的情形。(2
187、)根据力与物体瞬时速度方向的夹角判断常用于曲线运动的情形。如图所示：若夹角是锐角，力做正功。若夹角是钝角，力做负功。若夹角是直角，力不做功。1(多选)在【例 1】情境中，若车厢内的斜面改为水平面，人坐在水平面上，车与人始终相对静止。则下列说法正确的是()A汽车匀速行驶时，水平面对人的支持力不做功B汽车减速行驶时，水平面对人的支持力做负功C汽车减速行驶时，水平面对人的摩擦力一定做负功D汽车加速行驶时，水平面对人的摩擦力一定做正功ACD当车匀速行驶时，人受重力、垂直水平面向上的支持力两个力的作用，无论车做加速、匀速、减速运动，支持力与速度方向的夹角均等于 90，即支持力均不做功，A 正确，B 错误
188、；当车减速行驶时，人受重力、垂直水平面向上的支持力和水平向右的摩擦力三个力的作用，即人受的摩擦力的方向与速度方向相反，摩擦力做负功，C 正确；当车加速行驶时，人受到水平面的摩擦力水平向左，与速度方向相同，摩擦力做正功，D 正确。2(多选)【例 1】中的人下车后进入电梯上楼，已知从 1 楼到 20 楼的过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是()A加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B加速时做正功，匀速和减速时做负功C加速和匀速时做正功，减速时做负功D始终做正功D在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，故 D 正
189、确。功率的理解与运用教材第 77 页“思考与讨论”答案提示：PFv，P 一定时，适当减小 v 可增大牵引力 F。如图所示某部队正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船。(1)将质量为 m 的坦克车以速度 v 匀速吊起，坦克车在 t 时间内匀速上升 h 高度。怎样计算吊车的功率？其瞬时功率是多少？(2)若坦克车在相同的时间 t 内，从静止开始以加速度 a 匀加速上升高度 h 时，该过程中吊车的平均功率是多少？其瞬时功率是多少？提示：(1)吊车对坦克车做的功 Wmgh。功率 PWt mght；P 瞬Fvmgv。(2)该过程中吊车的平均功率为 PWt Fht maght。其瞬时功率为 P 瞬Fv(m
190、gma)at。1公式 PWt 和 PFv 的比较定义式 PWt计算式 PFv适用条件适用于任何情况下功率的计算适用于 F 与 v 同向的情况应用求某个过程中的平均功率。当时间 t0 时，可由定义式求瞬时功率若 v 表示物体在时间 t 内的平均速度，则功率 P 表示力 F 在时间 t 内的平均功率；若 v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率 P表示力 F 在该时刻的瞬时功率公式理解功率可以用 PWt 来表示，但功率并不由 W、t决定P 一定时，F 与 v 成反比；v 一定时，F 与 P成正比；F 一定时，v 与 P 成正比2功率的计算：(1)平均功率的计算：利用 PWt。利用 PF vcos，其
191、中 v为物体运动的平均速度。(2)瞬时功率的计算：利用公式 PFvcos，其中 v 为瞬时速度。利用公式 PFvF，其中 vF 为物体的速度在力 F 方向上的分速度。利用公式 PFvv，其中 Fv 为物体受的外力在速度 v 方向上的分力。【例 2】如图所示，质量为 m2 kg 的木块在倾角37的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为0.5，已知：sin 370.6，cos 370.8，g 取 10 m/s2，求：(1)前 2 s 内重力的平均功率；(2)2 s 末重力的瞬时功率。解析(1)木块沿斜面下滑时，对木块受力分析。由牛顿第二定律可得 mgsinmgcos ma解得 a2 m/
192、s2由位移公式 l12at212222 m4 m重力在前 2 s 内做的功为Wmglsin 21040.6 J48 J重力在前 2 s 内的平均功率为 P Wt 482 W24 W。(2)木块在 2 s 末的速度 vat22 m/s4 m/s2 s 末重力的瞬时功率Pmgvcos(90)mgvsin 21040.6 W48 W。答案(1)24 W(2)48 W计算功率应该注意的问题(1)首先应该明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同。(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。(3)应该明确是哪一个力对物体做
193、功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等。不同情况应选择不同的公式。机车启动的两种方式汽车的启动方式有两种：1.以恒定的功率启动；2.以恒定的加速度启动。(1)用公式 PFv 研究汽车启动问题时，力 F 是什么力？(2)以恒定功率启动时，汽车的加速度变化吗？做什么运动？(3)汽车匀加速启动的过程能否一直持续下去？提示：(1)F 是汽车的牵引力。(2)汽车以恒定功率启动，根据 PFv，v 增大，F 减小，加速度减小，故加速度变化，汽车做变加速运动。(3)不能。汽车匀加速启动，F 不变，v 增大，P 增大。当 PP 额时，匀加速运动结束。1机车两种启动方式的过程分析两种方式以恒定功率启动以恒定加
194、速度启动Pt 图vt 图和 Ft 图OA段过程分析vFP 额不变vaFF 阻maFF 阻m不变F 不变 vPFv直到 P 额Fv1运动加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动、维持时间 t0性质v1aAB段过程分析FF 阻a0F 阻P 额vmvFP 额vaFF 阻m运动性质以 vm 做匀速直线运动加速度减小的加速直线运动BC 段FF 阻a0F 阻P 额vm，以vm 做匀速直线运动2汽车启动问题中几个物理量的求法(1)汽车的最大速度 vmax 的求法汽车做匀速运动时速度最大，此时牵引力 F 等于阻力 Ff，故 vmaxP 额F P 额Ff。(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间 t 的求法牵引力
195、FmaFf，匀加速运动的最大速度 vmaxP 额maFf，时间 tvmaxa。(3)瞬时加速度 a 的求法根据 FPv求出牵引力，则加速度 aFFfm。【例 3】在平直路面上运动的汽车的额定功率为 60 kW，若其总质量为 5 t，在水平路面上所受的阻力为 5103 N。(1)求汽车所能达到的最大速度；(2)若汽车以 0.5 m/s2 的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速 v2 m/s 时其加速度为多大？思路点拨汽车速度达到最大的条件是 a0，即 FFf。汽车以恒定加速度 a 匀加速运动的“收尾”条件是：PP 额，此时的速度为匀加速运
196、动的最大速度。汽车速度为 v时牵引力 FPv。解析(1)当汽车速度达到最大时，牵引力 FFf，则由 PFv 得汽车所能达到的最大速度vmaxPFf601035103 m/s12 m/s。(2)汽车以恒定的加速度 a 做匀加速运动，能够达到的最大速度为 v，则有PvFfma得 vPFfma60103510351030.5m/s8 m/s由 vat 得这一过程维持的时间 tva 80.5 s16 s。(3)当汽车以额定功率启动达到 2 m/s 的速度时，牵引力FPv601032N3104 N，由牛顿第二定律得汽车的加速度aFFfm310451035103m/s25 m/s2。答案(1)12 m/s
197、(2)16 s(3)5 m/s2机车启动动态分析思路分析机车启动全过程必须抓住三点(1)正确分析其物理过程。(2)抓住两个基本公式：功率公式 PFv，P 是机车的功率，F 是机车的牵引力，v 是机车的速度；当机车匀速运动时 FFf，当机车匀变速运动时，由牛顿第二定律，得 FFfma。(3)正确分析公式中各个物理量在各个过程中的变化情况。8.2 重力势能一、重力做的功1重力做功公式 WGmgh 的推导(1)设一个质量为 m 的物体，从与地面高度是 h1 的位置 A 竖直向下运动到高度是 h2 的位置 B(图甲)。这个过程中重力所做的功是 WGmghmgh1mgh2。(2)质量为 m 的物体，从与
198、地面高度是 h1 的位置 A 沿着一个斜面向下运动到高度是 h2 的位置 B，再水平运动到 B(图乙)。物体沿斜面运动的距离为 l，则这个过程中重力做的功是 WG(mgcos)lmghmgh1mgh2。甲乙斜面是否光滑对计算重力做功没有影响。2结论：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。二、重力势能1意义：mgh 的特殊意义在于一方面与重力做的功密切相关，另一方面它随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，我们把 mgh 叫作重力势能。2表达式：Epmgh。3重力势能是标量(选填“矢量”或“标量”)。4单位：焦耳，符号 J。1 J1 kgms2m1
199、Nm5重力做功与重力势能的关系：(1)WGEp1Ep2(其中 Ep1 表示物体在初位置的重力势能，Ep2 表示物体在末位置的重力势能)。(2)两种情况：物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即 WG0，Ep1Ep2。物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即 WG0，Ep1Ep2。三、重力势能的相对性：1参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，在参考平面上，物体的重力势能取作 0。2相对性：选择不同的参考平面，物体重力势能的数值不同(选填“相同”或“不同”)。3正负的含义：参考平面上方物体的重力势能是正值，参考平面下方物体的重力势能是负值。四、弹性势能1定义：
200、发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。2弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为零；弹簧被压缩或被拉长时，就具有了弹性势能。3弹力做功与弹性势能的变化：弹簧弹力做正功，弹簧的弹性势能减小；弹簧弹力做负功，弹簧的弹性势能增大。4弹性势能大小的相关因素：(1)弹簧的劲度系数。(2)弹簧的形变量。重力做功的特点设一个质量为 m 的物体，从与地面高度是 h1 的位置 A 沿曲面向下运动到高度是 h2 的位置 B(如图)。如何计算这个过程中重力做的功？提示：微元法我们可以把整个路径分成许多很短的间隔，每一个间隔都相当于一个小斜面。设每个小斜面的高度
201、差是h1、h2、h3，则物体通过每个小斜面时重力做的功分别是 mgh1、mgh2、mgh3。物体通过整个路径时重力做的功，等于重力在每个小斜面上所做的功的代数和，即WGmgh1mgh2mgh3mghmgh1mgh2。1做功表达式：WGmghmgh1mgh2，式中h 指初位置与末位置的高度差；h1、h2 分别指初位置、末位置的高度。2做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。3做功的大小：重力对物体做功的大小只跟物体的起点与终点的高度有关，与物体运动的路径无关。特别提示恒力做功均与路径无关重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是与具体路径无关，只跟始、末位置有关，
202、恒力做功等于恒力与沿着恒力方向的位移的乘积。【例 1】如图所示，质量关系为 m1m2m3 的三个小球分别沿三条不同的轨道 1、2、3 由离地高 h 的 A 点滑到同一水平面上，轨道 1、3 光滑，轨道 2 粗糙，重力对小球做的功分别为 W1、W2、W3，则下列判断正确的是()AW1W2W3BW1W3W2CW1W2W3DW1W2W3D重力做功只与物体重力和初、末位置的高度差有关，由于三个小球下滑的高度差均为 h，质量关系为 m1m2m3，故 W1W2W3，D 正确。请根据重力做功的性质，将【例 1】情境改为如图所示情况，质量为 m 的小球从高为 h 处的斜面上的 A 点滚下，经过水平面 BC 后
203、，再滚上另一斜面，当它到达高h4的 D 点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为()A3mgh4Bmgh4CmghD0AAD 间的高度差为hh14h34h，则重力做功为 Wmgh34mgh，故 A正确，B、C、D 错误。对重力势能的理解教材 P81“思考与讨论”答案提示：不能。因为如果重力做的功与路径有关，物体从同样的起点沿不同的路径运动到同样的终点，重力做的功不同，不一定等于 mgh，则物体在终点位置具有的能量不同，所以就不能把 mgh 叫作物体的重力势能了。如图所示，幼儿园小朋友们正在玩滑梯：(1)在最高点(高度为 h)和地面的重力势能各是多少？(2)下滑过程中重力做多少功？重力势能如何变
204、化？(选地面为参考面)提示：(1)最高点与最低点的重力势能分别为 mgh,0。(2)重力做功 Wmgh。重力势能减小了 mgh。1对重力势能的理解(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的。(2)相对性：重力势能 Epmgh 与参考平面的选择有关，式中的 h 是物体重心到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负之分。当物体在参考平面上方时，Ep 为正值；当物体在参考平面下方时，Ep 为负值。注意物体重力势能的正负是表示比零势能大，还是比零势能小。(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低
205、点为零势能面。(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取及过程无关，它的变化量是绝对的。特别提示重力势能的计算公式 Epmgh，只适用于地球表面及其附近 g 值不变时的范围，若 g 值变化时，不能用其计算。2重力做功与重力势能改变的关系：(1)表达式 WGEp1Ep2Ep。(2)重力做多少正功，重力势能减小多少；克服重力做多少功，重力势能增加多少。【例 2】如图所示，质量为 m 的小球，从离桌面 H 高处由静止下落，桌面离地高度为 h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是()Amgh，减少 mg(H
206、h)Bmgh，增加 mg(Hh)Cmgh，增加 mg(Hh)Dmgh，减少 mg(Hh)D以桌面为参考平面，落地时小球的重力势能为mgh，初状态重力势能为mgH，即重力势能的变化EpmghmgHmg(Hh)，所以重力势能减少了mg(Hh)，D 正确。上例中，若选地面为参考平面，结果如何？提示：落地时重力势能为 0，重力势能的变化为减少 mg(Hh)。1计算物体的重力势能，必须首先选定零势能面。2零势能面以下的重力势能均为负值，“”“”号代表重力势能的大小，因此，比较大小时，一定要带着“”“”号进行比较。对弹性势能的理解如图所示，某人正在用拉力器锻炼臂力。(1)人不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有
207、弹性势能吗？(2)人拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？(3)在弹簧弹性限度内，人将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？(4)拉力器有 2 条弹簧和有 4 条弹簧，拉伸相同长度，用力一样吗？克服弹力做功相同吗？提示：(1)弹簧不伸长，没有弹性势能。(2)人对弹簧做正功，弹性势能增加。(3)将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多，弹性势能越大。(4)用力不一样，克服弹力做功也不相同。1弹性势能的产生原因1物体发生了弹性形变2各部分间有弹力作用2弹性势能的影响因素1弹簧的形变量 x2弹簧的劲度系数 k3弹性势能与弹力做功的关系如图所示，O 为弹簧的原长处。(1)弹力做负功时：如
208、物体由 O 向 A 运动(压缩)或者由 O 向 A运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。(2)弹力做正功时：如物体由 A 向 O 运动，或者由 A向 O 运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为 W 弹Ep。【例 3】(多选)如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平地面上，t0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹簧弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力 F 随时间 t 变化的图像如图乙所示，则()甲乙At2 时
209、刻弹簧的弹性势能最大Bt3 时刻弹簧的弹性势能最大Ct1t3 这段时间内，弹簧的弹性势能先减少后增加Dt1t3 这段时间内，弹簧的弹性势能先增加后减少AD由胡克定律可知，弹簧弹力与弹簧形变量成正比，而形变量越大，弹簧的弹性势能越大，故弹簧弹力越大，弹簧弹性势能越大，由题图乙可知，t2 时刻弹簧的弹力最大，弹性势能最大，故 A 正确，B 错误；t1t3 这段时间内，弹簧的弹力先增大后减小，则弹性势能先增加后减少，故 C 错误，D 正确。8.3 动能和动能定理一、动能的表达式1定义物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号 Ek 表示。2表达式Ek12mv2。3单位与功的单位相同，国际单位为焦耳。1
210、kg(m/s)21 Nm1 J。4动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。二、动能定理1动能定理的内容力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。2动能定理的表达式(1)W12mv2212mv21。(2)WEk2Ek1。说明：式中 W 为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。说明：力对物体做的功是指物体所受的一切外力合外力对它做的功。3动能定理的适用范围不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。动能的理解教材第 85 页“思考与讨论”答案提示：Ek12mv212631(7.6103)2J1.821010J。如图，A 球质量大于 B 球质量，球
211、从斜面上滚下，静止在地面上的纸盒被碰后，滑行一段距离停下来。你认为物体的动能可能与哪些因素有关？甲乙丙提示：物体的动能与物体的质量和速度有关。1对动能概念的理解(1)动能是状态量，动能公式中的速度 v 是瞬时速度。(2)动能是标量，且动能恒为正值。(3)动能也具有相对性，同一物体，对不同的参考系物体的速度有不同值，因而动能也有不同值。计算动能时一般都是以地面为参考系。2动能的变化量末状态的动能与初状态的动能之差，即Ek12mv2212mv21。动能的变化量是过程量，Ek0，表示物体的动能增加；Ek0，表示物体的动能减少。【例 1】关于物体的动能，下列说法正确的是()A物体速度变化，其动能一定变
212、化B物体所受的合外力不为零，其动能一定变化C物体的动能变化，其运动状态一定发生改变D物体的速度变化越大，其动能变化一定也越大C选项 A 中若物体速度的方向变化而大小不变，则其动能不变化，故选项A 错误；选项 B 中物体所受合外力不为零，只要速度大小不变，其动能就不变化，如匀速圆周运动中，物体所受合外力不为零，但速度大小始终不变，动能不变，故选项 B 错误；选项 C 中，物体动能变化，其速度一定发生变化，故运动状态改变，故选项 C 正确；选项 D 中，物体速度变化若仅由方向变化引起，其动能可能不变，如匀速圆周运动中，速度变化，但动能始终不变，故选项 D 错误。动能与物体速度大小有关，与物体速度方
213、向无关，而物体速度变化既可能是大小变化，也可能是方向变化。动能与物体的受力情况无关，仅由质量与速度大小决定。动能定理的理解如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？(2)汽车的动能怎样变化？其动能的变化与各个力做功有什么关系？提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。(2)由于汽车加速上坡，其动能增大，汽车动能的变化等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和。1对动能定理的理解(1)表达式 WEk 中的 W 为外力对物体做的总功。(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
214、等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。2对动能定理的几点说明(1)动能定理的表达式是一个标量式，不能在某方向上应用动能定理，动能没有负值，但动能的变化Ek 有正负之分。(2)一些变力做功，不能用 WFlcos 求解，应当善于运用动能定理。若整个过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以考虑分段计算，又可以对整个过程分析。只要求出过程中各力做功的多少和正负即可用动能定理求解。(3)应用动能定理涉及“一个过程”和“两个状态”。所谓“一个过程”是指做功过程，应明
215、确该过程合力所做的总功；“两个状态”是指初、末两个状态物体的动能。【例 2】(多选)如图所示，质量为 m 的小车在水平恒力 F 的推动下，从山坡(粗糙)底部 A 处由静止开始运动至高为 h 的坡顶 B 处，获得的速度为 v，A、B之间的水平距离为 x，重力加速度为 g。下列说法正确的是()A小车克服重力所做的功是 mghB合力对小车做的功是 12mv2C推力对小车做的功是 12mv2mghD阻力对小车做的功是 12mv2mghFxABD小车克服重力所做的功 Wmgh，A 正确；由动能定理可知，小车受到的合力所做的功等于小车动能的变化量，即 W 合Ek12mv2，B 正确；由动能定理可知，W 合
216、W 推W 重W 阻12mv2，所以推力对小车做的功 W 推12mv2W 阻W 重12mv2mghW 阻，C 错误；阻力对小车做的功 W 阻12mv2W 推W 重12mv2mghFx，D 正确。合力做功一定等于物体动能的变化量，与物体受力情况无关。求某个不易判断对应位移的力做的功时，或力是变力时，可以根据动能定理求解。动能定理的应用1应用动能定理解题的步骤(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)。(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。(3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。
217、(5)根据动能定理列式、求解。说明对全过程列方程时，关键是分清整个过程哪些力做功，且各个力做功应与位移对应，并确定初、末状态的动能。2动力学问题两种解法的比较牛顿运动定律与运动学公式结合法动能定理适用条件只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用应用方法要考虑运动过程的每一个细节只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能运算方法矢量运算代数运算相同点确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析说明一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识能求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解更简捷。3优先考虑应用动能定理的情况(1)不涉及物体
218、运动过程中的加速度和时间的问题。(2)变力做功或曲线运动问题。动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法。功的计算公式 WFlcos 只能求恒力做的功，不能求变力做的功，而动能定理说明了一个物体的动能变化Ek与合外力对物体做的功具有等量代换关系，因此，已知(或求出)物体的动能变化EkEk2Ek1，就可以间接求得变力做的功。(3)涉及 F、l、m、v、W、Ek 等物理量的问题。(4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。由于不用注意过程中运动状态变化的细节，且功和动能都是标量，无方向性，故应用动能定理解题更简单，不易出错。【例 3】如图所示，物体在离斜面底端 5 m 处由静止开始下滑
219、，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为 0.4，斜面倾角为 37，求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 370.6，cos 370.8)思路点拨物体运动有两个过程，先在斜面上运动，然后在水平面上滑行。解答每个过程可以按以下过程分析：初、末状态的动能动能增量 合力做的功 列式求解解析对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示。方法一分过程列式：设物体滑到斜面底端时的速度为 v，物体下滑阶段 FN1mgcos 37故 Ff1FN1mgcos 37由动能定理得：mgsin 37l1mgcos 37l112mv20设物体在水平面上滑行的距离为 l2摩擦力 Ff2FN2
220、mg由动能定理得mgl2012mv2由以上各式可得 l23.5 m。方法二全过程列式：mgl1sin 37mgl1cos 37mgl20解得 l23.5 m。答案3.5 m把【例 3】情境改为如图所示。AB 为固定在竖直平面内的14光滑圆弧轨道，轨道的 B 点与水平地面相切，其半径为 R。质量为 m 的小球由 A 点静止释放，求：小球通过光滑的水平面 BC 滑上固定曲面，恰到达最高点 D，D 到地面的高度为 h(已知 hR)，则小球在曲面上克服摩擦力所做的功 Wf。解析从 A 到 D 的过程，由动能定理可得mg(Rh)Wf00解得克服摩擦力做的功 Wfmg(Rh)。答案mg(Rh)1应用动能定
221、理解题时必须明确所研究的运动过程。2当既可用分段法也可用全程法时，如果题目不涉及中间量，一般来说全程法更简单，更方便。3此题也可应用牛顿运动定律求解，一般来说，应用动能定理比牛顿运动定律要简便。8.4 机械能守恒定律一、追寻守恒量伽利略的斜面实验探究如图所示。1过程：将小球由斜面 A 上某位置由静止释放，小球运动到斜面 B 上。2实验现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。3实验结论：这说明某种“东西”在小球的运动过程中是不变的。在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能。“守恒量”反映在变化的运动形式中不变的规律。二、动能与
222、势能的相互转化1机械能的形式：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。2表达式：EEkEp。3转化的方式：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。4标矢性：机械能是状态量，是标量(选填“标量”或“矢量”)。三、机械能守恒定律1内容在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。2守恒定律表达式(1)Ek2Ek1Ep1Ep2，即Ek 增Ep 减。(2)Ek2Ep2Ek1Ep1。(3)E2E1。3守恒条件物体系统内只有重力或弹力做功。机械能守恒的条件及判断(教师用书独具)教材第 90 页“思考与讨论”答案提示：两种情况下重力
223、做的功相等，重力势能的变化也相等；两种情况下，由于合外力不一样，故动能的变化不相等；在真空中自由下落时，重力势能全部转化为动能；小球在液体中下落时，重力势能转化为动能和内能。教材第 91 页“思考与讨论”答案提示：关系依然成立，mgh212mv22mgh112mv21。如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。(忽略轨道的阻力和其他阻力)过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？提示：过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能保持不变。1对机械能守恒条件的理解(1)从能量
224、转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒。(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒。系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示。甲乙丙图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒。图乙中，各接触面光滑，A 自 B 上端自由下滑的过程中，只有重力和 A、B 间的弹力做功，A、B 组成的系统机械能守恒。但对 A 来说，B 对 A 的弹力做负功，这个力对 A 来说是外力，A 的机械能不守恒。图丙中
225、，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意。2判断机械能守恒的方法(1)做功分析法(常用于单个物体)(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)【例 1】如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)()甲乙丙丁A甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒B乙图中，物块在外力 F 的作用下匀速上滑，物体的机械能守恒C丙图中，物块 A 以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块 A 的机械能守恒D丁图中，物块 A 加速下落、物块 B 加速上升的过程中，A、B 系
226、统机械能守恒D甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故 A 错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故 B 错误；丙图中，在物块 A 压缩弹簧的过程中，弹簧和物块 A 组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹性势能增加，则 A的机械能减小，故 C 错误；丁图中，对 A、B 组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B 组成的系统机械能守恒，故 D 正确。物体的运动形式有多种，判断其机械能是否守恒，关键看是否只有重力或弹力做功或分析有无其他形式的能与机械能发生转化。机械能守恒定律的应用如图所示，是运动员投掷铅球的
227、动作，如果忽略铅球所受空气的阻力。(1)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？提示：1由于阻力可以忽略，铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。,2根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。,3可以应用机械能守恒定律，也可以应用动能定理。1机械能守恒定律的不同表达式表达式物理意义从 不 同状态看守恒式：Ek1Ep1Ek2Ep2 或 E 初E 末初状态的机械能等于末状态的机械能从 转 化角度看转化式：Ek2Ek1Ep1Ep2
228、 或EkEp过程中动能的增加量等于势能的减少量从 转 移角度看增量式：EA2EA1EB1EB2 或EAEB系统只有 A、B 两物体时，A 增加的机械能等于 B 减少的机械能2.应用机械能守恒定律的解题步骤(1)选取研究对象(物体或系统)。(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。【例 2】如图所示，质量 m2 kg 的小球用长 L1.05 m 的轻质细绳悬挂在距水平地面高 H6.05 m 的 O 点。现将细绳拉直至水平状态，自
229、 A 点无初速度释放小球，运动至悬点 O 的正下方 B 点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上 C 点。不计空气阻力，重力加速度 g 取 10 m/s2。求：(1)细绳能承受的最大拉力；(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间；(3)小球落地瞬间速度的大小。解析(1)根据机械能守恒mgL12mv2B由牛顿第二定律得Fmgmv2BL故最大拉力 F3mg60 N。(2)细绳断裂后，小球做平抛运动，且HL12gt2故 t2HLg26.051.0510s1 s。(3)整个过程，小球的机械能不变，故：mgH12mv2C所以 vC 2gH 2106.05 m/s11 m/s。答案(1)60
230、N(2)1 s(3)11 m/s机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大。解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目使用机械能守恒定律，必要时还需要综合应用其他物理规律求解。8.5 实验：验证机械能守恒定律一、实验思路1实验目的(1)验证机械能守恒定律。(2)进一步熟悉打点计时器(或光电门)的使用。2实验思路机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此设计实验时要考虑满足这一条件的情形。情形 1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。情形 2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支
231、持力与物体位移方向垂直，对物体不做功，也满足机械能守恒的条件。二、物理量的测量根据重力势能和动能的定义，需要测量的物理量有物体的质量、物体所处位置的高度以及物体的运动速度。1质量的测量：可用天平测量。2高度的测量：可用刻度尺测量。3瞬时速度的测量(1)用打点计时器打下的纸带测量：测出打 n 点前、后相邻两段相等时间 T 内物体运动的距离 xn 和 xn1(或测出 hn1 和 hn1)，由公式 vnxnxn12T或 vnhn1hn12T即可得到打 n 点时物体的瞬时速度，如图所示。说明：由匀变速直线运动的规律可知，物体某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。(2)用光电门测量：遮光条
232、通过光电门时的瞬时速度等于遮光条通过光电门时的平均速度，则根据遮光条的宽度 l 和遮光时间t，可以算出物体经过光电门时的速度 v lt。三、数据分析方法 1：计算物体在选定位置上动能与势能的和是否满足12mv22mgh212mv21mgh1方法 2：计算重物在某两点间的动能变化和势能变化是否满足12mv2212mv21mgh1mgh2若在误差允许范围内，等式(或)满足，即可验证机械能守恒。根据上述情况，有两种方案可以验证物体的机械能守恒。方案研究自由下落物体的机械能1实验器材铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源(46 V)。2实验步骤(1)
233、安装实验装置如图所示，将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，用导线将打点计时器与低压交流电源相连接。(2)进行实验将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔。用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落，打点结束后立即关闭打点计时器电源。更换纸带重复做 35 次实验。(3)选取纸带(分两种情况)如果根据 mgh12mv2 验证，应选点迹清晰，所打点在同一条直线上，且第1、2 两点间距离略小于 2 mm 的纸带。(根据 h12gt2，当 t0.02 s 时 h1.96 mm，说明重物是在打第一个点时开始下落的。)如果根据
234、mgh12mv2B12mv 2A验证，由于重力势能的相对性，处理纸带时，选择适当的点为基准点，这样纸带上打出的第 1、2 两点间的距离是否略小于 2 mm就无关紧要了，只要后面的点迹清晰就可选用。3数据处理方法 1：利用起始点和第 n 点计算代入 mghn 和 12mv2n，如果在实验误差允许的范围内 mghn 和 12mv 2n相等，即可验证机械能守恒定律。方法 2：任取两点计算(1)任取两点 A、B，测出 hAB，计算出 mghAB。(2)计算出 12mv2B12mv 2A的值。(3)在实验误差允许的范围内，若 mghAB12mv2B12mv 2A成立，即可验证机械能守恒定律。方法 3：图
235、像法从纸带上选取多个点，测量从第一个点到选取各点的下落高度 h，并计算出各点速度的二次方 v2，然后以 12v2 为纵轴，以 h 为横轴，根据实验数据绘出 12v2h 图线。若在误差允许的范围内图线是一条过原点且斜率为 g 的直线，则验证了机械能守恒定律。4实验中的注意事项(1)注意将打点计时器接在低压交流电源上，调节好振针的高度，使打出的点点迹清晰。(2)应先接通电源，待打点计时器工作稳定后再释放纸带。(3)选择点迹清晰的纸带，最好是第 1 点和第 2 点间距离略小于 2 mm 的纸带。说明：实验中要根据纸带求出重物实际下落的速度，而不能利用 v 2gh或 vgt 计算。同样的道理，重物下落
236、的高度 h 也只能用刻度尺直接测量，而不能用 h12gt2 或 hv22g计算。5误差分析(1)在进行长度测量时，测量及读数不准确造成误差。(2)重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。(3)由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生误差。方案研究沿斜面下滑物体的机械能利用气垫导轨和数字计时器记录物体沿光滑斜面下滑的运动过程。实验装置如图所示。(1)先非常仔细地把气垫导轨调成水平，然后用垫块把导轨的一端垫高 h1。质量为 m 的滑块上面装有宽为 l 的挡光片，让它由导轨上端任一处滑下，测出它通
237、过光电门 G1 和 G2 时的时间t1 和t2，就可算出它由 G1 到 G2 这段过程中动能的增加量Ek12mlt22lt12。(2)由图可知hs h1L，由已知的 L 值和所取的 h1、s 值可算出h 值，然后可以求出滑块由 G1 到 G2 这段过程中重力势能的减少量Epmgh。(3)由实验结果可看出在误差允许的范围内EpEk，从而验证了机械能守恒定律。说明：实验时，s 值要取得适当小些，减少滑块克服阻力做的功，使Ep 和Ek两个值更接近。一、实验操作与数据处理【例 1】在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为50 Hz，当地重力加速度的值为 9.80 m/s2，测得所用重
238、物的质量为 1.0 kg。甲、乙、丙三个学生分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第 1、2 两点间的距离分别为 0.18 cm、0.18 cm 和 0.25 cm，可看出其中肯定有一个学生在操作上出现了问题，出现的问题可能是_。若按实验要求正确地选出纸带如图所示(相邻计数点的打点时间间隔为 0.02 s)，那么：(1)纸带的_(选填“左”或“右”)端与重物相连。(2)打点计时器打下计数点 B 时，重物的速度 vB_m/s。(3)从 起 点 O 到 打 下 计 数 点 B 的 过 程 中 重 物 重 力 势 能 的 减 少 量 Ep _J，此过程中重物动能的增加量Ek_J。(4)通过计算，数
239、值上Ep_(选填“”“”或“”)Ek，这是因为_。(5)实验的结论是_。(6)若实验中所用电源的频率 f50 Hz，实验结果将会受到什么影响？_。解析如果重物做自由落体运动，第 1、2 两点间的距离应小于 0.2 cm，而丙同学的纸带上第 1、2 两点间的距离大于这个值，说明重物在打第 1 个点时已有速度，故丙同学在操作时出现的问题可能是先释放纸带后接通电源。(1)纸带左端相邻两点之间的距离较小，故纸带左端与重物相连。(2)B 点对应的速度 vBsAC2T0.98 m/s。(3)EpmghOB0.49 J，Ek12mv2B0.48 J。(4)EpEk，在实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转
240、化为动能。(5)在实验误差允许的范围内，重物的机械能守恒。(6)若 f50 Hz，则 vB 的计算值偏大，Ek 可能大于Ep。答案先释放纸带后接通电源(1)左(2)0.98(3)0.490.48(4)实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能(5)在误差允许的范围内重物的机械能守恒(6)Ek 可能大于Ep二、实验创新【例 2】某同学利用透明直尺和光电计时器来验证机械能守恒定律，实验的简易示意图如图所示，当有不透光物体从光电门间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间。将挡光效果好、宽度为 d3.8103m 的黑色磁带贴在透明直尺上，从一定高度由静止释放，并使其竖直通过光电门。某同学测得
241、各段黑色磁带通过光电门的时间ti 与图中所示高度差hi，并将部分数据进行了处理，结果如表所示(g 取 9.8 m/s2，注：表格中 M 为直尺质量)。序号ti/(103s)vi dti/(ms1)Eki12Mv2ihi/mMghi/J12Mv21/J11.213.1421.153.300.52M0.060.59M31.003.802.29M0.242.35M40.954.003.07M0.323.14M50.903.97M0.41(1)从表格中数据可知，直尺上磁带通过光电门的瞬时速度是由 vi dti求出的，请你简要分析该同学这样做的理由是_。(2)请你将表格中的数据填写完整。(3)通过实验得
242、出的结论是_。(4)根据该实验请你判断图中正确的是()ABCD解析(2)vdt3.81030.9103m/s4.22 m/s，Mgh9.80.41M4.02M。(3)从表中数据可知，在误差允许范围内，动能的增加量与重力势能的减少量相等。(4)由EkMgh，得动能的变化量与高度成正比，C 正确。答案(1)极短时间内平均速度近似等于瞬时速度(2)4.224.02M(3)在误差允许范围内重力势能减少量等于动能的增加量(4)C专题动能定理和机械能守恒定律的应用利用动能定理分析多过程问题一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理。1分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过
243、程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。2全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。【例 1】如图所示，MNP 为竖直面内一固定轨道，其圆弧段 MN 与水平段NP 相切于 N，P 端固定一竖直挡板。M 相对于 N 的高度为 h，NP 长度为 s。一物块从 M 端由静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞(碰撞后物块速度大小不变，方向相反)后停止在水
244、平轨道上某处。若在 MN 段的摩擦可忽略不计，物块与 NP 段轨道间的动摩擦因数为，求物块停止的地方距 N 点的距离的可能值。思路点拨：物块始状态、末状态动能都为零，整个运动过程中外力做功的代数和为零，物块运动过程中仅重力和摩擦力做功。摩擦力做功与路径有关，由此确定物块停止的位置。解析物块的质量记为 m，在水平轨道上滑行的总路程记为 s，则物块从开始下滑到停止在水平轨道上的过程中，由动能定理得 mghmgs0，解得 sh第一种可能：物块与挡板碰撞后，在回到 N 前停止，则物块停止的位置距 N点的距离为 d2ss2sh第二种可能：物块与挡板碰撞后，可再一次滑上圆弧轨道，然后滑下，在水平轨道上停止
245、运动，则物块停止的位置距 N 点的距离为 ds2sh2s所以物块停止的位置距 N 点的距离可能为 2sh或h2s。答案物块停止的位置距 N 点的距离可能为 2sh或h2s求解多过程运动问题的基本思路对于物体运动过程中有往复运动的情况，物体所受的滑动摩擦力、空气阻力等大小不变，方向发生变化，但在每一段上这类力均做负功，而且这类力所做的功等于力和路程的乘积，与位移无关。若题目中涉及求解物体运动的路程或位置的变化，可利用动能定理求出这类力做的功，然后进一步确定物体运动的路程或位置的变化。链条类物体的机械能守恒问题链条类物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意
246、两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化。【例 2】如图所示，总长为 L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端 A、B 相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？解析方法一(取整个铁链为研究对象)：设整个铁链的质量为 m，初始位置的重心在 A 点上方 14L 处，末位置的重心在A 点，则重力势能的减少量为Epmg14L由机械能守恒得12mv2mg14L，解得 vgL2。方法二(将铁链看成两段)：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链 BB部分移到 AA位置。重力势能减少量为Ep12mgL2由机械能守恒得 1
247、2mv212mgL2则 vgL2。答案gL2动能定理与机械能守恒定律的比较1.机械能守恒定律和动能定理的比较规律内容机械能守恒定律动能定理表达式E1E2EkEpEAEBWEk应用范围只有重力或弹力做功时无条件限制研究对象系统单个物体关注角度守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小动能的变化及合力做功情况2.规律的适用范围(1)动能定理：恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。(2)机械能守恒定律：只有系统内的弹力或重力做功。【例 3】如图甲所示为 2022 年北京冬奥会跳台滑雪场馆“雪如意”的效果图。如图乙所示为由助滑区、空中飞行区、着陆缓冲区等组成的依山势而建的赛道示意图。运动员保
248、持蹲踞姿势从 A 点由静止出发沿直线向下加速运动，经过距离 A 点 s20 m 处的 P 点时，运动员的速度为 v150.4 km/h。运动员滑到 B 点时快速后蹬，以 v290 km/h 的速度飞出，经过一段时间的空中飞行，以 v3126 km/h的速度在 C 点着地。已知 BC 两点间的高度差 h80 m，运动员的质量 m60 kg，重力加速度 g 取 9.8 m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求：甲乙(1)A 到 P 过程中运动员的平均加速度大小；(2)以 B 点为零势能参考点，求到 C 点时运动员的机械能；(3)从 B 点起跳后到 C 点落地前的飞行过程中，运动员克服阻力做的功。解
249、析(1)v150.4 km/h14 m/s由速度位移的关系式得 v212as代入数据解得 a4.9 m/s2。(2)v290 km/h25 m/sv3126 km/h35 m/s以 B 点为零势能参考点，到 C 点时运动员的机械能为Emgh12mv23代入数据解得 E1.0104 J。(3)从 B 点起跳后到 C 点落地前的飞行过程中，由动能定理得mghW12mv2312mv22代入数据解得 W2.9104 J。答案(1)4.9 m/s2(2)1.0104 J(3)2.9104 J如果物体只受重力，或系统内只有重力或弹力做功时，则 W 外是重力做的功或重力和弹力做功的总和，动能定理就转化成机械能守恒定律。如果重力和弹力中有一个力是变力时，要求这个变力做的功，则可用机械能守恒定律来求解。
