1、2014-2015学年河北省唐山市开滦二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1椭圆的焦距为( )A10B5CD2下列各组直线中，互相垂直的一组是( )A2x3y5=0与4x6y5=0B2x3y5=0与4x+6y+5=0C2x+3y6=0与3x2y+6=0D2x+3y6=0与2x3y6=03如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )ABCD4已知直线l、m、n与平面、，给出下列四个命题：若ml，nl，则mn 若m，m，则若m，
2、n，则mn 若m，则m或m其中正确命题的个数是( )A4B3C2D15两圆x2+y2=9和x2+y28x+6y+9=0的位置关系是( )A外切B内切C相交D外离6双曲线=1的焦点到它的渐近线的距离为( )AeBcCaDb7与两点（3，0），（3，0）距离的平方和等于38的点的轨迹方程是( )Ax2y2=10Bx2+y2=10Cx2+y2=38Dx2y2=388若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( )A相交、平行或异面B相交或平行C异面D平行或异面9圆x2+y22x=3与直线y=ax+1的交点的个数是( )A0个B1个C2个D随a值变化而变化10正四棱锥VABCD的侧棱长
3、与底面边长相等，E是VA中点，O是底面中心，则异面直线EO与BC所成的角是( )A30B45C60D9011双曲线=1（a0，b0）的两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正MF1F2，若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )A+1B+1CD12如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB与y轴平行，AB=OA，则三角形AOB是( )A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13椭圆+=1上一点M到一个焦点的距离是5，则它到另一个焦点的距离是_14已知A（1，5），B（3，0），则点A关于点B对
4、称点的坐标_15椭圆+=1的两焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，满足F1PF2=60，则三角形F1PF2的面积_16圆x2+y210x10y=0和圆x2+y26x+2y40=0的公共弦长是_三解答题（本大题共6小题，满分70分）17已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线xy=0截得的弦长为，求圆的方程18如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点（）求证：EF平面CB1D1；（）求证：平面CAA1C1平面CB1D119椭圆C：+=1（ab0）的焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），且经过定点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=（x+1）交椭圆C于A，B两
5、点，求线段AB的长20已知圆C：x2+y24x14y+45=0，及点Q（2，3）（1）P（a，a+1）在圆上，求直线PQ的斜率；（2）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值21如图，在三棱锥PABC中，PAAC，PCBC，M为PB的中点，D为AB的中点，且AMB为正三角形（1）求证：BC平面PAC；（2）若BC=4，PB=10，求点B到平面DCM的距离22已知双曲线C：=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，且过点（1）求双曲线C的标准方程；（2）斜率为k且过点P（1，2）的直线l与双曲线C有两个公共点，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，试判断以Q（1，
6、1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，说明理由2014-2015学年河北省唐山市开滦二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1椭圆的焦距为( )A10B5CD【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9再根据椭圆基本量的关系得c=，由此即可得到该椭圆的焦距【解答】解：椭圆方程为a2=16，b2=9，得c=由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D【点评】本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了
7、椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题2下列各组直线中，互相垂直的一组是( )A2x3y5=0与4x6y5=0B2x3y5=0与4x+6y+5=0C2x+3y6=0与3x2y+6=0D2x+3y6=0与2x3y6=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【专题】直线与圆【分析】直线l1，l2的斜率存在分别k1，k2，由l1l2k1k2=1即可判断出【解答】解：Ak1k2=1，因此l1与l2不垂直；Bk1k2=1，因此l1与l2不垂直；Ck1k2=1，因此l1l2；Dk1k2=1，因此l1与l2不垂直故选：C【点评】本题考查了两条直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属
8、于基础题3如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )ABCD【考点】由三视图求面积、体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，求出底面半径，和母线长，代入圆柱侧面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，圆柱的底面直径和母线长均为1，故圆柱的底面周长为：，故圆柱的侧面面积为：1=，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状4已知直线l、m、n与平面、，给出下列四个命题：若ml，
9、nl，则mn 若m，m，则若m，n，则mn 若m，则m或m其中正确命题的个数是( )A4B3C2D1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】常规题型；综合题【分析】要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定和性质，八个定理来判断【解答】解：若ml，nl，则mn，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以正确若m，m，则，因为m根据线面平行的性质在内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面若m，n，则mn，平行于同一平面的两直线可能平行、相交、异面所以不正确若m，则m 或m，因为，
10、根据面面垂直的性质在内垂直于、交线的直线与垂直，又因为m，所以此直线与m平行或重合，所以m 或m故选B【点评】此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握重点考查学生的空间想象能力5两圆x2+y2=9和x2+y28x+6y+9=0的位置关系是( )A外切B内切C相交D外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【专题】直线与圆【分析】把圆的方程化为标准形式，求得圆心和半径，再根据两圆的圆心距d=5，大于半径之差而小于半径之和，故它们相交【解答】解：圆x2+y2=9的圆心为O（0，0）、半径等于3；圆x2+y28x+6y+9=0，即（x4）2+（y+3）2 =16，表示以C（4，3）为圆心、半
11、径等于4的圆，两圆的圆心距d=|CO|=5，大于半径之差而小于半径之和，故它们相交，故选：C【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于基础题6双曲线=1的焦点到它的渐近线的距离为( )AeBcCaDb【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解：由题得：其焦点坐标为（c，0），（c，0）渐近线方程为y=x，即bxay=0，所以焦点到其渐近线的距离d=b故选：D【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题7与两点（3
12、，0），（3，0）距离的平方和等于38的点的轨迹方程是( )Ax2y2=10Bx2+y2=10Cx2+y2=38Dx2y2=38【考点】轨迹方程 【专题】计算题【分析】设动点M（x，y），直接利用题中的条件得 （x+3）2+y2+（x3）2+y2=38，化简可可得点的轨迹方程【解答】解：设动点M（x，y），由题意得（x+3）2+y2+（x3）2+y2=38，化简可得x2+y2=10，故点的轨迹方程是 x2+y2=10，故选B【点评】本题考查直接利用题中条件求点的轨迹方程的方法，属于容易题8若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( )A相交、平行或异面B相交或平行C异面D平行
13、或异面【考点】异面直线的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线【解答】解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线故选A【点评】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，比较基础9圆x2+y22x=3与直线y=ax+1的交点的个数是( )A0个B1个C2个D随a值变化而变化【考点】直线与圆相交的性质 【专题】计算题；转化思想【分析】把圆的方程整理成标准方程，求得圆心和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离的表达式，利用不等式的性质可比较出2，进而推断出直线与
14、圆相交，故可知交点为2个【解答】解：整理圆的方程为（x1）2+y2=4，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为（）24=，对于y=3a22a+3，=43603a22a+30，（）240（）24即2直线与圆相交，即交点有2个故选C【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质判断直线与圆的位置关系时，一般是看圆心到直线的距离与半径的大小的比较10正四棱锥VABCD的侧棱长与底面边长相等，E是VA中点，O是底面中心，则异面直线EO与BC所成的角是( )A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角 【专题】空间角【分析】以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，建立空间直角坐标系，由
15、此能求出异面直线EO与BC所成的角的大小【解答】解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，建立空间直角坐标系，设正四棱锥VABCD的侧棱长与底面边长都为2，则O（0，0，0），A（，0，0），V（0，0，），E（，0，），B（0，0），C（，0，0），=（），=（，0），设异面直线EO与BC所成的角为，则cos=|cos|=|=|=，=60，异面直线EO与BC所成的角是60故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用11双曲线=1（a0，b0）的两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正MF1F2，若双曲线恰好平分该三角形的另
16、两边，则双曲线的离心率为( )A+1B+1CD【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的对称性可推断出三角形的顶点在y轴，根据正三角形的性质求得顶点的坐标，进而求得正三角形的边与双曲线的交点，代入双曲线方程与b2=c2a2联立整理求得e【解答】解：双曲线恰好平分正三角形的另两边，顶点就在Y轴上坐标是（0，c）或（0，c）那么正三角形的边与双曲线的交点就是边的中点（，c）在双曲线上代入方程=1联立b2=c2a2求得e48e2+4=0求得e=+1 故选：B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线基础知识的综合把握12如图所示是水平放置的
17、三角形的直观图，AB与y轴平行，AB=OA，则三角形AOB是( )A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形【考点】平面图形的直观图 【专题】作图题；空间位置关系与距离【分析】直接利用水平放置的三角形的直观图的画法，判断原图中ABO的形状即可【解答】解：因为水平放置的三角形的直观图，ABy轴，AB=OA，所以原图中BAC=90，AB=2OA，则原图中ABO是直角三角形故选：C【点评】本题考查三角形形状的判断，平面图形直观图的画法，基本知识的考查二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13椭圆+=1上一点M到一个焦点的距离是5，则它到另一个焦点的距离是7
18、【考点】椭圆的简单性质 【专题】定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得椭圆的a=6，设椭圆的两个焦点为F，F，由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a=12，计算即可得到所求距离【解答】解：椭圆+=1的a=6，设椭圆的两个焦点为F，F，由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a=12，可令|PF|=5，即有|PF|=12|PF|=125=7故答案为：7【点评】本题考查椭圆的定义和方程，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题14已知A（1，5），B（3，0），则点A关于点B对称点的坐标（7，5）【考点】直线的斜率 【专题】直线与圆【分析】设点A关于点B对称点的坐标为（x，y），
19、利用中点坐标公式可得，解得即可【解答】解：设点A关于点B对称点的坐标为（x，y），则，解得x=7，y=5故答案为：（7，5）【点评】本题考查了中点坐标公式、对称问题，考查了计算能力，属于基础题15椭圆+=1的两焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，满足F1PF2=60，则三角形F1PF2的面积【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】依题意，在F1PF2中，F1PF2=60，|F1P|+|PF2|=2a=20，|F1F2|=12，利用余弦定理可求得|F1P|PF2|的值，从而可求得PF1F2的面积【解答】解：椭圆的方程为+=1，a=10，b=8，c=6又P
20、为椭圆上一点，F1PF2=60，F1、F2为左、右焦点，|F1P|+|PF2|=2a=20，|F1F2|=12，|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos60=4003|F1P|PF2|=144，|F1P|PF2|=，SPF1F2=|F1P|PF2|sin60=故答案为：【点评】本题考查椭圆的定义和方程、简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题16圆x2+y210x10y=0和圆x2+y26x+2y40=0的公共弦长是【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【专题】计算题；直线与圆【分析】先把2个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径以
21、及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长【解答】解：两圆为x2+y210x10y=0，x2+y26x+2y40=0，可得：4x+12y40=0，即x+3y10=0两圆的公共弦所在直线的方程是x+3y10=0，x2+y210x10y=0的圆心坐标为（5，5），半径为5，圆心到公共弦的距离为d=，AB=2=故答案为：【点评】本题主要考查圆的标准方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题三解答题（本大题共6小题，满分70分）17已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线xy=0截得的弦长为，求圆的方程【考点】关于点
22、、直线对称的圆的方程 【专题】计算题【分析】设圆心（a，2a），由弦长求出a的值，得到圆心的坐标，又已知半径，故可写出圆的标准方程【解答】解：设圆心（a，2a），由弦长公式求得弦心距d=，再由点到直线的距离公式得 d=|a|，a=2，圆心坐标为（2，4），或（2，4），又半径为，所求的圆的方程为：（x2）2+（y4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10【点评】本题考查圆的标准方程的求法，利用弦长公式和点到直线的距离公式，关键是求出圆心的坐标18如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点（）求证：EF平面CB1D1；（）求证：平面CAA1C1平面CB1D1【考点】
23、直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【专题】证明题【分析】（）欲证EF平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EFBD，则EFB1D1，又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，满足定理所需条件；（）欲证平面CAA1C1平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，则AA1B1D1，A1C1B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1平面CAA1C1，而B1D1平面CB1D1，满足定理所需条件【解答】解：（）证
24、明：连接BD在正方体AC1中，对角线BDB1D1又因为E、F为棱AD、AB的中点，所以EFBD所以EFB1D1又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，所以EF平面CB1D1（）因为在正方体AC1中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，所以AA1B1D1又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，所以B1D1平面CAA1C1又因为B1D1平面CB1D1，所以平面CAA1C1平面CB1D1（14分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力19椭圆C：+=1（ab0）的焦点分别为F1（1，0），F
25、2（1，0），且经过定点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=（x+1）交椭圆C于A，B两点，求线段AB的长【考点】双曲线的简单性质 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆的定义，求出a，结合c=1，求出b，即可由此能求出椭圆方程（2）联立方程组，消去y得，2x2+2x1=0，由此利用弦长公式能够求出张段AB的长【解答】解：（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，即，又c=1，b2=a2c2=1故椭圆C的方程为（2）联立方程组，消去y得，2x2+2x1=0且=2242（1）0，8 分设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知x1+x2=1，10 分由弦
26、长公式可得12 分【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题20已知圆C：x2+y24x14y+45=0，及点Q（2，3）（1）P（a，a+1）在圆上，求直线PQ的斜率；（2）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值【考点】直线和圆的方程的应用 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】（1）把点代入，即可求出a的值，再根据斜率公式计算即可；（2）求出圆心坐标和半径，结合图形即可求出最值；（3）的几何意义是圆上一点M（x，y）与A（2，3）连线的斜率，则当直线kxy2k+3=0与圆C相切时有最值【解答】解：（1）点
27、P（a，a+1）在圆上，a2+（a+1）24a14（a+1）+45=0，a=4，P（4，5），KPQ=，（2）圆心坐标C为（2，7），（3）设点（2，3）的直线l的方程为：y3=k（x+2），即kxy2k+3=0，易知直线l与圆方程相切时，k有最值，的最大值为，最小值为【点评】本题考查了直线与圆，点与圆的位置关系，点在圆外时dr|MQ|d+r，从而求最值，直线与圆相切时有最值，属于中档题21如图，在三棱锥PABC中，PAAC，PCBC，M为PB的中点，D为AB的中点，且AMB为正三角形（1）求证：BC平面PAC；（2）若BC=4，PB=10，求点B到平面DCM的距离【考点】点、线、面间的距离计
28、算 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（1）要证BC平面PAC，只需证明BC与平面PAC内的两条相交直线PA、PC垂直，利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；（2）解法一：通过BC=4，PB=10，利用等体积法VMBCD=VBMCD，即可求解点B到平面DCM的距离解法二：过点B作直线CD的垂线，交CD的延长线于点H，证明BH平面DCM说明BH为点B到平面DCM的距离，一是利用等面积法求解，二是利用解直角三角形求解【解答】（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB中，D是AB的中点，MDABM是PB的中点，D是AB的中点，MDPA，故PAAB又PAAC，ABAC=A，AB，AC平面ABC
29、，PA平面ABCBC平面ABC，PABC又PCBC，PAPC=P，PA，PC平面PAC，BC平面PAC（2）解法1：设点B到平面DCM的距离为h，PB=10，M是PB的中点，MB=5AMB为正三角形，AB=MB=5BC=4，BCAC，AC=3，由（1）知MDPA，MDDC在ABC中，VMBCD=VBMCD，即（13分）故点B到平面DCM的距离为（14分）解法2：过点B作直线CD的垂线，交CD的延长线于点H，由（1）知，PA平面ABC，MDPA，MD平面ABCBH平面ABC，MDBHCDMD=D，BH平面DCMBH为点B到平面DCM的距离PB=10，M是PB的中点，MB=5AMB为正三角形，AB
30、=MB=5D为AB的中点，以下给出两种求BH的方法：方法1：在BCD中，过点D作BC的垂线，垂足为点E，则，方法2：在RtBHD中， 在RtBHC中，BC=4，BH2+CH2=BC2，即 由，解得故点B到平面DCM的距离为（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与证明，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力22已知双曲线C：=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，且过点（1）求双曲线C的标准方程；（2）斜率为k且过点P（1，2）的直线l与双曲线C有两个公共点，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，试判断以Q（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不
31、存在，说明理由【考点】双曲线的简单性质 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用双曲线C：=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，且过点，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的标准方程；（2）设直线l的方程为y2=k（x1），即y=kx+2k，与双曲线方程联立，利用直线l与双曲线C有两个公共点，建立不等式，即可求k的取值范围；（3）假设存在，设出直线与双曲线的两个交点，代入双曲线方程后利用点差法求斜率，从而得到假设不正确【解答】解：（1）双曲线C：=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，且过点，=，a=1，b=，双曲线C的标准方程为（2）设直线l的方程为y2=k（x1），即y=kx+2k，由得（k22）x22（k22k）x+k24k+6=0直线l与C有两个公共点，得解之得：k且k的取值范围是（3）设以Q（1，1）为中点的弦存在，该直线与双曲线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，作差得kMN=2由（2）可知，k=2时，直线l与C没有两个公共点，设以Q（1，1）为中点的弦不存在【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合问题，考查了双曲线的方程，考查判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，训练了利用点差法求中点弦所在直线的斜率，属中档题
