1、章末综合测评(二)圆与方程(满分：150分时间：120分钟) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1圆(x2) 2y25关于原点(0，0)对称的圆的方程为()Ax2(y2) 25B(x2)2y25Cx2(y2) 25D(x1)2y25B因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25的圆心(2，0)关于原点(0，0)对称，所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为，故所求圆的方程为(x2) 2y252已知直线xy40与圆心为的圆C相切，则圆C的方程为()A(x2)2y23B(x2)2y29C(x2)2y23D(x2)2y29B由于直线xy40与圆C相
2、切，则圆C的半径r3，因此，圆C的方程为(x2)2y293若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2y2kx2yk2150相切，则实数k的取值范围是()Ak2B3k2Ck2D以上都不对C由题意知点在圆外，故1222k22k2150，解得k24已知点P和圆C：x2y24，则过点P且与圆C相切的直线方程是()Axy4Bxy4Cxy4Dxy4B可知P在圆上，则kPC，则切线的斜率为，所以切线方程为y1，即xy45圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于2的点有()A1个B2个C3个D4个B圆心(3，3)到直线3x4y110的距离d2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个6过点(1，0)
3、且倾斜角为30的直线被圆(x2)2y21所截得的弦长为()AB1CD2C由题意得，直线方程为y(x1)，即xy10圆心(2，0)到直线的距离为d，故所求弦长为l22故选C7若方程x2y2kx2yk20所表示的圆取得最大面积，则直线y(k1)x2的倾斜角等于()A45B135C60D120B将圆x2y2kx2yk20化成标准方程，得(y1)21，r21，当圆取得最大面积时，k0，半径r1，因此直线y(k1)x2，即yx2 得直线的倾斜角满足tan 1，1358若P是直线l：3x4y90上一动点，过P作圆C：x2y24x0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为()AB2CD2
4、B圆C：(x2)2y24，圆心为(2，0)半径ACr2，画出图象，如图所示因为直线与圆相切，所以PACPBC90，且PACPBC，所以四边形PACB面积S2SPAC2ACPA2PA，又PA，所以当PC最小时，PA最小，四边形PACB面积的最小值，由图象可得，PC最小值即为点C到直线3x4y90的距离，所以|PC|min3，所以|PA|min，所以四边形PACB面积的最小值S2PA2，故选B二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知圆M：(xcos )2(ysin )21，直线l：ykx，以下结
5、论成立的是()A存在实数k与，直线l和圆M相离B对任意实数k与，直线l和圆M有公共点C对任意实数k，必存在实数，使得直线l和圆M相切D对任意实数，必存在实数k，使得直线l和圆M相切BC对于A选项，圆心坐标为M(cos ，sin )，半径R1，则圆心到直线kxy0的距离d|sin()|1，(是参数)，即dR，即直线l和圆M相交或相切，故A错误；对于B选项，直线l和圆M相交或相切，对任意实数k与，直线l和圆M有公共点，故B正确；对于C选项，对任意实数k，当|sin()|1时，直线l和圆M相切，故C正确，对于D选项，取0，则圆M的方程为：(x1)2y21，此时y轴为圆的经过原点的切线，但是不存在k，
6、不正确，故D错误10若圆C：x2y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：xyc0的距离为2，则c的取值可能是()A2B0C1D3ABC圆方程为(x2)2(y2)218，圆心为(2，2)，半径为3，要使条件成立，设圆心到直线的距离为d，只需要d32，即2c2，所以ABC均符合条件11若实数x、y满足条件x2y21，则下列判断正确的是()Axy的范围是(0，Bx24xy2的范围是3，5Cxy的最大值为1D的范围是BD对于A，12xyx2y22xy(xy)2，故(xy)212xy1，化简得，(xy)22，所以，xy，A错；对于B，x24xy214x，又因为实数x、y满足条件x2y21，故1x
7、1，所以，314x5，B对；对于C，由于x2y21，所以，12xyx2y22xy(xy)2，故12xy(xy)24xy，化简得，xy，当且仅当xy时，等号成立，故xy的最大值为，C错；对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，即x1时，直线与圆相切，当过定点的直线的斜率存在时，令k，则k可看作圆x2y21上的动点到定点(1，2)的连线的斜率，可设过定点(1，2)的直线为：y2k(x1)，该直线与圆x2y21相切，圆心到直线的距离设为d，可求得d1，化简得k，故k，故D对12从点A(3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2y24x4y70上，则下列
8、结论正确的是()A若反射光光线与圆C相切，则切线方程为3x4y30或4x3y30B若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为xy0C若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是51D若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是ABCD点A(3，3)关于x轴的对称点为A(3，3)圆方程为(x2)2(y2)21，斜率存在时，设反射光线方程为y3k(x3)，即kxy3k30由相切知1，解得k或反射光线方程为y3(x3)或y3(x3)即4x3y30或3x4y30，故A正确又A(3，3)，C(2，2)的方程为yx，故B正确；因|AC|5，所以直线的最短路程为51，故C正确由于两条与圆C相
9、切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和，所以被挡住的范围是，故D正确三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，则圆C的方程为_(x1)2(y1)22由圆C的圆心在直线xy0上，设圆C的圆心为(a，a)，又圆C与直线xy0相切，半径r又圆C在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d2r2，即2a2，解得a1，圆C的方程为(x1)2(y1)2214直线2xy30与圆x2y22x2y0相交于A，B两点，O为坐标原点，则|_2设A(x1，y1)，B(x2，y2
10、)，AB的中点为M，联立直线方程与圆的方程：，整理可得：5x210x30，故x1x22，y1y2(2x13)(2x23)2(x1x2)62，据此可得：M(1，1)，|，结合平面向量的运算法则有|2|215已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P，Q两点，O为原点，且OPOQ，则实数m的值为_3x2y2x6ym0，(y3)2m，圆心C，半径r，所以圆心C(，3)到直线x2y30距离为，过圆心C且与直线x2y30垂直的直线方程为：2xy40，由 得PQ中点M坐标为(1，2)，因为OPOQ，所以OM2r2，14m，m316阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点
11、距离之比为常数k(k0，k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则动点P的轨迹是_当P，A，B不共线时，PAB面积的最大值是_(第一空2分，第二空3分)半径为2的圆2以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则A(1，0)，B(1，0)设P(x，y)，两边平方并整理得：x2y26x10(x3)2y28，即点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆当点P到AB(x轴)的距离最大时，PAB的面积最大，此时面积为222四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分
12、) 已知圆C：x2y28y120和直线l：mxy2m0(1)求圆C的圆心坐标和半径；(2)当m为何值时，直线l和圆C相切解(1)将圆C：x2y28y120化为标准方程为x2(y4) 24，则圆心为(0，4)，半径为2(2)直线l和圆C相切，则2，解得m18(本小题满分12分)在圆经过C(3，4)，圆心在直线xy20上，圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解已知圆E经过点A(1，2)，B(6，3)且_；(1)求圆E的方程；(2)已知直线l经过点(2，2)，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程解选条件，(1)设圆的方程为x2y2DxE
13、yF0，依题意有 ，解得D6，E2，F15，所以圆的方程为x2y26x2y150，即圆E的标准方程为：(x3)2(y1)225(2)设圆心到直线的距离为d，则弦长L284d3，当直线的斜率不存在时，d53，所以直线的斜率存在，设其方程为y2k(x2)，即kxy2k20，d3，解得k0，k，所以所求直线的方程为y2或15x8y140选条件，(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，因为圆E经过点A(1，2)，B(6，3)，且圆心在直线xy20上，依题意有解得D6，E2，F15，所以圆E的方程为(x3) 2(y1)225(2)设圆心到直线的距离为d，则弦长L284d3，当直线的斜率不存在时，d53，
14、所以直线的斜率存在，设其方程为y2k(x2)，即kxy2k20，d3，解得k0，k，所以所求直线的方程为y2或15x8y140选条件，设圆E的方程为x2y2DxEyF0，由圆E经过点A(1，2)，B(6，3)，故 ，又因为圆截y轴所得弦长为8，故方程y2EyF0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8所以8，即E24F64，解方程组，得D6，E2，F15或D，E，F，由于圆心E的坐标为整数，故圆E的方程为(x3)2(y1)225(2)设圆心到直线的距离为d，则弦长L284d3，当直线的斜率不存在时，d53，所以直线的斜率存在，设其方程为y2k(x2)，即kxy2k20，d3，解得k0，k，所以所
15、求直线的方程为y2或15x8y14019(本小题满分12分) 已知直线l：xy20与圆C：(x2)2y2r2(r0)相切，O为原点，A(2，0)(1)若过A的直线l1与C相交所得弦长等于4，求直线l1的方程；(2)P为C上任意一点，求的值解(1)由题知圆心C(2，0)，因为l与圆C相切，所以r2，所以圆C：(x2)2y28设圆心C到l1的距离为d，由题有d2，设l1：yk(x2)，所以d2，解得k，所以l1：y(x2)(2)设P(x0，y0)，所以|PO|，|PA|，所以，因为2y8，所以20(本小题满分12分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍
16、轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？解如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2y2252直线AB方程：1，即3x4y1200设O到AB距离为d，则d240存在这样的直线l，方程为yx4或yx1 22(本小题满分12分)如图，已知圆C1：(x1)2(y1)22，圆C2：(x1)2(y1)25，过原点O的直线l与圆C1，C2的交点依次是P，O，Q(1)若2，求直线l的方程；(2)若线段的中点为M，求点M的轨迹方程解(1)设直线l的方程为：ykx，C1，C2到直线l的距离为d1，d2由条件24，即4dd3，所以43，整理，得k24k0，解得k0或k4，所以直线l的方程为：y0或y4x(2)设l：ykx则由 消去y，得x2(2k4)x0，解得x10，x2其中k2，所以Q，由消去y，得(1k2)x2(2k2)x0，解得x30，x4，其中k1，所以P，设M(x，y)，则将k代入式消去k，得：x2y2x2y0，又k1且k2，将k1，k2代入求得和，故点M的轨迹方程为x2y2x2y0(挖去点和)
