1、高二年级第二次月考数学（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题只有一项是符合题目要求的，每小题5分）1.对xR，“关于x的不等式f(x)0有解”等价于()A. x0R，使得f(x0)0成立B. x0R，使得f(x0)0成立C. xR，使得f(x)0成立D. xR，f(x)0成立【答案】A【解析】【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可【详解】命题对xR，“关于x的不等式f（x）0有解”为特称命题，则根据特称命题的定义可知命题等价为x0R，使得f（x0）0成立故选A【点睛】全称命题的一般形式是：，其否定为.存在性命题的一般形式是，其否定为.2.已知命题，总有，则为（）A. 使得B. 使
2、得C. 总有D. ,总有【答案】B【解析】分析】利用全称命题的否定解答即得解.【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，p为x00，使得（x0+1）1，故选B【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3.椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程求得，结合离心率的计算公式，即可求得.【详解】因为椭圆方程，可得，故椭圆的离心率.故选：C.【点睛】本题考查由椭圆方程求椭圆的离心率，属基础题.4.已知，则与( )A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向【答案】A【解析】【分析】由，可得答案.【详解】，.故选：
3、.【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题.5.已知向量且与互相垂直，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先表示出与的坐标，再根据与互相垂直，得到计算可得；【详解】解：因为，又因为与互相垂直，所以，解得故选：.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.6.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60,且|=1,|=2,|=3,则|等于()A. 5B. 6C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】结合图形先表示出=，再计算，即可解决问题【详解】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=所以有=，于是有=25所以，答案选A【点睛】求空间
4、向量的模有两种方法：一是平方法，即利用，其实质转化为数量积求解；二是从标法，即利用公式7.函数，在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立，即可由定义域及不等式求得的取值范围.【详解】函数，.则，因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即， 所以在区间上恒成立，所以，解得，故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性与导函数关系，由函数单调性确定参数的取值范围，属于基础题.8.下列命题正确的个数是（ ）（1）已知、，则动点的轨迹是双曲线左边一支；（2）在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x2y3的距
5、离相等的点的轨迹是抛物线；（3）设定点，动点满足条件，则点的轨迹是椭圆A. 0 个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【详解】 ,所以动点的轨迹是双曲线右边一支；到点(1,1)和直线x2y3的距离相等的点的轨迹是过点(1,1)且与直线x2y3垂直的直线；当时，此时轨迹为线段，因此选A.点睛：(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线定义中定点不在定直线上.(2)注意数形结合，画出合理草图.9.正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值 （ ）A. B. C. D.
6、【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，则（2，0，2），B（2，2，0），（0，0，2），E（2，1，2），=（0，2，-2），=（2，1，0），设与所成角为，则考点：异面直线及其所成的角10.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】分析：可设且到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求及点到已知直线的距离.详解：设且到直线的距离最小，又，令，则，故.此时到直线的距离为，故选B.点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行
7、的问题.11.设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为曲线上任一点处切线斜率为，则可知g(x）=cosx,因此可知函数，可知函数为偶函数故排除选项A,B，然后看选项C,D，当x取正数且趋近于0时，函数值也趋近于0，故选C考点：本试题考查了函数图像的运用点评：解决该试题的关键是能通过解析式分析函数的奇偶性和对称性，以及特殊点的函数值，利用这些知识来逐一的判定，属于基础题12.已知是定义在R上的函数的导函数，且，则的大小关系为( )A. abcB. bacC. cabD. cba【答案】C【解析】【分析】构造函数g（x
8、）=f（x）ex，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得a=g（ln2）与c=g（0）、b=g（1）的大小关系，即可得到答案【详解】令g（x）=f（x）ex，则g（x）=f（x）ex+f（x）ex=ex（f（x）+f（x），因为对任意xR都有f（x）+f（x）0，所以g（x）0，即g（x）在R上单调递增，又a=2f（ln2）=eln2f（ln2）=g（ln2），b=ef（1）=g（1），c=e0f（0）=g（0），由0ln21，可得g（0）g（ln2）g（1），即cab故选C【点睛】本题考查导数的运用：求单调性，考查导数的运算性质的运用，以及单调性的运用：比较大小，属于中档题二、填空题（
9、共4小题，每小题5分，共20分）13.已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为 【答案】.【解析】试题分析：，；即物体在时刻t=2时的速度为.考点：导数的物理意义.14.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(2)_【答案】 【解析】【分析】将（1）看成常数利用导数的运算法则求出，令即可求出（2）【详解】解：（1），令得（1）（1），所以f(x)-2xlnx，令得（2）故答案为：【点睛】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值，属于基础题15.过抛物线的焦点作倾斜角为直线，直线与抛物线相交与，两点，则弦的长
10、是 .【答案】16【解析】试题分析：抛物线的焦点为，倾斜角为说明斜率为1，直线方程，与联立方程组，消去得：，设，则，则考点：1.焦半径公式和焦点弦公式；2.设而不求；16.已知点分别在正方体的棱、上，且，侧面与面所成的二面角的正切值等于_.【答案】【解析】【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值【详解】由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体的棱、上，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是，
11、因为，所以，所以，设正方体的棱长为，所以，在中，故答案为.【点睛】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数，过曲线上的点处的切线方程为（1）若函数在处有极值，求的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的最大值【答案】（1）；（2）13【解析】【分析】（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x=-2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得
12、到f（x）的表达式（2）先求函数的导数f（x），通过f（x）0，及f（x）0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可【详解】（1）依题意，且，解得，（2）由（1）知，令，得或当或时，为增函数；当时，为减函数在时取极大值，又，函数在区间上的最大值为13【点睛】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题18.在正四棱柱中，为的中点.（1）求直线与平面所成的角；（2）求异面直线与所成的角；（3）求点B到平面的距离.【答案】（1）30；（2）60；（3）【解析】【分析】建系设点，利用空间直角坐标，结合求空间角和距离公式求解.（1）平面的
13、法向量,则与平面所成的角为，由公式求得；（2）异面直线与所成的角,利用公式求得；（3）平面的法向量，则B到平面的距离求得.【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系.，.，设平面的法向量，则，化为，令，解得，.设直线与平面所成的角为，则，直线与与平面所成的角为30.（2），异面直线与所成的角为60.（3）设平面的法向量，则，令，解得，.点B到平面的距离.【点睛】本题考查了利用空间向量，解决立体几何中的空间角和距离问题，建系设点，求出点的坐标，并运用夹角和距离公式求解，还考查了学生的运算能力.19.已知动圆过定点，且与定直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若是轨迹的动弦，且过， 分别以
14、、为切点作轨迹的切线，设两切线交点为，证明:.【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（I）由题意可得：动圆圆心到定点（0，2）与到定直线y=-2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程即可；（II）设AB：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系，从而解决问题试题解析：（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是（2），抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，.所以，(注:也可设,再由,设则直线AQ:
15、,联立直线和抛物线方程,由直线和抛物线相切得可得，同理可得，从而证）考点：1.轨迹方程；2.直线与抛物线相交的相关问题20.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底边，棱，M，N分别线段、的中点.（1）求；（2）求.【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】由于侧棱垂直于底面，且，所以可知 两两垂直，因此以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，（1），（2）两问利用空间向量求解即可.【详解】（1）由题意，建系如图：，.，（2），.【点睛】本题考查利用空间向量求数量积以及求线线角，考查基本分析求解能力，属基础题.21.如图所示,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.用空间向量进行以下证明和计
16、算:（1）证明:;（2）若为棱上一点,满足,求二面角的正弦值.【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，证明后即可得证；（2）由题意先求出，再求出平面一个法向量、平面的法向量，求出之后即可得解.【详解】依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),可得，由为棱的中点,得.（1）向量，故,所以.（2）向量,，由点在棱上,设，则，由,得，因此，解得,即.设为平面的法向量,则即，不妨令,可得为平面的一个法向量，取平面的法向量,则. 所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题.22.，.（1）若在是增函数，求实数a的范围；
17、（2）若在上最小值为3，求实数a的值；（3）若在时恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】分析】（1）先求导得到，根据在上是增函数，转化为在上恒成立，即在上恒成立求解，（2）由（1）知，结合，分，三种情况讨论求解；（3）将在时恒成立，转化为在时恒成立，令，用导数法求其最小值即可.【详解】（1），.在上是增函数，在上恒成立，即在上恒成立.令，则，.在上是增函数，.所以实数a的取值范围为；（2）由（1）得，.若，即，则，即在上恒成立，此时在上是增函数，所以，解得（舍去）；若，即，令，得.当时，所以在上是减函数，当时，所以在上是增函数.所以，解得（舍去）；当时，在上恒成立，在区间为减函数，解得.综上可得，；（3）因为，在时恒成立，所以，在时恒成立，即，在时恒成立，令，所以，设，所以在时恒成立，所以在上是增函数，即在上是增函数，所以，所以在上是增函数，所以，所以，解得，所以的取值范围.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的函数的最值以及导数与不等式恒成立问题，还考查了分类讨论、转化化归的思想和运算求解的能力，属于中等题.
