1、考纲解读 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系(重点)2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容预测 2020 年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.基础知识过关 1两个向量的夹角2平面向量的数量积3平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角，则(1
2、)eaae|a|cos.(2)ab .(3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|.特别地，aa 或|a|.01 ab002|a|203aa(4)cos ab|a|b|.(5)|ab|.4平面向量数量积满足的运算律(1)ab ；(2)(a)b (为实数)；(3)(ab)c .04|a|b|01 ba02(ab)03 a(b)04 acbc5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab ，由此得到：(1)若 a(x，y)，则|a|2 或|a|；(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|A
3、B|AB|；01 x1x2y1y202 x2y203x2y204x2x12y2y12(3)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab ；(4)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是 a 与 b 的夹角，则 cosx1x2y1y2x21y21 x22y22.05 x1x2y1y201概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量()(2)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()(3)由 ab0 可得 a0 或 b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)若 abbc(b
4、0)，则 ac.()2小题热身(1)(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A4 B3 C2 D0解析 因为 a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.所以选 B.答案 B答案 解析(2)(2017全国卷)已知向量 a(2,3)，b(3，m)，且 ab，则 m_.解析 a(2,3)，b(3，m)，且 ab，ab0，即233m0，解得 m2.答案 2答案 解析(3)设向量 a，b 满足：|a|1，|b|2，a(ab)，则 a 与 b 的夹角是_解析 设 a 与 b 的夹角为，因为 a(ab)，所以 a(ab)0，故|a|2|a|b|cos0，解得 cos
5、12，故 a 与 b 的夹角为 60.答案 60答案 解析(4)已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为_解析 因为 ab|a|b|cos54cos12010，所以 b 在 a 方向上的投影为|b|cosab|a|105 2.答案 2答案 解析 经典题型冲关 题型 一 平面向量数量积的运算1已知两个单位向量 a 和 b 的夹角为 60，则向量 ab 在向量 a 方向上的投影为()A1 B1 C12 D.12答案 D答案 解析 由两个单位向量 a 和 b 的夹角为 60，可得 ab111212，(ab)aa2ab11212，向量 ab 在向量 a
6、 方向上的投影为aba|a|12112，故选 D.解析 2(2018天津高考)在如图的平面图形中，已知 OM1，ON2，MON120，BM 2MA，CN 2NA，则BCOM 的值为()A15 B9 C6 D0答案 C答案 解析 连接 MN，因为BM 2MA，所以AB3AM，同理AC3AN，BCAC AB 3AN 3AM 3MN，BC OM 3MN OM 3(ON OM)OM 3ON OM 3(OM)2321cos1203126.解析 3已知菱形 ABCD 的两条对角线 BD，AC 的长度分别为 6,10，点 E，F分别是线段 BC，CD 的中点，则AEBF_.答案 12答案 解析 依题意，建立
7、如图所示的平面直角坐标系，故 A(5,0)，C(5,0)，E52，32，B(0,3)，F52，32，则AE152，32，BF52，92，则AEBF12.解析 计算向量数量积的三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即 ab|a|b|cos(是 a 与 b 的夹角)(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解如举例说明 2.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解如举例说明 3.1已知向量 a(x,2)，b(2,1)，c(3，x)，若 ab，则 ac()A4 B8 C12 D
8、20解析 因为 ab，所以 x220，解得 x4，所以 a(4,2)，所以 ac(4,2)(3,4)432420.答案 D答案 解析 2(2019西安八校联考)已知点 A(1,1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量CD 在BA方向上的投影是()A3 5 B3 22 C3 5 D.3 22答案 A答案 解析 依题意得，BA(2，1)，CD(5,5)，BACD(2，1)(5,5)15，|BA|5，因此向量CD 在BA方向上的投影是BACD|BA|155 3 5.解析 3在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，且满足BC3MC，DC4NC，若 AB4，AD3
9、，则ANMN()A 7 B0 C.7 D7解析 以AB，AD 为基底，ANAD 34AB，MN CN CM 14CD 13CB14AB13AD，ANMN AD 34AB 14AB13AD 13AD 2 916AB 2 13(99)0，故选 B.答案 B答案 解析 题型 二 平面向量数量积的性质1(2018华南师大附中一模)已知向量|OA|3，|OB|2，BC(mn)OA(2nm1)OB，若OA 与OB 的夹角为 60，且OC AB，则实数mn的值为()A.87 B.43 C.65 D.16答案 A答案 解析 由题意得，OC OB BC(mn)OA(2nm)OB，ABOB OA，OA OB 32
10、cos603.又因为OC AB，所以OC AB(mn)OA(2nm)OB(OB OA)(mn)OA 2(2m3n)OA OB(2nm)OB 29(mn)3(2m3n)4(2nm)0，整理得 7m8n0，故mn87.解析 2(2017全国卷)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.解析 由题意得，ab21cos601，所以|a2b|2a24ab4b244412，所以|a2b|2 3.答案 2 3答案 解析 3已知向量 m(sin，1cos)(0)与向量 n(2,0)的夹角为3，则_.答案 23答案 解析 由已知条件得|m|sin21cos2 22cos，|n|2，m
11、n2sin，于是由平面向量的夹角公式得 cos3 mn|m|n|2sin2 22cos12，整理得 2cos2cos10，解得 cos12或 cos1(舍去)因为 0，所以 23.解析 条件探究 1 把举例说明 1 的条件改为“已知OA(2 3，0)，OB(0,2)，ACtAB，tR，当|OC|最小时”，求 t 的值解 由题意得，OC OA t(OB OA)，OC(1t)OA tOB(1t)(2 3，0)t(0,2)(2 32 3t,2t)，所以|OC|212(1t)24t216t3423，所以当 t34时，|OC|取最小值答案 条件探究 2 把举例说明 2 的条件改为“平面向量 a 与 b
12、的夹角为 45，a(1,1)，|b|2”，求|3ab|.解 由题意得，|a|1212 2，ab 22cos452.所以|3ab|29a26abb292622234.所以|3ab|34.答案 1求向量夹角问题的方法(1)当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角，需求出 ab 及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cosa，bx1x2y1y2x21y21 x22y22.如举例说明 3.2求向量模的常用方法(1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式|a|x2y2.(2)若向量 a，b 是以非坐标形式出现的，求向
13、量 a 的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解如举例说明 2.3解答向量垂直问题的两个策略(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可(2)根据两个向量垂直的充要条件 ab0，列出相应的关系式如举例说明 1.1已知平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m()A2 B1 C1 D2答案 D答案 解析 a(1,2)，b(4,2)，cmab(m4,2m2)，|
14、a|5，|b|2 5，ac5m8，bc8m20.c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，ca|c|a|cb|c|b|，5m85 8m202 5，解得 m2.解析 2(2018北京高考)设向量 a(1,0)，b(1，m)，若 a(mab)，则m_.解析 由已知，mab(m1，m)，又 a(mab)，所以 a(mab)1(m1)0(m)0，解得 m1.答案 1答案 解析 3(2018青岛模拟)已知|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为23，且 abc0，则|c|_.解析 因为 abc0，所以 cab，所以 c2a2b22ab2232223cos234967.所以|c|7.答案 7答案 解析
15、题型 三 向量数量积的综合应用角度 1 向量在平面几何中的应用1已知AB，AC是非零向量，且满足(AB2AC)AB，(AC2AB)AC，则ABC 的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案 C答案 解析(AB2AC)AB(AB2AC)AB0，即ABAB2ACAB0，(AC 2AB)AC(AC 2AB)AC 0，即AC AC 2AB AC 0，ABABACAC2ABAC，即|AB|AC|，则 cosA ABAC|AB|AC|12，A60，ABC为等边三角形解析 角度 2 向量在解析几何中的应用2已知ABBC0，|AB|1，|BC|2，AD DC 0，则|BD|的最大
16、值为_解析 由ABBC0 可知，ABBC.故以 B 为坐标原点，分别以 BA，BC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意，可得 B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)设 D(x，y)，答案 5答案 解析 则AD(x1，y)，DC(x,2y)由AD DC 0，可得(x1)(x)y(2y)0，整理得x122(y1)254.所以点 D 在以 E12，1 为圆心，半径 r 52 的圆上因为|BD|表示 B，D 两点间的距离，而|EB|12212 52.所以|BD|的最大值为|EB|r 52 52 5.解析 角度 3 向量与三角函数的综合应用3(2018石家庄模拟)已知 A
17、，B，C 分别为ABC 的三边 a，b，c 所对的角，向量 m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，且 mnsin2C.(1)求角 C 的大小；(2)若 sinA，sinC，sinB 成等差数列，且CA(ABAC)18，求边 c 的长解(1)由已知得 mnsinAcosBcosAsinBsin(AB)，因为 ABC，所以 sin(AB)sin(C)sinC，所以 mnsinC.又 mnsin2C，所以 sin2CsinC，所以 cosC12.又 0C，所以 C3.答案(2)由已知得 2sinCsinAsinB，由正弦定理得 2cab.因为CA(ABAC)CACB18，所以 abco
18、sC18，所以 ab36.由余弦定理得 c2a2b22abcosC(ab)23ab，所以 c24c2336，所以 c236，所以 c6.答案 1向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用如举例说明 1.2向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题如举例说明 2.(2)工具作用：利用 abab0；abab(
19、b0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到3向量与三角函数的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行求解如举例说明 3.1已知点 A(2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足PAPBx2，则点 P 的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析 由已知得PAPB(2x，y)(3x，y)(2x)(3x)(y)(y)x2x6y2x2，所以 y2x6，故点 P 的轨迹是抛物线答案 D答案 解析 2若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OB OC)(OB OC 2OA)0，则ABC
20、 的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形答案 C答案 解析(OB OC)(OB OC 2OA)0，即(OB OC)(OB OA OC OA)0，CB(ABAC)0，(ABAC)(ABAC)0，即|AB|2|AC|20，|AB|AC|，三角形 ABC 为等腰三角形解析 3已知函数 f(x)ab，其中 a(2cosx，3sin2x)，b(cosx,1)，xR.(1)求函数 yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，且向量 m(3，sinB)与 n(2，sinC)共线，求边长 b 和 c 的值解(1)f(x)ab2cos2x 3sin2x1cos2x 3sin2x12cos2x3，由 2k2x32k(kZ)，解得 k6xk3(kZ)，f(x)的单调递减区间为k6，k3(kZ)答案(2)f(A)12cos2A3 1，cos2A3 1.0A，32A373，2A3，即 A3.a 7，答案 由余弦定理得a2b2c22bccosA(bc)23bc7.向量 m(3，sinB)与 n(2，sinC)共线，2sinB3sinC.由正弦定理得 2b3c，由，可得 b3，c2.答案
