1、13.2 不等式选讲第一章集合与常用逻辑用语第十三章选 考 内 容1基本不等式及其推广(1)a2b2_(a，bR)，当且仅当_时，等号成立(2)ab2 _(a，b0)，当且仅当_时，等号成立(3)abc3_(a，b，c0)，当且仅当_时，等号成立(4)a1a2ann_(ai0，i1，2，n)，当且仅当_时，等号成立2绝对值不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，那么|ab _，当且仅当_时，等号成立(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac _，当且仅当_时，等号成立(3)|x a_3证明不等式的方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基
2、本思想是_与 0 比较大小或_与 1 比较大小；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法；(6)数学归纳法自查自纠1(1)2ab ab(2)ab ab(3)3 abc abc(4)n a1a2an a1a2an2(1)|a|b ab0(2)|ab|bc (ab)(bc)0(3)axa xa3(1)作差 作商(5)放大 缩小1.(2019全国卷)已知 f(x)|xa|x|x2|(xa).(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 x(，1)时，f(x)0，求
3、a 的取值范围.解：当 a1 时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当 x1 时，f(x)2(x1)20；当 x1 时，f(x)(x1)(x|x2|)0.所以不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2)因为 f(a)0，所以 a1，当 a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0，即 ax0，所以 a 的取值范围是1，)2.(2018河南豫南九校联考)已知函数 f(x)|x1|x3|.(1)若关于 x 的不等式 f(x)a 有解，求实数 a 的取值范围；(2)若关于 x 的不等式 f(x)f(x)min，f(x)2x2，x3，4，1x3，22x，x1，绘制函数 f(
4、x)的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数 a 的取值范围是(4，)方法二：f(x)|x1|x3|(x1)(x3)|4，当且仅当1x3 时，f(x)取得最小值 4.关于 x 的不等式 f(x)4，即实数 a 的取值范围是(4，)(2)由题意可得，x72是方程|x1|x3|a 的解，则 a|721|723|5，求解绝对值不等式|x1|x3|5，可得32x0)，g(x)x2.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围.解：(1)当 a1 时，原不等式等价于|2x1|2x1|x2.等价于x12，4xx2或12x12，2x2或x12
5、，4xx2，解得 x或 0 x12或12x23，所以不等式的解集为x|0 x23.(2)方法一：|2xa|2x1|x2 等价于|2xa|2x1|x20，令 h(x)|2xa|2x1|x2，因为 a0，所以 h(x)5xa3，x12，xa1，12xa2，3xa1，xa2.易得 h(x)minh a2 a21，令a210，得 a2.故 a 的取值范围是2，)方法二：f(x)g(x)恒成立即|2xa|x2|2x1|恒成立 令 h(x)x2|2x1|3x3，x12，x1，x12，作出 yh(x)的图象如图所示 要使|2xa|h(x)恒成立，则函数 y|2xa|的图象应恒在函数 yh(x)的图象的上方，
6、由 a0 及数形结合可得a21，则 a2.所以 a 的取值范围是2，)评析 绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类，注意分类要做到不重不漏；对于含参数的绝对值不等式在某区间内的恒成立问题，一般采用分离参数法或数形结合法求范围.变式 2(2019安徽高考模拟)已知函数 f(x)|ax1|x2|.(1)若 a2，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)|x1|在1，2上恒成立，求实数a 的取值范围.解：(1)当 a2 时，f(x)3x，x12，3x1，12x2，x3，x2，f(x)2 等价于x12，3x2或12x2，3x12或x2，x32.解得5x1，所以不等式 f(x)
7、2 的解集是5，1(2)当 x1，2时，f(x)|x1|恒成立，即|ax1|x2|x1|，即|ax1|x1|x2|恒成立 又 x1，2时，|x1|x2|1，所以|ax1|1 在 x1，2上恒成立，只需|a1|1，|2a1|1，解得1a0.所以实数 a 的取值范围是1，0例 3(2019山东高考模拟)已知函数 f(x)|2x1|m|x2|.(1)当 m1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若不等式 f(x2)m 在 x1，1上恒成立，求实数 m 的取值范围.解：(1)当 m1 时，|2x1|x2|2，当 x2 时，原不等式转化为 12xx22，解得 x2；当2x12时，原不等式转化为 12
8、xx22，解得2x1；当 x12时，原不等式转化为 2x1x22，解得 x5.综上，不等式的解集为x|x1 或 x5(2)由已知得，f(x2)|2x5|m|x|m，即 m|2x5|x|1，设 g(x)|2x5|x|1，x1，1，由题意 mg(x)min.当 x0，1时，g(x)2x5x1 2 7x1为减函数，此时最小值为 g(1)32；当 x1，0)时，g(x)2x5x1 2 3x1为增函数，此时最小值为 g(1)72.又3272，所以 g(x)min32.所以实数 m 的取值范围为m|m32评析 分离参数后，不等式化为了 mg(x)恒成立，再利用恒成立问题的等价转化，转化为 mg(x)min
9、.变式 3(重庆西南大学附中 2019 届高三第十次月考)设函数f(x)|x3|3x3|，g(x)|4xa|4x2|.(1)解不等式 f(x)10；(2)若对于任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，试求实数 a 的取值范围.解：(1)不等式等价于x3，4x610或1x3，2x10或x1，64x10.解得 x4或 x1.故原不等式的解集为x|x4(2)对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，即 g(x)的值域包含 f(x)的值域 f(x)|x3|3x3|4x6，x3，2x，1x3，64x，x1，作图可得 f(x)的值域为2，)g(x)|4xa|4x
10、2|(4xa)(4x2)|a2|，当且仅当 4xa与 4x2 异号时取等号，所以 g(x)的值域为|a2|，)，则2，)|a2|，)，所以|a2|2，解得4a0.故实数 a 的取值范围为4，0例 4 已知函数 f(x)|2xa|x1|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)5x 对xR 恒成立，求实数 a 的取值范围.解：(1)a3 时，即求解|2x3|x1|2，当 x32时，原不等式化为 2x3x12，解得 x2；当 1x32时，原不等式化为 32xx12，解集为空集；当 x1 时，原不等式化为 32x1x2，解得 x23.综上，所求不等式的解集为x|x23或x
11、2.(2)f(x)5x 对xR 恒成立，即|2xa|5x|x1|恒成立，令 g(x)5x|x1|62x，x1，4，x1，则由函数 g(x)的图象可得它的最大值为 4.故函数 y|2xa|的图象应该恒在函数 g(x)的图象的上方，数形结合可得a23,所以 a6，即 a 的取值范围是6，)评析 本例及变式展示了数形结合法解决不等式恒成立或存在成立问题的优越性，即省去了不必要的或更复杂的分类讨论，从而更直观、简捷.变式 4 设函数 f(x)1|2x3|.(1)求不等式 f(x)3x1 的解集；(2)若不等式 f(x)mx0 的解集非空，求 m 的取值范围.解：(1)由 f(x)3x1，得|2x3|3
12、x0，则x32，2x33x0或x32，32x3x0，即x32，x35或x32，x3，解得 x3，所以不等式的解集为x|x3(2)由 f(x)1|2x3|42x，x32，2x2，x32，作出 yf(x)与 ymx 的图象如图所示 由单调性可知 f(x)的最大值点为 A32，1.因为过原点的直线 ymx 过点 A 时，m23；与 AC 平行时，m2，所以当230，b0，求证：a2b12 b2a12a12b12.证法一：左边右边（a）3（b）3ab(a b)（a b）（a abb）ab（a b）ab（a b）（a2 abb）ab（a b）（a b）2ab0，所以原不等式成立 证法二：因为不等式左边0
13、，右边0，所以左边右边（a b）（a abb）ab（a b）a abbab2 ab abab1.所以原不等式成立评析 用比较法证明不等式，一般有作差(或商)、变形、判断三个步骤，利用作商法时要注意前提条件.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二.(2)(综合法)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2b2c21a1b1c26 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立.证法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式得 a2b2c23(abc)23，1a1b1c3(abc)13，所以1a1b1c29(abc)23.故 a2b2c21a1b1c23
14、(abc)239(abc)23.又 3(abc)239(abc)232 276 3，所以原不等式成立 当且仅当 abc 时，式和式等号成立 当且仅当 3(abc)239(abc)23时，式等号成立，即 abc314时，原式等号成立 证法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以 a2b2c2abbcac.同理 1a2 1b21c2 1ab 1bc 1ac.故 a2b2c21a1b1c2 a2b2c2 1a2 1b21c2 2ab 2bc 2ac abbcac 3ab 3bc 3ac6 3.所以原不等式成立 当且仅当 abc 时，式和式等
15、号成立，当且仅当(ab)2(bc)2(ac)23 时，式等号成立 即当且仅当 abc314时，原式等号成立评析 综合法是“由因导果”的证明方法.用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的，证法一两次运用三元均值不等式证明，证法二主要是运用不等式的性质证明.(3)(分析法)设 x0，y0 且 xy，求证：(x3y3)13(x2y2)12.证明：因为 x0，y0 且 xy，所以要证(x3y3)13(x2y2)12，只需证(x3y3)2(x2y2)3，即 2x3y33x2y2(x2y2)，只需证 2xy3(x2y2)，因为 x2y22xy，所以
16、 2xy3(x2y2)成立，从而得证评析 对于一些难以看出综合推理出发点的题目，我们可以从要证的结论入手，通常采用分析法求证.分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范.(4)(反证法)已知 x，y，zR，且 xyz1，x2y2z212，证明：x，y，z0，23.证明：分两种情况讨论：若 x，y，z 三数中有负数，不妨设 x0，12x2y2z2x2（yz）22x2（1x）2232x2x1212，矛盾 若 x，y，z 三数中有最大者大于23，不妨设 x23，则12x2y2z2x2（yz）22x2（1x）2232x2x1232xx23 1212，矛盾 故 x，y，z0，23.评析
17、 对于一些直接证明比较困难的命题常常采用反证法证明.利用反证法的关键是在假设结论不成立后，如何由已知和相关性质定理推出矛盾.变式 5(1)已知 abcd0，adbc.求证：()adbc；()aabbccabbcca.证明：()由 abcd0 得 adbc0，即(ad)2(bc)2，由 adbc 得(ad)24ad(bc)24bc，即(ad)2(bc)2，又 ad0，bc0，故 adbc.()aabbccabbccaaabbbcccaaabb(ba)(ac)cca(ab)ab(bc)ac.因为 ab0，所以ab1，ab0，故(ab)ab1.同理，(bc)ac1.从而(ab)ab(bc)ac1，即
18、 aabbccabbcca.(2)(2017全国卷)已知 a0，b0，a3b32.证明：()(ab)(a5b5)4；()ab2.证明：()(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.()因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)23（ab）24(ab)23（ab）34，所以(ab)38，因此 ab2.(3)设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：a1a b1b c1c.证明：要证 a1a b1b c1c，只需证 a(1b)(1c)b(1a)(1c)c(1a)(1b)，即证 a(1bcbc)b(1acac)c(1abab)，
19、即证 a2abbabcc，因为 a，b，c 是ABC 的三边，所以 a0，b0，c0 且 abc，abc0，2ab0，所以 a2abbabcc，所以 a1a b1b c1c得证(4)(课本习题)已知 a，b，c 成等差数列，且公差 d0，求证：1a，1b，1c不可能成等差数列.证明：假设1a，1b，1c成等差数列，则1a1c2b.又 a，b，c 成等差数列，所以 2bac.则2bac2b，即 b2ac.故(ac)24ac，即有(ac)20，所以 ac.从而 abc，这与公差 d0 矛盾 从而假设不成立，所以1a，1b，1c不可能成等差数列 1.解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法，必要时运用
20、分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题.去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法(体现分类讨论思想)、平方法、几何法(体现数形结合思想)、构造法(构造函数，利用函数图象求解.体现函数与方程思想)等.这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用.因此，在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定.2.在对不等式证明题进行分析，寻找解(证)题的途径时，要提倡综合法和分析法同时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数学解题分析中最有效的方法之一.3.作差比较法一般适用于式子为多项式、对数式、三角式结构；作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构.4.运用“f(x)af(x)maxa，f(x)af(x)mina”可解决恒成立问题中的参数范围问题5.用放缩法证不等式，将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的.这种方法灵活性较大，技巧性较强.
