1、考纲解读 1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法,并能利用函数的单调性求最值(重点)2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义(重点)3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质(难点)考向预测 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点预测 2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.基础知识过关 1函数的单调性(1)增函数、减函数(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)区间D叫做函数yf(x)的06 单调性07 单调区间2函数的最值前提,设函数yf(
2、x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件,对于任意的xI,都有;存在x0I,使得,对于任意xI,都有;存在x0I,使得结论,M为函数yf(x)的最大值,M为函数yf(x)的最小值01 f(x)M02 f(x0)M03 f(x)M04 f(x0)M1概念辨析(1)函数 y1x的单调递减区间是(,0)(0,)()(2)设任意 x1,x2a,b且 x1x2,那么 f(x)在a,b上是增函数fx1fx2x1x20(x1x2)f(x1)f(x2)0.()(3)函数 yf(x)在0,)上为增函数,则函数 yf(x)的增区间为0,)()(4)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到()2小题热身(1)下
3、列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x|By3xCy1xDy3x2解析 y|x|在(0,1)上是增函数,y3x,y1x,y3x2 在(0,1)上都是减函数答案 A答案 解析 (2)设定义在1,7上的函数 yf(x)的图象如图所示,则函数 yf(x)的增区间为_解析 由图可知函数的单调递增区间为1,1和5,7答案 1,1,5,7答案 解析 (3)函数 f(x)2x2,x1,2的最大值为_,最小值为_解析 f(x)2x2 在1,0上是增函数,在0,2上是减函数,f(1)1,f(0)2,f(2)2,所以最大值为 2,最小值为2.答案 2 2答案 解析 (4)函数 y2k1x在(0,)上
4、是增函数,则 k 的取值范围是_解析 因为函数 y2k1x在(0,)上是增函数,所以 2k10,解得k12.答案,12答案 解析 经典题型冲关 题型 一 确定函数的单调性(区间)1函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2,)答案 A答案 解析 f(x)|x2|xx2x,x2,2xx,x0,得x4或x2.设tx22x8,则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数tx22x8在定义域内的单调递增区间函数tx22x8在(,2)上单调递减,在(4,)上单调递增,函数f(x)的单调递增区间为(4,)故选D.解析 3试讨论函数f(x)axx1(a0)在(
5、1,1)上的单调性解 解法一:设1x1x21,f(x)ax11x1 a1 1x1,则f(x1)f(x2)a11x11 a11x21答案 ax2x1x11x21.由于1x1x20,x110,x210时,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(1,1)上单调递减;当a0时,f(x1)f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)0,函数f(x)在(1,1)上单调递减;当a0,函数f(x)在(1,1)上单调递增答案 条件探究 将举例说明1中“f(x)|x2|x”改为“f(x)x22|x|”,试写出其单调区间解 f(x)x22|x|x22x,x0,x22x,x0.作出此函数的图象如下
6、:答案 观察图象可知,此函数的单调递减区间是(,1,(0,1;单调递增区间是(1,0,(1,)答案 1确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法:一般步骤:任取 x1,x2D,且 x10,则 kf(x)与 f(x)单调性相同;若 k0,则 kf(x)与 f(x)单调性相反;(3)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数,简称“同增异减”如举例说明 2.1若函数f(x)ax1在R上递减,则函数g(x)a(x24x3)的增区间是()A(2,)B(,2)C(4,)D(,4)答案 B答案 解析
7、 因为函数f(x)ax1在R上递减,所以a1时,f(x)0.判断f(x)的单调性解 设x1x20,则x1x21,当x1时,f(x)0,f(x1)f(x2)fx1x2 0,f(x1)f(x2),函数f(x)在区间(0,)上为增函数答案 题型 二 求函数的最值(值域)1(2018上饶模拟)函数f(x)x1x在2,13 上的最大值是()A.32 B83 C2 D2答案 A答案 解析 因为函数f(x)x1x在2,13 上是减函数,所以f(x)maxf(2)21232.解析 2函数yx x1的最小值为_答案 34答案 解析 令 t x1,则 t0 且 xt21,所以 yt21tt12234,t0,所以当
8、 t12时,ymin34.解析 3函数 y2x22x3x2x1 的值域为_答案 2,103答案 解析 y2x22x3x2x1 2x2x11x2x121x2x1,由 xR 得 x2x1x1223434,所以1x2x10,43,所以 y2x22x3x2x1 的值域是2,103.解析 4(2018石家庄模拟)对于任意实数 a,b,定义 mina,ba,ab,b,ab.设函数 f(x)x3,g(x)log2x,则函数 h(x)minf(x),g(x)的最大值是_答案 1答案 解析 解法一:在同一坐标系中,作函数 f(x),g(x)的图象,依题意,h(x)的图象如图所示易知点 A(2,1)为图象的最高点
9、,因此 h(x)的最大值为 h(2)1.解析 解法二:依题意,h(x)log2x,02.当 02 时,h(x)3x 是减函数,所以 h(x)在 x2 时取得最大值 h(2)1.解析 条件探究 1 将举例说明 1 中“f(x)x1x”改为“f(x)x1x”,其他条件不变,如何解答?解 f(x)x1x在2,1上是减函数,在1,13 上是增函数,且f(2)52,f13 103,所以 f(x)max103.答案 条件探究 2 将举例说明 2 中“yx x1”改为“yx 1x2”,其他条件不变,如何解答?解 由 1x20 可得1x1.可令 xcos,0,则 ycossin 2sin4,0,所以1y 2,
10、故所求函数的最小值是1.答案 条件探究 3 将举例说明 3 中“y2x22x3x2x1”改为“y1x21x2”,其他条件不变,如何解答?解 由 y1x21x2得 x21y1y,由 x20 知1y1y0,解得10,1sinx1等)确定函数的值域(3)数形结合法:若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出,可用数形结合法求函数的值域或最值如举例说明 4.(4)换元法:形如求 y axb(cxd)(ac0)的函数的值域或最值,常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数,再利用函数的相关性质求解如举例说明 2.(5)分离常数法:形如求 ycxdaxb(ac0)的
11、函数的值域或最值常用分离常数法求解如举例说明 3.另外,基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法,在后面章节中有重点讲述 1已知函数 f(x)axlogax(a0,且 a1)在1,2上的最大值与最小值之和为 loga26,则 a 的值为_ 答案 2答案 解析 因为 f(x)axlogax(a0 且 a1)在1,2上为单调函数,所以由题意可得 f(1)f(2)aa2loga2loga26,所以 aa26,解得 a2 或 a3(舍去),所以 a2.解析 2已知定义在 D4,4上的函数 f(x)|x25x4|,4x0,2|x2|,0 x11时,f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba
12、Cacb Dbac答案 D答案 解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称,且在(1,)上是减函数,所以 af12 f52,且 252ac.解析 角度 2 解不等式2已知函数 f(x)x21,x0,1,xf(2x)的 x 的取值范围是()A(0,21)B(1,21)C(0,21)D(1,21)答案 D答案 解析 作出函数 f(x)的图象如图所示则 不等 式 f(1 x2)f(2x)等 价于1x20,2x0或1x20,2x0,1x22x,解 得 1x1,对于任意 x1x2 都有fx1fx2x1x20 成立,则实数 a 的取值范围是()A(1,3 B(1,3)C(1,2 D(1,2
13、)答案 C答案 解析 根据题意,由fx1fx2x1x20,易知函数 f(x)为 R 上的单调递减函数,则a31,a352a,解得 1a2.故选 C.解析 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小如举例说明 1.(2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域如举例说明 2.(3)利用单调性求参数依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;需注意:若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值如举例说明 3.1(2019郑州模拟)函数
14、y x5xa2在(1,)上单调递增,则 a 的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3 答案 C答案 解析 y x5xa2xa2a3xa21a3xa2,所以当 a30 时,y x5xa2的单调递增区间是(,a2),(a2,);当 a30 时不符合题意又因为 y x5xa2在(1,)上单调递增,所以(1,)(a2,),所以 a21,即 a3,综上知,a 的取值范围是(,3解析 2(2018河南百校联盟质检)已知 f(x)2x2x,a79 14,b9715,clog279,则 f(a),f(b),f(c)的大小顺序为()Af(b)f(a)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b
15、)Df(b)f(c)9715 1,clog2790,所以 cba.因为 f(x)2x2x2x12x 在 R 上单调递增,所以 f(c)f(b)f(a)解析 3已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意 x1x2,都有 f(x1)f(x2)log12|3x1|1 的解集为()A(2,)B(,2)C(0,1)(1,2)D(,0)(0,2)答案 D答案 解析 由对任意 x1x2,都有 f(x1)f(x2)x1x2,得 f(x1)x1f(x2)x2.令 g(x)f(x)x,则有对任意 x1x2,都有 g(x1)log12|3x1|1 等价于 g(log12|3x1|g(3),所以 log12|3x1|3log128,所以 0|3x1|8,解得 x2 且 x0,故所求不等式的解集是(,0)(0,2)解析