1、考纲解读 1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值(重点)2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义(重点)3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测 2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.基础知识过关 1函数的单调性(1)增函数、减函数(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)区间D叫做函数yf(x)的06 单调性07 单调区间2函数的最值前提,设函数yf(
2、x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件,对于任意的xI，都有；存在x0I，使得,对于任意xI，都有；存在x0I，使得结论,M为函数yf(x)的最大值,M为函数yf(x)的最小值01 f(x)M02 f(x0)M03 f(x)M04 f(x0)M1概念辨析(1)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)设任意 x1，x2a，b且 x1x2，那么 f(x)在a，b上是增函数fx1fx2x1x20(x1x2)f(x1)f(x2)0.()(3)函数 yf(x)在0，)上为增函数，则函数 yf(x)的增区间为0，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()2小题热身(1)下
3、列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x|By3xCy1xDy3x2解析 y|x|在(0,1)上是增函数，y3x，y1x，y3x2 在(0,1)上都是减函数答案 A答案 解析 (2)设定义在1,7上的函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的增区间为_解析 由图可知函数的单调递增区间为1,1和5,7答案 1,1，5,7答案 解析 (3)函数 f(x)2x2，x1,2的最大值为_，最小值为_解析 f(x)2x2 在1,0上是增函数，在0,2上是减函数，f(1)1，f(0)2，f(2)2，所以最大值为 2，最小值为2.答案 2 2答案 解析 (4)函数 y2k1x在(0，)上
4、是增函数，则 k 的取值范围是_解析 因为函数 y2k1x在(0，)上是增函数，所以 2k10，解得k12.答案，12答案 解析 经典题型冲关 题型 一 确定函数的单调性(区间)1函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)答案 A答案 解析 f(x)|x2|xx2x，x2，2xx，x0，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8在定义域内的单调递增区间函数tx22x8在(，2)上单调递减，在(4，)上单调递增，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D.解析 3试讨论函数f(x)axx1(a0)在(
5、1,1)上的单调性解 解法一：设1x1x21，f(x)ax11x1 a1 1x1，则f(x1)f(x2)a11x11 a11x21答案 ax2x1x11x21.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增答案 条件探究 将举例说明1中“f(x)|x2|x”改为“f(x)x22|x|”，试写出其单调区间解 f(x)x22|x|x22x，x0，x22x，x0.作出此函数的图象如下
6、：答案 观察图象可知，此函数的单调递减区间是(，1，(0,1；单调递增区间是(1,0，(1，)答案 1确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：任取 x1，x2D，且 x10，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反；(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”如举例说明 2.1若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x)a(x24x3)的增区间是()A(2，)B(，2)C(4，)D(，4)答案 B答案 解析
7、 因为函数f(x)ax1在R上递减，所以a1时，f(x)0.判断f(x)的单调性解 设x1x20，则x1x21，当x1时，f(x)0，f(x1)f(x2)fx1x2 0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上为增函数答案 题型 二 求函数的最值(值域)1(2018上饶模拟)函数f(x)x1x在2，13 上的最大值是()A.32 B83 C2 D2答案 A答案 解析 因为函数f(x)x1x在2，13 上是减函数，所以f(x)maxf(2)21232.解析 2函数yx x1的最小值为_答案 34答案 解析 令 t x1，则 t0 且 xt21，所以 yt21tt12234，t0，所以当
8、 t12时，ymin34.解析 3函数 y2x22x3x2x1 的值域为_答案 2，103答案 解析 y2x22x3x2x1 2x2x11x2x121x2x1，由 xR 得 x2x1x1223434，所以1x2x10，43，所以 y2x22x3x2x1 的值域是2，103.解析 4(2018石家庄模拟)对于任意实数 a，b，定义 mina，ba，ab，b，ab.设函数 f(x)x3，g(x)log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案 1答案 解析 解法一：在同一坐标系中，作函数 f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示易知点 A(2,1)为图象的最高点
9、，因此 h(x)的最大值为 h(2)1.解析 解法二：依题意，h(x)log2x，02.当 02 时，h(x)3x 是减函数，所以 h(x)在 x2 时取得最大值 h(2)1.解析 条件探究 1 将举例说明 1 中“f(x)x1x”改为“f(x)x1x”，其他条件不变，如何解答？解 f(x)x1x在2，1上是减函数，在1，13 上是增函数，且f(2)52，f13 103，所以 f(x)max103.答案 条件探究 2 将举例说明 2 中“yx x1”改为“yx 1x2”，其他条件不变，如何解答？解 由 1x20 可得1x1.可令 xcos，0，则 ycossin 2sin4，0，所以1y 2，
10、故所求函数的最小值是1.答案 条件探究 3 将举例说明 3 中“y2x22x3x2x1”改为“y1x21x2”，其他条件不变，如何解答？解 由 y1x21x2得 x21y1y，由 x20 知1y1y0，解得10，1sinx1等)确定函数的值域(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值如举例说明 4.(4)换元法：形如求 y axb(cxd)(ac0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解如举例说明 2.(5)分离常数法：形如求 ycxdaxb(ac0)的
11、函数的值域或最值常用分离常数法求解如举例说明 3.另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述 1已知函数 f(x)axlogax(a0，且 a1)在1,2上的最大值与最小值之和为 loga26，则 a 的值为_ 答案 2答案 解析 因为 f(x)axlogax(a0 且 a1)在1,2上为单调函数，所以由题意可得 f(1)f(2)aa2loga2loga26，所以 aa26，解得 a2 或 a3(舍去)，所以 a2.解析 2已知定义在 D4,4上的函数 f(x)|x25x4|，4x0，2|x2|，0 x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba
12、Cacb Dbac答案 D答案 解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数，所以 af12 f52，且 252ac.解析 角度 2 解不等式2已知函数 f(x)x21，x0，1，xf(2x)的 x 的取值范围是()A(0，21)B(1，21)C(0，21)D(1，21)答案 D答案 解析 作出函数 f(x)的图象如图所示则 不等 式 f(1 x2)f(2x)等 价于1x20，2x0或1x20，2x0，1x22x，解 得 1x1，对于任意 x1x2 都有fx1fx2x1x20 成立，则实数 a 的取值范围是()A(1,3 B(1,3)C(1,2 D(1,2
13、)答案 C答案 解析 根据题意，由fx1fx2x1x20，易知函数 f(x)为 R 上的单调递减函数，则a31，a352a，解得 1a2.故选 C.解析 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小如举例说明 1.(2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域如举例说明 2.(3)利用单调性求参数依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；需注意：若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值如举例说明 3.1(2019郑州模拟)函数
14、y x5xa2在(1，)上单调递增，则 a 的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3 答案 C答案 解析 y x5xa2xa2a3xa21a3xa2，所以当 a30 时，y x5xa2的单调递增区间是(，a2)，(a2，)；当 a30 时不符合题意又因为 y x5xa2在(1，)上单调递增，所以(1，)(a2，)，所以 a21，即 a3，综上知，a 的取值范围是(，3解析 2(2018河南百校联盟质检)已知 f(x)2x2x，a79 14，b9715，clog279，则 f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为()Af(b)f(a)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b
15、)Df(b)f(c)9715 1，clog2790，所以 cba.因为 f(x)2x2x2x12x 在 R 上单调递增，所以 f(c)f(b)f(a)解析 3已知函数 f(x)的定义域为 R，对任意 x1x2，都有 f(x1)f(x2)log12|3x1|1 的解集为()A(2，)B(，2)C(0,1)(1,2)D(，0)(0,2)答案 D答案 解析 由对任意 x1x2，都有 f(x1)f(x2)x1x2，得 f(x1)x1f(x2)x2.令 g(x)f(x)x，则有对任意 x1x2，都有 g(x1)log12|3x1|1 等价于 g(log12|3x1|g(3)，所以 log12|3x1|3log128，所以 0|3x1|8，解得 x2 且 x0，故所求不等式的解集是(，0)(0,2)解析