1、2020-2021学年安徽省芜湖市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）.1复数z的虚部是（）AiBCiD2抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）AM与N互斥但不对立BM与N对立CP（MN）DP（M+N）3如图是某企业500名员工身高的频率分布直方图，那么该企业身高在150，170区间内的员工人数为（）A20B200C250D3004圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（）ABCD6已知两个单位向量，满足|2|，则，的夹角为（）A45B60C120D1357设，为两个不重合的平面，
2、m，n是两条不重合的直线，给出下列命题：若m，n，m，n，则；若m，mn，则n；若n，mn则m；若m，n，则mn在以上命题中，正确的个数是（）A1B2C3D482021年是中国共产党建党100周年，为了更好地宣传建党100年的历史功绩，某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌大合唱比赛活动，现有高一某班准备从唱支山歌给党听、映山红、歌唱祖国、没有共产党就没有新中国十送红军五首红歌中选取两首作为比赛歌曲，假设选择任一首红歌是等可能的，则明支山歌给党听和映山红中至少有一首被该班级选中的概率是（）ABCD9在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，则异面直线B1P
3、与CQ所成角的大小为（）ABCD10平行四边形ABCD中，2+，则（）ABC+D+11如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，AC2，AA1a（a为定值），四棱锥CA1B1BA体积最大值为，则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积是（）A4B8C16D412在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C2A，abbc，则（）ABCD二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中.请将答案直接填在题后的横线上.13已知向量（1，2），（2，3），且（）（+），则实数的值是 14某校高一年级共有学生400名，为了解该校高一学生的健康情况，现采用按性别分层抽样的方法抽取样
4、本，样本容量为60，若样本中男生比女生少6人，则该校高一女生人数约为 15已知i是虚数单位，若复数z（a23a4）+（a4）i是纯虚数，则实数a的值为 16在ABC中，若AB3，BC5，AC7，则ABC的面积等于 17在三棱锥SABC中，ABC是边长为2的正三角形，SA平面ABC，且SA2，则AB与平面SBC所成角的正弦值为 三、解答题（本大题5个小题，共44分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.）18已知i是虚数单位，复数z和它的共轭复数满足3z+25+i（1）求复数z；（2）若复数z是关于x的方程x2+px+q0的一个根，求实数p，q的值19已知A（2，0），B（0，4），C（
5、cos，sin），O为坐标原点（1）若，求tan的值；（2）若|+|，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标，20在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosAbcosC+ccosB（1）求A的大小；（2）若a2，求ABC面积的最大值21如图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是菱形，BAD120，侧面MCD是等边三角形，E为MB的中点，过C，D，E的平面交MA于点F（1）求证：ABEF；（2）若O为CD中点，求证：AB平面AOM；（3）求二面角MEFC的大小22某家庭计划购买1台热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器的过滤由滤芯来实现，在使用过程中，滤芯需要不定期更换
6、，在购进净水器时，可以额外购买滤芯作为备件，每个40元在净水器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需要100元商家收集整理了100台这款净水器在十年使用期内更换滤芯的个数，得到如图所示的条形图供客户参考记x表示1台净水器在十年使用期内需更换的滤芯数，y表示1台净水器在购买滤芯上所需的费用（单位：元）.（1）求这100台净水器在十年使用期内更换滤芯个数的上四分位数；（2）若购买净水器的同时购买了9个滤芯，求y与x的函数解析式；（3）假设这100台净水器在购买的同时每台都购买9个滤芯或每台都购买10个滤芯，分别计算这100台净水器在购买滤芯上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台净水器的同时
7、应购买9个还是10个滤芯？参考答案一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填涂在答题卷相应的题号后.1复数z的虚部是（）AiBCiD解：复数z的虚部是故选：B2抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）AM与N互斥但不对立BM与N对立CP（MN）DP（M+N）解：对于A，事件M与事件N能同时发生，故A错误，对于B，事件M与事件N能同时发生，故B错误，对于C，抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数n6，MN包含的基本事件个
8、数为m1，P（MN），故C错误，对于D，抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数n6，M+N包含的基本事件个数为m4，P（M+N），故D正确故选：D3如图是某企业500名员工身高的频率分布直方图，那么该企业身高在150，170区间内的员工人数为（）A20B200C250D300解：由某企业500名员工身高的频率分布直方图得：该企业身高在150，170区间内的频率为（0.01+0.03）100.4，该企业身高在150，170区间内的员工人数为5000.4200故选：B4圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（）ABCD解：设圆锥的底面半径为r，侧面侧面展开图扇形的半径为R，扇形
9、的圆心角为，因为圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则，解得R2r，则扇形的弧长l2rR2r，所以，即这个圆锥侧面展开图的圆心角是故选：C6已知两个单位向量，满足|2|，则，的夹角为（）A45B60C120D135解：根据题意，设，的夹角为，两个单位向量，满足|2|，则|2|22+42454cos7，解可得：cos，又由0，则120，故选：C7设，为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列命题：若m，n，m，n，则；若m，mn，则n；若n，mn则m；若m，n，则mn在以上命题中，正确的个数是（）A1B2C3D4解：若m，n，m，n，则或与相交，只有添加条件m与n相交，才有，故错误；若m，
10、mn，则n或n或n与相交，相交也不一定垂直，故错误；若n，mn则m或m，故错误；若m，则m或m，又n，所以mn，故正确正确命题的个数是1个故选：A82021年是中国共产党建党100周年，为了更好地宣传建党100年的历史功绩，某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌大合唱比赛活动，现有高一某班准备从唱支山歌给党听、映山红、歌唱祖国、没有共产党就没有新中国十送红军五首红歌中选取两首作为比赛歌曲，假设选择任一首红歌是等可能的，则明支山歌给党听和映山红中至少有一首被该班级选中的概率是（）ABCD解：记明支山歌给党听和映山红分别为A、B；其余3首歌记为c、d、e，则在这5首歌中任选2首的基本事件为（
11、A，B），（A，c），（Ad），（A，e），（B，c），（B，d），（B，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10个，其中明支山歌给党听和映山红中至少有一首被该班级选中包含了7个基本事件，故所求概率为P故选：D9在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，则异面直线B1P与CQ所成角的大小为（）ABCD解：取AA1中点E，AE中点F，连结BE，PF，FC1，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为4，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，PFBFCQ，FPB1是异面直线B1P与CQ所成角（或所成角的补角），%PF，PB12，FC15，PF2+B1P2FB1
12、2，异面直线B1P与CQ所成角为故选：A10平行四边形ABCD中，2+，则（）ABC+D+解：如图，因为2+，所以，则（）（），故选：B11如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，AC2，AA1a（a为定值），四棱锥CA1B1BA体积最大值为，则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积是（）A4B8C16D4解：设ABx，BCy，由ABC90，AC2，得x2+y24，四棱锥CA1B1BA体积V，当且仅当xy时取等号，此时，得a2则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的半径R，三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积是42216故选：C12在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C2
13、A，abbc，则（）ABCD解：由于abbc，所以2ba+c，利用正弦定理：2sinBsinA+sinC，由于C2A，所以2sin（3A）sinA+sin2A，故sin2A2cos2A+4cos2A，所以1+2cosA2cos2A+4cos2A，整理得：1+2cosA8cos2A1，解得cosA所以，故，故选：B二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中.请将答案直接填在题后的横线上.13已知向量（1，2），（2，3），且（）（+），则实数的值是 解：向量（1，2），（2，3），且（）（+），（）（+）+（1）5+（1）（2+6）130，则实数，故答案为：14某校高一年级共有
14、学生400名，为了解该校高一学生的健康情况，现采用按性别分层抽样的方法抽取样本，样本容量为60，若样本中男生比女生少6人，则该校高一女生人数约为 220解：样本容量为60，且样本中男生比女生少6人，样本中女生所占比例为，故该校高一女生人数约为400220，故答案为：22015已知i是虚数单位，若复数z（a23a4）+（a4）i是纯虚数，则实数a的值为 1解：复数z（a23a4）+（a4）i是纯虚数，a23a40且a40，解得，a1，故答案为：116在ABC中，若AB3，BC5，AC7，则ABC的面积等于 解：ABc3，BCa5，ACb7，由余弦定理得：cosB，可得sinB，ABC的面积Sac
15、sinB故答案为：17在三棱锥SABC中，ABC是边长为2的正三角形，SA平面ABC，且SA2，则AB与平面SBC所成角的正弦值为 解：取BC中点D，连接AD、SD，过A作AOSD，交SD于点O，在三棱锥SABC中，ABC是边长为2的正三角形，SA平面ABC，且SA2，ADBC，SDBC，SAAD，AD，SD，ADSDD，AD、SD平面SAD，BC平面SAD，AO，AO平面SBC，ABO是AB与平面SBC所成角，AB与平面SBC所成角的正弦值为：sinABO故答案为：三、解答题（本大题5个小题，共44分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.）18已知i是虚数单位，复数z和它的共轭复数
16、满足3z+25+i（1）求复数z；（2）若复数z是关于x的方程x2+px+q0的一个根，求实数p，q的值解：（1）设zx+yi，则xyi，其中x，y是实数，3z+23（x+yi）+2（xyi）5x+yi5+i，即x1，y1，z1+i（2）z是关于x的方程x2+px+q0的一个根，也是关于x的方程x2+px+q0的一个根，z+1+i+1ip，p2，q219已知A（2，0），B（0，4），C（cos，sin），O为坐标原点（1）若，求tan的值；（2）若|+|，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标，解：（1）因为，且（cos，sin），（2，4），所以4cos+2sin0，则tan2；（2
17、）+（2+cos，sin），因为|+|，所以（2+cos）+sin3，即5+4cos3，即cos，因为是第二象限角，所以sin，则（cos，sin）（0，4）4sin2，所以（0，4）（0，）20在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosAbcosC+ccosB（1）求A的大小；（2）若a2，求ABC面积的最大值解：（1）因为2acosAbcosC+ccosB，所以由正弦定理可得2sinAcosAsinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinA，因为sinA0，所以cosA，因为A（0，），可得A（2）因为A，a2，由余弦定理可得cosA，所以b2+c2bc+a2b
18、c+42bc，所以bc4，当且仅当bc2时取等号，所以SABCbcsinA21如图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是菱形，BAD120，侧面MCD是等边三角形，E为MB的中点，过C，D，E的平面交MA于点F（1）求证：ABEF；（2）若O为CD中点，求证：AB平面AOM；（3）求二面角MEFC的大小【解答】（1）证明：四棱锥MABCD中，底面ABCD是菱形，所以ABCD，且AB平面CDEF，CD平面CDEF中，所以AB平面CDEF；又AB平面MAB，平面MAB平面CDEFEF，所以ABEF；（2）证明：因为四边形ABCD是棱长为2的菱形，且BAD120，ACD60，O为CD的中点，所以AO
19、CD，又因为MOCD，MOAOO，MO、AO平面AOM，所以CD平面AOM；又因为ABCD，所以AB平面AOM（3）解：由（2）知AMCD，由（1）知ABEF，且E为MB的中点，所以F是MA的中点；又因为DMDA，所以DFMA，且DFCDD，所以MA平面CDEF；又因为MA平面MEF，所以平面MEF平面CDEF，即二面角MEFC的大小为22某家庭计划购买1台热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器的过滤由滤芯来实现，在使用过程中，滤芯需要不定期更换，在购进净水器时，可以额外购买滤芯作为备件，每个40元在净水器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需要100元商家收集整理了100台这款净水器在十年
20、使用期内更换滤芯的个数，得到如图所示的条形图供客户参考记x表示1台净水器在十年使用期内需更换的滤芯数，y表示1台净水器在购买滤芯上所需的费用（单位：元）.（1）求这100台净水器在十年使用期内更换滤芯个数的上四分位数；（2）若购买净水器的同时购买了9个滤芯，求y与x的函数解析式；（3）假设这100台净水器在购买的同时每台都购买9个滤芯或每台都购买10个滤芯，分别计算这100台净水器在购买滤芯上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台净水器的同时应购买9个还是10个滤芯？解：（1）1000.7575，6+16+24+1470，6+16+24+14+2090，将这100个数从小到大排列，第75
21、个数和76个数都是10，这100台净水器在十年使用期内更换滤芯个数的上四分位数是9（2）由题意可得，当x9时，y360，当x9时，y360+100（x9）100x540，y与x的函数解析式为y（3）若每台净水器在购买同时都购买9个滤芯，则这100台净水器中有70台在购买滤芯上的费用为940360，20台的费用为360+100460，10台的费用为360+2100560，这100台机器再购买滤芯上所需费用的平均数为，若每台净水器在购买同时都购买10个滤芯，则这100台净水器中有90台在购买滤芯上的费用为1040400，10台的费用为400+100500，这100台机器再购买滤芯上所需费用的平均数为，比较两个平均数可知，购买1台净水器同时应购买9个滤芯
