1、模块素养检测(一) (120分钟150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A0 B1 C2 D无数个【解析】选A.函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)6x2.因为x0，g(x)6x22x1中(2)2461200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点2an是首项为1，公差为3的等差数列，若an2 020，则序号n等于()A667 B668 C669 D674【解析】选D.由题意可得，ana1(n1)d13(n1)3n2，所以2 0203n2，所以
2、n674.3已知f (x)ax33x22，若f (1)4，则a的值为()A B C D【解析】选B.因为f (x)ax33x22，所以f (x)3ax26x，又f (1)3a64，所以a.4九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为()A钱 B钱C钱 D钱【解析】选B.依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，ad，a2d，则由题
3、意可知，a2dadaada2d，即a6d，又a2dadaada2d5a5，所以a1，则a2da2a.5记递增等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.若S28，S480，则()Aa14 Ba12Cq2 Dq4【解析】选B.依题意，得a1a28，a3a4S4S272，所以q29，解得q3或q3.又因为数列an是递增数列，所以q3，所以a12.6若x1是函数f(x)ax2ln x的一个极值点，则当x时，f(x)的最小值为()A1 BeC1 De21【解析】选A.由题意得f(1)0，因为f(x)2ax，所以f(1)2a10，所以a，所以f(x)x.所以当x时，f(x)0，当x1，e时，f(x)0，所以
4、f(x)minmine21，故选A.7设f(x)x ln x，若f(x0)2，则x0等于()Ae2 Bln 2 C De【解析】选D.因为f(x)x(ln x)(x)ln x1ln x，所以f(x0)1ln x02，所以ln x01，所以x0e.8已知正项等比数列an满足a5a6a71，且f(x)若f(a1)f(a2)f(a10)a1，则a1的值为()A Be C2e D1e【解析】选B.由题知正项等比数列an满足a5a6a71，则a61，所以a2a10a3a9a4a8a5a71，当x1时，f(x)fx ln x0，当x1时，f(1)0，所以f(a1)f(a2)f(a10)f(a1)f(a2)
5、f(a10)f(a3)f(a9)f(a4)f(a8)f(a5)f(a7)f(a6)f(a1)f(a6)a1可化为f(a1)a1.当a11时，f(a1)a1ln a1a1，解得a1e；当a10，ln (1x)0且两个函数都是增函数，所以积的函数是增函数B错误，由x ln (1x)0得x0或ln (1x)0解得x0，所以有且只有一个零点C正确，f(x)ln (1x)，kfln 1ln 2，D错误，函数的定义域不关于原点对称10已知数列an是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，下列选项正确的有()Aa100 BS7S12CS10最小 DS200【解析】选AB.因为an是等差数列
6、，设公差为d，由a15a3S8，可得a19d0，即a100，即选项A正确，又S12S7a8a9a10a11a125a100，即选项B正确，当d0时，则S9或S10最小，当d0时，则S9或S10最大，即选项C错误，又S1919a100，a200，所以S200，即选项D错误11设f(x)，g(x)ax33a(a0)，若对于任意x10，2，总存在x00，2，使得g(x0)f(x1)成立，下列a值符合要求的是()A0 B1 C2 D3【解析】选BC.当x10，2，函数f(x)，则f(x)，令f(x)0，解得x1.当x0，1)时，f(x)0，所以函数f(x)在0，1)上单调递增；当x(1，2时，f(x)
7、0，所以函数g(x)ax33a在其定义域内是增函数，当x0时函数g(x)取得最小值为33a.当x2时函数g(x)取得最大值为3a.故得函数g(x)的值域为N33a，3a.因为MN，所以 .解得1a2.12设函数f(x)ln |ax|(a0)，若f(x)有4个零点，则a的可以取的值有()A1 B2 C3 D4【解析】选BCD.因为函数定义域为x|x0，且f(x)f(x)，所以函数为偶函数，故函数f(x)有4个零点等价于x0时，f(x)有2个零点，当x0时，f(x)ln ax(a0)，则f(x)，当x，f(x)，当x0，f(x)，由f(x)0得x，当x时，f(x)0，当0x时，f(x)0，如图：所
8、以f(x)有极小值f，要使函数有4个零点，只需f0即可，即fln ln ln ae0，解得a1，所以a可取2，3，4.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知函数f(x)ax4bx2c，若f(1)2，则f(1)_.【解析】方法一：由f(x)ax4bx2c，得f(x)4ax32bx.因为f(1)2，所以4a2b2，即2ab1.则f(1)4a2b2(2ab)2.方法二：因为f(x)是偶函数，所以f(x)是奇函数，所以f(1)f(1)2.答案：214已知Sn是等比数列an的前n项和，a52，a816，则S6等于_【解析】因为an为等比数列，所以a8a5q3，所
9、以q38，所以q2.又a5a1q4，所以a1，所以S6.答案：15(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_.【解析】设公差为d，a2a1d3，S55a1d10，即a12d2，解得a14，d1，所以a5a14d0，Snna1d，当n4或5时，Sn最小，为10.答案：01016已知f(x)为定义在(0，)上的可导函数，且f(x)xf(x)恒成立，则x2ff(x)0的解集为_【解析】当x(0，)时，f(x)xf(x)xf(x)f(x)00，则00，求使得Snan的n的取值范围【解析】(1)设an的公差为d.由S9a5得a14d0.由a34得a
10、12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n.(2)由S9a5得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，解得q2.所以，bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以，an的通项公式为an3n2，bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn由a2n6n2，有Tn4210221623(6n2)2n，2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1，上述两式相减，得Tn4262262362n(6n2)2n14(6n2)2n1(3n4)2n216. 得Tn(3n4
11、)2n216.所以，数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n216.22(12分)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1，2上的最大值与最小值【解析】 (1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的解析式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22.令 g(x)0，解得x1，x2，则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在，上是增函数由前面讨论知，g(x)在区间1，2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2).因此g(x)在区间1，2上的最大值为g()，最小值为g(2).
