1、2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程目标定位重点难点1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程2能根据条件确定抛物线的标准方程重点:抛物线的方程难点:抛物线的方程1抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)_的点的轨迹叫作抛物线点F叫作抛物线的_,直线l叫作抛物线的_距离相等焦点准线2抛物线标准方程的几种形式图 形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)Fp2,0 xp2y22px(p0)Fp2,0 xp2图 形标准方程焦点坐标准线方程x22py(p0)F0,p2yp2x22py(p0)F0,p2yp21若A是定直线l外的一定点,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是()A
2、圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线【答案】D2(2019 年辽宁大连期末)若点 P 为抛物线 C:x212y 上的动点,F 为抛物线 C 的焦点,则|PF|的最小值为()A2 B12C14D18【答案】D3焦点在直线3x4y120上的抛物线标准方程为()Ax216y或y212xBx212y或y216xCx212y或y216xDx216y或y212x【答案】C4抛物线y22x的焦点坐标是_,准线方程是_【答案】12,0 x12【例1】动点到点(3,0)的距离比它到直线x2的距离大1,则动点的轨迹是()A椭圆B双曲线 C双曲线的一支D抛物线【解题探究】根据抛物线的定义来解答【答案】D抛物线的定义的考查
3、【解析】已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x3的距离”,由抛物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线故选D.8抛物线定义的考查有两个层次:一是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义,从而得到动点的轨迹是抛物线;二是当已知曲线是抛物线时,抛物线上的点M满足定义,它到准线的距离为d,则|MF|d,涉及距离、最值、弦长等1(2019 年广西河池期末)已知抛物线 C:y2x 的焦点为F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|54x0,则 x0 的值为()A1 B2 C4 D8【答案】A【解析】由题意知抛物线的准线为 x14.因为|AF|54x0,根据抛物线的定义,得 x014|AF|
4、54x0,解得 x01.【例2】已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和实数m的值;(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程【解题探究】点M的横坐标小于0且焦点在x轴上,故可设抛物线方程为y22px(p0),再利用M与焦点距离关系列方程组并求解求抛物线的标准方程、焦点、准线方程【解析】(1)抛物线焦点在 x 轴上且过点 M(3,m),设抛物线方程为 y22px(p0),则焦点坐标 Fp2,0.由题意知m26p,m23p225,解得p4,m2 6 或p4,m2 6.所求抛物线方程为 y28x,m2 6.(2)p4,抛物线的焦点坐标为(2,0),准线方程是
5、 x2.8焦点位置不同,抛物线标准方程的形式不同,对应的开口方向、焦点坐标、准线方程也不同2已知抛物线的方程为y2ax(a0),求它的焦点坐标和准线方程【解析】(1)当 a0 时,2pa,pa2.焦点坐标为a4,0,准线方程为 xa4.(2)当 a2,A 在抛物线内部设抛物线上点 P 到准线 l:x12的距离为 d,由定义知|PA|PF|PA|d.由图,可知当 PAl 时,|PA|d 最小,最小值为72,即|PA|PF|的最小值为72.此时 P 点纵坐标为 2,代入 y22x,得 x2.点 P 坐标为(2,2)8与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关,本题运用抛物线的定义“化折(
6、线)为直”,充分体现了数学中的转化思想3已知点 M(2,4)及焦点为 F 的抛物线 y18x2,在抛物线上求一点 P,使|PM|PF|的值最小【解析】如图所示,设抛物线上的点 P 到准线的距离为|PQ|.由抛物线的定义,知|PF|PQ|,|PF|PM|PQ|PM|.当 P,Q,M 三点共线时,|PM|PF|最小由 M(2,4),可设 P(2,y0),代入 y18x2,得 y012,故 P 点的坐标为2,12.考虑问题不全面致误【示例】抛物线上一点(5,2 5)到焦点 F(x,0)的距离是6,则抛物线的标准方程是()Ay22x,y218xBy24x,y236xCy24xDy218x,y236x【
7、错解】由已知得x522 526,整理得 x210 x90.x1 或 x9,F(1,0)或 F(9,0)若 F(1,0),则 p2,方程为 y24x;若 F(9,0),则 p18,方程为 y236x.故选 B.【错因分析】由已知求出 F(1,0)或 F(9,0),只说明这两点到点(5,2 5)的距离为 6,并不代表点(5,2 5)一定在以 F(1,0)或 F(9,0)为焦点的抛物线上【正解】由已知得x522 526,整理得 x210 x90,即(x1)(x9)0.x1 或 x9.F(1,0),p2,y24x,或 F(9,0),p18,y236x.显然,若抛物线为 y236x,则它的准线方程为 x
8、9.由抛物线的定义,点 A(5,2 5)到直线 x9 的距离应该是 6,而点 A(5,2 5)到直线 x9 的距离为 14,矛盾所求抛物线的标准方程为 y24x.故选 C.【警示】应用分类讨论的思想解题时,应注意验证分类的结果是否都符合题意1标准方程中只有一个参数p,求抛物线的标准方程,只须求出p的值即可,常用待定系数法用待定系数法求抛物线标准方程时,一定先确定焦点位置与开口方向,如果开口方向不确定时,可设所求抛物线方程为y2ax(a0),或者x2ay(a0)2求最值问题:数形结合,利用抛物线的定义转化为几何知识求解1(2019 年广东深圳期末)抛物线14x2y 的焦点坐标是()A0,116
9、B0,14C(0,1)D(0,4)【答案】C【解析】由14x2y,得 x24y,所以焦点坐标为(0,1)2若抛物线y22px(p0)的准线方程为x4,则p的值为()A1 B2 C4 D8【答案】D【解析】抛物线 y22px(p0)的准线方程为 x4,p24,解得 p8.故选 D3一动圆的圆心在抛物线y28x上且恒与直线x20相切,则动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0,2)【答案】B【解析】直线x20为抛物线的准线,动圆过抛物线的焦点(2,0)故选B.4若抛物线y22px的焦点与椭圆x29y251的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为_【答案】x2【解析】c2954,c2.椭圆x29y251 的右焦点为(2,0)p22.抛物线的准线方程为 xp22.点击进入WORD链接