1、考纲解读 了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点.预测2020 年将会考查：与基本不等式结合证明不等式；与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型.基础知识过关 1基本不等式定理 1：如果 a，bR，那么 a2b2，当且仅当时，等号成立01 2ab02 ab定理 2：如果 a，b0，那么ab2，当且仅当时，等号成立，即两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数定理 3：如果 a，b，cR，那么abc3，当且仅当时，等号成立03ab04 ab05 3 abc0
2、6 abc2比较法 3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的而得出命题(2)分 析 法：从出 发，逐 步 寻 求 使 它 成 立的，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立01 推理、论证02 成立03 要证的结论04 充分条件1概念辨析(1)设 xa2b，Sab21 则 Sx.()(2)若x2yxy 1，则 x2yxy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若实数 x，y 适合不等式 xy1，xy2，则 x0，y0.()2小题热身(1)下列四个不等式：logx10lg x
3、2(x1)；|ab|1)，正确ab0 时，|ab|a|b|，不正确；因为 ab0，ba与ab同号，所以baab ba ab 2，正确；由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1 恒成立，正确，综上正确故选 C.解析(2)已知 a，b 是不相等的正数，x a b2，y ab，z(ab)0.25，则x，y，z 的大小关系是()AxyzBxyxzDyzz2，y2x2ab2 ab2 a b220，y2x2z2，又 x0，y0，z0，yxz.解析(3)设 xa2b25，y2aba24a，若 xy，则实数 a，b 应满足的条件为_解析 因为 xy(a2b25)(2aba24a)(a2b22ab1)(a
4、24a4)(ab1)2(a2)20，若 xy，则实数 a，b 应满足的条件为 ab1 或 a2.答案 ab1 或 a2答案 解析 经典题型冲关 题型 一 比较法证明不等式1设函数 f(x)|x2|2x3，记 f(x)1 的解集为 M.(1)求 M；(2)当 xM 时，证明：xf(x)2x2f(x)解(1)由已知，得 f(x)x1，x2，3x5，x2.当 x2 时，由 f(x)x11，解得 x0，此时 x0；当 x2 时，由 f(x)3x51，解得 x43，显然不成立故 f(x)1 的解集为 Mx|x0答案(2)证明：当 xM 时，f(x)x1，于是 xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x
5、1)x2xx12214.令 g(x)x12214，则函数 g(x)在(，0上是增函数，g(x)g(0)0.xf(x)2x2f(x)0，故 xf(x)2x2f(x)答案 2(2018吉林长春模拟)(1)如果关于 x 的不等式|x1|x5|m 的解集不是空集，求实数 m 的取值范围；(2)若 a，b 均为正数，求证：aabbabba.解(1)令 y|x1|x5|2x4，x1，6，1x5，2x4，x5，可知|x1|x5|6，故要使不等式|x1|x5|m 的解集不是空集，有 m6.答案(2)证明：由 a，b 均为正数，则要证 aabbabba，只要证 aabbba1，整理得abab1.当 ab 时，a
6、b0，可得abab1；当 ab 时，ab1.可知 a，b 均为正数时，abab1，当且仅当 ab 时等号成立，从而 aabbabba 成立答案 结论探究 举例说明 2(2)条件不变，求证：aabb(ab)ab2.答案 答案 1作差比较法(1)作差比较法证明不等式的四步骤(2)作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法2作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤(2)作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法 已知函数 f(x)|x1|x1|，P 为不等式 f(x)4 的解集(1)求 P；(2)证明：当 m，n
7、P 时，|mn4|2|mn|.解(1)f(x)|x1|x1|2x，x1，2，1x4，得 x2 或 x4 的解集 Px|x2 或 x2，|n|2，所以 m24，n24，所以(mn4)24(mn)2(m24)(n24)0，所以(mn4)24(mn)2，从而有|mn4|2|mn|.答案 题型 二 综合法证明不等式(2018合肥三模)已知函数 f(x)|x1|x3|.(1)解不等式 f(x)x1；(2)设函数 f(x)的最小值为 c，实数 a，b 满足 a0，b0，abc.求证：a2a1 b2b11.解(1)f(x)x1，即|x1|x3|x1.当 x1 时，不等式可化为 42xx1，x1.又x3 时，
8、不等式可化为 2x4x1，x5.又x3，3x5.综上所得，1x3 或 31，n1，am1，bn1，mn4，a2a1 b2b1m12mn12nmn1m1n4 4mn4mn221，原不等式得证答案 1综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件2综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab
9、；a2b212(ab)2；a2b22ab22.(4)ab2 ab，它的变形形式有a1a2(a0)；abba2(ab0)；abba2(ab0).设函数 f(x)|x1|x2|，若不等式 f(x)9 的解集是x|xp 或 xq(1)求 p，q 的值；(2)若实数 a，b，c 满足 a(bc)q，证明：2a2b2c2p13.解(1)由 f(x)9，得|x1|x2|9，得x1，x1x29，解得 x5 或 x4，所以不等式 f(x)9 的解集是x|x5 或 x4又不等式 f(x)9 的解集是x|xp 或 xq，所以 p5，q4.答案(2)若 a(bc)q，则 a(bc)4，即 abac4.因为 aba2
10、b22，aca2c22，所以 abaca2b22a2c22，即 abac2a2b2c22，即 42a2b2c22，所以 2a2b2c28，当且仅当 abc 2时取等号而 p5，所以 2a2b2c2p13.原命题得证答案 题型 三 分析法证明不等式已知函数 f(x)|x3|.(1)若不等式 f(x1)f(x)a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围；(2)若|a|1，|b|3，且 a0，判断fab|a|与 fba 的大小，并说明理由解(1)因为 f(x1)f(x)|x4|x3|x43x|1，不等式 f(x1)f(x)fba.证明：要证fab|a|fba，只需证|ab3|b3a|，即证(ab3)2
11、(b3a)2，又(ab3)2(b3a)2a2b29a2b29(a21)(b29)因为|a|1，|b|(b3a)2 成立，所以原不等式成立答案 1分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式abab2，a0，b0 没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2用分析法证“若 A 则 B”这个命题的模式为了证明命题 B 为真，只需证明命题 B1 为真，从而有只需证明命题 B2 为真，从而有只需证明命题 A 为真，而已知 A 为真，故 B 必真 某同学在一次研究性学习中发现，以下 5 个不等关系式子：312 2；2 2 5 3；5 3 62；62 7 5；7 52 2 6.(1)上述五个式子有相同的不等关系，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式；(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明解(1)102 2 113(答案不唯一)(2)a2 a a3 a1.证明：要证原不等式，只需证a2 a1 a3 a，因为不等式两边都大于 0，只需证2a32 a2a12a32 aa3，只需证 a23a2 a23a，只需证 a23a2a23a，只需证 20，显然成立，所以原不等式成立答案
