1、课后素养落实(十八)曲线与方程(建议用时：40分钟)一、选择题1F(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线F(x，y)0上的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C由曲线与方程的概念可知，若点P(x0，y0)在曲线F(x，y)0上，则必有F(x0，y0)0；又当F(x0，y0)0时，点P(x0，y0)也一定在方程F(x，y)0对应的曲线上，故选C2方程x2y21(xy0)的曲线形状是()A B C DC方程x2y21(xy0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分3方程x22y22x2y0表示的曲线是()A一个点B一条直线C一个圆D两条线段A方程可化
2、为(x1)220，所以即它表示点故选A4已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为()ABC或D或C由(cos 2)2sin23，得cos 又02，或5已知点A(2，0)，点B在圆x2y21上，点C是AOB的平分线与线段AB的交点，则当点B运动时，点C的轨迹方程为()Ay2By2Cy2Dy2A设B(x0，y0)，C(x，y)由2，得2，所以2，即(x2，y)2(x0x，y0y)，所以因为点B(x0，y0)在圆x2y21上，所以1，化简得y2故选A二、填空题6方程(xy)2(xy1)20表示的图形是_两个点由题意所以或所以方程(xy)2(xy1)20表示的是两个点(1
3、，1)或(1，1)7动点P与平面上两定点A(，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值，则动点P的轨迹方程为_x22y220(x)设P(x，y)，由题意知，x，kAP，kBP，由条件知kAPkBP，所以，整理得x22y220(x)8在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足3，则点P的轨迹方程为_x2y30由题意知(x，y)，(1，2)，则x2y，由3得x2y3，即x2y30三、解答题9曲线x2(y1)24与直线yk(x2)4有两个不同的交点，求k的范围，若有一个交点、无交点呢？解由得(1k2)x22k(32k)x(32k)240，4k2(32k)24(1k2)(32k)2
4、448k20所以0，即k时，直线与曲线有两个不同的交点；0，即k时，直线与曲线有一个交点；0，即k时，直线与曲线没有交点10设点P是圆x2y24上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且，求点M的轨迹方程解设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0，0)由(x0x，y)，(0，y0)，且，得(x0x，y)(0，y0)，所以于是又xy4，所以x2y24，所以，点M的轨迹方程为11如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x4y22围成的平面区域的直径为()A2B3C2D4B易知曲线x4y22围成的平面区域，关于x，y轴对称，设曲线上的一点P(x，y
5、)，可得|OP|所以曲线x4y22围成的平面区域的直径为3事实上，本题中曲线x4y22的示意图如图所示2数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就是其中之一(如图)给出下列结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是()ABCDC由x2y21|x|y，得y2|x|y1x2，即1，10，x2，所以x可取的整数有0，1，1，从而曲线C：x2y21|x|y恰好经过(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，共6个整点，结论正确由x2y
6、21|x|y，得x2y21，解得x2y22，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，结论正确如图所示，易知A(0，1)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，则四边形ABCD的面积S四边形ABCD1111，很明显“心形”区域的面积大于2S四边形ABCD，即“心形”区域的面积大于3，结论错误故选C3已知两定点A(2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|2|PB|，则动点P的轨迹方程为_，P点轨迹所围成的图形的面积为_(x2)2y244设P(x，y)，由|PA|2|PB|知，2，化简整理得(x2)2y24，所以动点P的轨迹为圆心为(2，0)，半径为2的圆，此圆的面积为S2244已知
7、点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22因为点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆因为|OP|OM|，所以O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，所以ONPM因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，所以l的方程为yx又|OM|OP|2，O到直线l的距离为，所以|PM|，POM的面积为在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L距离”定义为|P1P2|x1x2|y1y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是()ABCDA设M(x，y)是轨迹上任意一点，F1(c，0)，F2(c，0)，则|MF1|MF2|2a，其中a为常数，且ac0，由“L距离”定义，得|xc|y|xc|y|2a，即|y|(2a|xc|xc|)，当y0时，y当y0时，y则满足上述关系的图像只有选项A
