1、2015-2016学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1椭圆+=1的长轴长是（）A2B2C4D42设函数f（x）=，则f（）=（）A0BCD3设i为虚数单位，a，bR，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面的法向量为=（2，0，4），则（）AlBlClDl与相交但不垂直5在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP=
2、2PD1，则点P的坐标是（）A（，）B（，）C（，）D（，）6下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B命题“xR，使x2+x+10”的否定为：“xR，使x2+x+10”C命题“若f（x）=x32x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题D命题“若抛物线的方程为y=4x2，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题7直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（）A5B6C7D88函数f（x）=1nxx3+1的零点个数为（）A0B1C2D39如图，直线l和圆C，当l从l0开始
3、在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）ABCD10已知双曲线=1（a0，b0）被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）ABCD11某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期有（）A6日和12日B5日和6日C1月和5月D1月和11日12设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（）A（a1）（b1）0B0a+b2Cab1D0
4、ab1二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13复数在复平面上对应的点在第_象限14已知双曲线C与椭圆3x2+8y2=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=2x，则双曲线C的标准方程为_15若命题“x0（0，+），使lnx0ax00”是假命题，则实数a的取值范围是_16设椭圆x2+=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于，则m的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知函数f（x）=2x36x2+1（1）求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）在1，3上的最小值18如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯
5、形，ABCD，ABAD，PA=CD=AD=2AB=2，PA底面ABCD，E是PC的中点（1）求证：BE面PAD；（2）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值19在抛物线y2=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求AOB的面积的最小值20如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长为2，侧面BCC1B1底面ABC，BBC=60，P为A1C1的中点（1）求证：BCAB1；（2）求二面角C1B1CP的余弦值21已知椭圆C的中心在坐标原点，经过两点P（
6、2，0）和Q（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点的直线l2与椭圆C交于M，N两点，且l1l2，是否存在常数，使得|AB|2=|MN|？若存在，请求出的值； 若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=exx2ex，其中aR，e=2.71828为自然对数的底数（1）讨论函数f（x）在区间（0，+）上的单调性；（2）对于区间（0，1）上任意一个实数a，是否存在x0，使得f（x）x+1？若存在，请求出符合条件的一个x，若不存在，请说明理由2015-2016学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小
7、题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1椭圆+=1的长轴长是（）A2B2C4D4【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆方程得出a，从而得出长轴长2a【解答】解：椭圆方程为： +=1，即，a=2，椭圆的长轴长为2a=4故选D2设函数f（x）=，则f（）=（）A0BCD【考点】导数的运算【分析】求函数的导数，直接进行计算即可【解答】解：函数的导数f（x）=，则f（）=，故选：C3设i为虚数单位，a，bR，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】复数的基本概念【分析】复数a+bi是纯虚
8、数，则，即可判断出结论【解答】解：复数a+bi是纯虚数，则，“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件故选：B4若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面的法向量为=（2，0，4），则（）AlBlClDl与相交但不垂直【考点】平面的法向量【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出【解答】解：=（1，0，2），=（2，0，4），=2，因此l故选：B5在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP=2PD1，则点P的坐标是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】空间中的点的坐标【分析】设P（x，y，z），利用BP=2PD
9、1，可得（x1，y，z）=2（x，1y，1z），求出x，y，z，即可得出点P的坐标【解答】解：由题意，B（1，0，0），D1（0，1，1）设P（x，y，z），BP=2PD1，（x1，y，z）=2（x，1y，1z），x=，y=，z=，P（，），故选：A6下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B命题“xR，使x2+x+10”的否定为：“xR，使x2+x+10”C命题“若f（x）=x32x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题D命题“若抛物线的方程为y=4x2，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题【考点】四种命题的真假关系【分
10、析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x21，则x1”，不正确；对于B，命题“xR，使x2+x+10”的否定为：“xR，使x2+x+10”，不正确；对于C，f（x）=x32x2+4x+2，则f（x）=x24x+4=（x2）2，函数在2的左右附近，导数的符号不改变，命题“若f（x）=x32x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为假命题；对于D，若抛物线的方程为y=4x2，则焦点到其准线的距离为，正确，根据原命题与逆否命题是等价命题，故命题“若抛物线的方程为y=4x2，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题，正确故选：D7
11、直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（）A5B6C7D8【考点】抛物线的简单性质【分析】分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|，由此能求出线段AB的长【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l0，C是AB的中点，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+xB+p=2xC+p=8故选：D8函数f（x）=1nxx3+1的零点个数为（）A0B1C2D3【考点】函数零点的判定
12、定理；函数的图象与图象变化【分析】由题意得，f（x）的零点个数即方程f（x）=0的解的个数，1nx=x31的解的个数，即函数y=1nx与函数y=x31的交点个数，利用函数性质分别画出其图象，即可找到交点个数【解答】解：由题意得：f（x）=0即1nx=x31，分别画出y=1nx，y=x31的图象如下图，所以交点个数为2个，即y=f（x）的零点个数为2个，故选：C9如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加
13、得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【解答】解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求，故选D10已知双曲线=1（a0，b0）被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用点差法，根据双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），确定a，b的关系，从而可求双曲线离心率的值【解答】解：设交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减可得双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），a=2b双
14、曲线离心率的值为=故选D11某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期有（）A6日和12日B5日和6日C1月和5月D1月和11日【考点】进行简单的合情推理【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、11日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根
15、据甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在2、3、10、11日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和12日，故选：A12设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（）A（a1）（b1）0B0a+b2Cab1D0ab1【考点】函数与方程的综合运用【分析】由条件可得alnaa=blnbb，设f（x）=xlnxx，x0，求得导数和单调区间、极值，设0a1，b1，排除A；通过f（x）的零点的范围，举b=2，排除B；由f（a）2ln2+20，可得0a0.5，排除C，可得D正确【解答】解：由alna+b=blnb+a，得a
16、lnaa=blnbb，设f（x）=xlnxx，x0，则f（x）=1+lnx1=lnx，由f（x）0得lnx0，得x1，由f（x）0得lnx0，得0x1，即当x=1时，函数f（x）取得极小值1，alnaa=blnbb，等价为f（a）=f（b），则a，b一个大于1，一个小于1，不妨设0a1，b1则a+bab1等价为（a1）（1b）0，则（a1）（b1）0，故A不正确；由f（2）=2ln220，f（3）=3ln330，可得f（x）=xlnxx的一个零点介于（2，3），可设2b3，则a+b2，故0a+b2不正确，故B不正确；当b=2时，即有f（a）=f（2）=2ln22，设g（a）=alnaa2ln2
17、+2，由g（）=ln2ln2+2=ln20，可得此时0a，即有ab1，故C不正确；由排除法，可得D正确故选：D二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13复数在复平面上对应的点在第二象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】化简复数，使它的分母为实数，只需分子分母同乘分母的共轭复数，整理为a+bi（a、bR），根据（a，b）的位置可得复数在复平面上对应的点所在象限【解答】解：复数z=+，复数对应的点（，）位于第二象限，故答案为：二14已知双曲线C与椭圆3x2+8y2=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=2x，则双曲线C的标准方程为x2=1【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭
18、圆的方程求出焦点坐标，得出双曲线C的焦点在x轴上和c的值，再根据渐近线方程，求出a、b的值，即可得出双曲线C的标准方程【解答】解：椭圆3x2+8y2=24的标准方程是+=1，焦点坐标为（，0）和（，0）；所以双曲线C的焦点在x轴上，且c=，又渐近线方程为y=2x，=2，又c2=a2+b2，解得a=1，b=2；所以双曲线C的标准方程为x2=1故答案为：x2=115若命题“x0（0，+），使lnx0ax00”是假命题，则实数a的取值范围是，+）【考点】函数恒成立问题；特称命题【分析】根据特称命题为假命题，转化为“x（0，+），使lnxax0”恒成立，利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，
19、研究函数的单调性额最值进行求解即可【解答】解：若命题“x0（0，+），使lnx0ax00”是假命题，则命题“x（0，+），使lnxax0”恒成立，即axlnx，即a，设f（x）=，则f（x）=，由f（x）0得1lnx0得lnx1，则0xe，此时函数单调递增，由f（x）0得1lnx0得lnx1，则xe，此时函数单调递减，即当x=e时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，此时f（e）=，故a，故答案为：，+）16设椭圆x2+=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于，则m的取值范围为3m35【考点】椭圆的简单性质【分析】求出与直线y=x+4的距离等于的直线方程，与椭圆方程联立，利用判别式，即可求
20、出m的取值范围【解答】解：设与直线y=x+4的距离等于的直线方程为y=x+c，则=，c=2或6，y=x+2代入x2+=1可得（m+1）x2+4x+4m=0，=164（m+1）（4m）0，可得m3；y=x+6代入x2+=1可得（m+1）x2+12x+36m=0，=1444（m+1）（36m）0，可得0m35；椭圆x2+=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于，3m35故答案为：3m35三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知函数f（x）=2x36x2+1（1）求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）在1，3上的最小值【考点】利用导数
21、求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1）和f（1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可【解答】解：（1）f（x）=2x36x2+1，f（x）=6x212x=6x（x2），f（1）=3，f（1）=6，切线方程是：y+3=6（x1），即6x+y3=0；（2）f（x）=6x212x=6x（x2），令f（x）0，解得：x2或x0，令f（x）0，解得：0x2，f（x）在1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，3递增，f（x）的最小值是f（1）或f（2），而f（1）=7，f（2）=
22、7，故函数在1，3上的最小值是718如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCD，ABAD，PA=CD=AD=2AB=2，PA底面ABCD，E是PC的中点（1）求证：BE面PAD；（2）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（2）由BEAM，可得直线BE与平面PAB所成角的正弦值=直线MA与平面PAB所成角的正弦值=sinPAM【解答】（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MA，E是PC的中点，ME是PCD的中位线MECD，ME=CD又ABCD，2A
23、B=CD，MEAB，且ME=AB四边形MEBA是平行四边形，BEAMBE平面PAD，AM平面PAD，BE平面PAD（2）解：直线BE与平面PAB所成角的正弦值=直线MA与平面PAB所成角的正弦值=sinPAM，PA底面ABCD，PA=DA，M是PD的中点，PAM=45，sinPAM=19在抛物线y2=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求AOB的面积的最小值【考点】轨迹方程【分析】（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，
24、把P的坐标代入y2=16x整理得线段PD的中点M的轨迹（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论【解答】解：（1）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）M为线段PD的中点，y1+0=2y，y1=2y又P（x，y1）在y2=16x上，y12=16x，4y2=16x，即y2=4x（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，可得：y24my4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4，AOB的面积=|OF|y1y2|=2，m=0时取等号，m=0时，AOB的面积最小值为220如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长为
25、2，侧面BCC1B1底面ABC，BBC=60，P为A1C1的中点（1）求证：BCAB1；（2）求二面角C1B1CP的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明BC平面AOB1，即可证明BCAB1；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1B1CP的余弦值【解答】证明：（）过B1作B1OBC于O，侧面BCC1B1平面ABC，B1O平面ABC，B1BC=60BCC1B1是菱形，O为BC的中点AOBC，B1OBC，BC平面AOB1，AB1平面AOB1，BCAB1；解：（2）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
26、则，B（0，1，0），C（0，1，0），P为A1C1的中点，P（，），则平面C1B1C的法向量=（1，0，0）， =（，），设平面B1CP的法向量，则即令z=1，则，x=3，则=（3，1），则cos，=，即二面角C1B1CP的余弦值是21已知椭圆C的中心在坐标原点，经过两点P（2，0）和Q（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点的直线l2与椭圆C交于M，N两点，且l1l2，是否存在常数，使得|AB|2=|MN|？若存在，请求出的值； 若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆的方程为=1（ab0）运用离心率公式和内切圆的
27、性质以及三角形的面积公式，计算即可得到a，b，c，进而得到椭圆方程；（2）设出直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数【解答】解：（1）设椭圆的方程为=1（ab0）由题意可得a=2， =1，可得b=，即有椭圆的方程为=1；（2）设l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），由直线与椭圆方程，联立得（3m2+4）y2+6my9=0，即有y1+y2=，y1y2=，|MN|=，设A（x3，y3），B（x4，y4），由x=my代入椭圆方程可得消去x，并整理得y2=|AB|=
28、|y3y4|=即有|AB|2=4|MN|故存在常数=4，使得|AB|2=4|MN|22已知函数f（x）=exx2ex，其中aR，e=2.71828为自然对数的底数（1）讨论函数f（x）在区间（0，+）上的单调性；（2）对于区间（0，1）上任意一个实数a，是否存在x0，使得f（x）x+1？若存在，请求出符合条件的一个x，若不存在，请说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，令g（x）=ax2+2ax，（x0），通过讨论a的范围，确定g（x）的符号，从而确定函数的单调区间；（2）问题转化为+10，只需要找一个x0使式子成立，只需找到函数t（
29、x）=+1的最小值，满足t（x）min0即可【解答】解：（1）f（x）=exx2ex，f（x）=ex（ax2+2ax），（x0），令g（x）=ax2+2ax，（x0），a=0时，g（x）=，f（x）0，f（x）在（0，+）递增；a0时，g（x）是二次函数，=4a2+2a，由=0，解得：a=，a0时，抛物线开口向上，0，解方程g（x）=0，得：x1=0（舍），x2=0，故g（x）0在（，+）恒成立，即f（x）0在（，+）恒成立，故f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；a时，0，抛物线开口向下，x1=0（舍），x2=0，（舍）故g（x）0在（0，+）恒成立，即f（x）0在（0，+）恒成立，故f（
30、x）在（0，+）递增；a0时，0，故g（x）0在（0，+）恒成立，即f（x）0在（0，+）恒成立，故f（x）在（0，+）递增；综上，a0时，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；a0时，f（x）在（0，+）递增（2）要使f（x）x+1成立，即exx2exx+1，变形为+10，要找一个x0使式成立，只需找到函数t（x）=+1的最小值，满足t（x）min0即可t（x）=x（a），令t（x）=0得ex=，则x=lna，在0xlna时，t（x）0，在xlna时，t（x）0，即t（x）在（0，lna）上是减函数，在（lna，+）上是增函数，当x=lna时，t（x）取得最小值t（x）=（lna）2+a（lna+1）1下面只需证明：（lna）2alna+a10在0a1时成立即可又令p（a）=（lna）2alna+a1，则p（a）=（lna）20，从而p（a）在（0，1）上是增函数，则p（a）p（1）=0，从而（lna）2alna+a10，得证于是t（x）的最小值t（lna）0，因此可找到一个常数x=lna（0a1），使得式成立2016年9月9日
