1、3.4 基本不等式：abab2目标定位重点难点1.了解基本不等式的代数和几何背景2会用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题3会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题4能够运用基本不等式解决简单的实际应用问题.重点：会用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题难点：用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2b2_2ab，当且仅当_时，等号成立(2)基本不等式：如果a0，b0，那么 ab_ab2，当且仅当_时，等号成立 ab ab2应用基本不等式求最值已知x，y都为正数，则(1)若xys(和为定值)，则当_时，积xy取得
2、最大值_(2)若xyp(积为定值)，则当_时，和xy取得最小值_xys24xy2 p1函数f(x)xx1的最大值为()A25 B12 C 22 D1【答案】B【解析】令t x(t0)，则xt2，f(x)xx1tt21.当t0时，f(x)0；当t0时，f(x)1t21t 1t1t.t1t 2，0 1t1t12.f(x)的最大值为12.2若a0，b0且ab2，则()Aab12Bab12Ca2b22Da2b23【答案】C【解析】ab2，(ab)2a2b22ab4.又a0，b0，a2b2a2b2a2b22ab4，即a2b22.故选C3若实数 x，y 满足1x21y21，则 x22y2 有()A最大值
3、32 2B最小值 32 2C最大值 6D最小值 6【答案】B【解析】由题意可得x22y2(x22y2)1x21y2 12x2y22y2x2 32 2，当且仅当x2y22y2x2 时，即x4 2y时，等号成立，故x22y2有最小值为32 2.故选B4若 x，y(0，)，且 x4y1，则1x1y的最小值为_【答案】9【解析】x，y(0，)，且 x4y1，则1x1y(x4y)1x1y 14xy4yx 52xy4yx 9，当且仅当 x2y13时，等号成立，则1x1y的最小值为 9.利用基本不等式求函数的最值【例1】(1)已知xy3且x0，y0，求2x5y的最小值；(2)若2xy3且x，y都是正数，求
4、12x1y的最小值【解析】(1)x0，y0，xy3，2x5y22x5y 230，当2x5y，即x302，y305 时，等号成立，即x 302，y 305 时，(2x5y)min2 30.(2)12x1y2xy2xy 32xy.2xy32 2xy，2xy94.12x1y39443，当且仅当2xy32，即x34，y32时，等号成立当x34，y32时，12x1y min43.【规律总结】本题充分考查了基本不等式这一基础知识的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值已知 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则1x 13y的最小值是_【答案】4【解析】lg 2xlg 8ylg
5、 2xlg 23y(x3y)lg 2，又由lg 2xlg 8ylg 2，则x3y1，由基本不等式的性质可得，1x 13y(x3y)1x 13y 23yx x3y224，当且仅当x3y时取等号，故答案为4.基本不等式的灵活运用【例2】(1)函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，求1m1n的最小值；(2)已知x54，求函数y4x214x5的最大值【解析】(1)ya1x恒过定点A(1,1)，又A在直线mxny10上，mn1.而1m1nmnm mnn1nmmn1224.当且仅当mn12时，取“”1m1n的最小值为4.(2)x54，4x50.54x0.y4x2
6、14x54x514x5354x154x 3.54x154x254x154x2，y231.当且仅当54x154x，即x1时等号成立故当x1时，y取最大值1.【方法规律】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：一是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等二是条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值已知不等式x2x10 的解集为x|axb，点A(a，b)在直线 mxny10 上，其中 mn0，则2m1n的最小值为_【答案】9【解析】不等式 x2x1 0的解集为x|axb，a2，b1.点A(a，b
7、)在直线mxny10上，2mn10，即2mn1.mn0，m0，n0.2m1n2m1n(2mn)52nm 2mn 52 49，当且仅当mn13时取等号，即2m1n的最小值为9.故答案为9.【例3】为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40 000 m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3 m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小利用基本不等式解决实际问题【解题探究】设矩形鱼塘长为a m，宽为b m，面积ab40000 m2，则所选农田的长为(a6)m，宽为(b6)m
8、，农田面积为(a6)(b6)40 0366(ab)(m2)，由此利用基本不等式能求出农田的最小面积【解析】设矩形鱼塘长为a m，宽为b m，面积ab40 000 m2，则所选农田的长为(a6)m，宽为(b6)m，农田面积为(a6)(b6)40 0366(ab)(m2)由基本不等式ab2ab，知当且仅当ab时，ab最小，即农田面积最小，ab40 000，ab200 m.农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小【规律方法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数
9、的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案(2019年江西南昌期末)某商场在中秋节前开始销售月饼，t(0t30)天内月饼销售总量 f(t)与时间 t 的关系大致满足 f(t)t210t16，则该商场前 t 天平均销售量(如前 10天的平均销售量为f1010)的最小值为()A16 B18 C25 D27【答案】B【解析】由题意得平均销售量 yftt t1016t 102t16t 18，当且仅当 t16t，即 t4(0,30时等号成立，所以平均销售量的最小值为 18.故选 B基本不等式的三个条件不能忽视【示例】已知a0，b0，ab2，则y1a4b的
10、最小值是()A72 B4 C92 D5【错因分析】解答本题易两次利用基本不等式，但它们成立的条件不同，一个是ab，另一个是b4a，这显然是不能同时成立的，故不正确【错解】a0，b0，ab2，abab241.又y1a4b24ab41ab，y4114.故选B【正解】ab2，ab2 1.1a4b1a4b ab2522ab b2a 5222ab b2a92.故y1a4b的最小值为92，当且仅当a23，b43时等号成立故选C【警示】1.使用基本不等式求最值，容易对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2 在 运 用 基 本 不 等 式 时，还 要 特 别 注 意“拆
11、”“拼”“凑”等技巧，使其满足“正”“定”“等”的条件【答案】D【解析】ab时，A不成立；a，b0时，B，C都不成立，故选D1设a，bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2 abC1a1b 2ab Dbaab22若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0C2，)D(，2【答案】D【解析】12x2y2 2x2y22xy(当且仅当2x2y时等号成立)，2xy12，2xy14，得xy2.3(2019年江苏苏州模拟)要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的左右两侧各留出宽为2米的小路，在鱼池的前后两侧各留出宽为1米的小路，则鱼池与路的占地总面积的最小值是_平方米【答案】968【解析】设鱼池的两边长分别为 x，800 x，占地总面积是(x4)800 x 2 8082x1 600 x80822x1 600 x968.当且仅当 x1 600 x，即 x40 时，等号成立所以鱼池与路的占地总面积的最小值为 968 平方米4已知2x3y2(x0，y0)，则xy的最小值是_【答案】6【解析】2x3y26xy，26xy2，xy6.点击进入WORD链接
