1、3.4基本不等式：3.4.1基本不等式的证明教学过程推进新课师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）生 应该先从此图案中抽象出几何图形.师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）
2、过程引导师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.师 一定吗？（大家齐声：不一定，有可能相等）师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？ 生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b22ab.师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b22ab证明了吗？生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.师 回答得很好.（有的同学感到迷惑
3、不解）师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b22ab.生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)20，所以可得a2+b22ab.师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生 正确.教师精讲师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.生
4、实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）生 作商，用商和“1”比较大小.师 对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）合作探究师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教
5、师应及时点拨）师 从不等式a2+b22ab的证明过程能否去说明.生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.（大家齐声）一致.（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）板书：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b22ab，当且仅当a=b时，等号成立.过程引导师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思
6、维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b22ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师 当a0,b0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生 完全可以.师 为什么？生 因为不等式中的a、bR.师 很好，我们来看一下代替后的结果.板书：即 (a0,b0).师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢
7、？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）要证：，只要证a+b2，要证，只要证：a+b-20，要证，只要证：显然是成立的，当且仅当a=b时，中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）合作探究老师用投影仪给出下列问题.如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程
8、中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）合作探究师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？生 可证ACD BCD,所以可得.生 由射影定理也可得.师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？生表示半弦长，表示半径长.师 半径和半弦又有什么关系呢？生 由半径大于半弦可得.师 这位同学回答得是否很严密？生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a0,b0).课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b22ab.生 由a
9、2+b22ab,当a0，b0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a0,b0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a0，b0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活
10、运用.布置作业活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,的大小关系，并证明你的结论.分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段、的长度，由可得.板书设计基本不等式的证明一、实际情景引入得到重要不等式课时小结a2b22ab二、定理若a0，b0，课后作业则证明过程探索：3.4.2基本不等式的应用（一）教学过程推进新课问题1.已知x、y都是正数，求证：(1)；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一
11、下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？（思考两分钟）生 不可以证明.师 是否可以用基本不等式证明呢？生 可以.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：x、y都是正数，.，即.师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？（齐声：完成）合作探究师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？（引导同学们积极思考）生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.生 x，y都是正数，x20，y20，x30，y30.xy20，x2y22x2y20, x3+y32x3y30.可得（
12、xy）（x 2y2）（x3y3）2xy22x3y3，即（xy）（x2y 2）（x 3y3）x 3y3. 师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）师 在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.(此时，老师用投影仪给出下列问题)问题3.求证：.（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a2b 22ab，恰当变形，是证明本题的关键. （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）
13、解：a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab（ab）2.2（a 2b2）（ab）2.不等式两边同除以4，得，即.师 下面同学都是用这种思路解答的吗？生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.课堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证：（ab）（bc）（ca）abc.分析：对于此类题目，选择定理：（a0，b0）灵活变形，可求得结果. a、b、c都是正数，ab20,bc20,c+a20.（ab）（bc）（ca）222abc,即（ab）（bc）（ca）abc.合作探究2.已知（ab）（xy）2（aybx），求证：.（老师先分析，再让学
14、生完成）师 本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式ab2ab，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题.(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)生 （ab）（xy）2（aybx）,axaybxby2ay2bx.axaybybx0.（axbx）（ayby）0.（ab）（xy）0,即ab与xy同号.均为正数. (当且仅当时取“”).师生共析 我们在运用重要不等式a 2b22ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负，是我们今后
15、解题中常用的方法.课堂小结师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）师 本节课我们用到重要不等式a 2b 22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（ab）及它们的关系证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：，.师 同学们课后要进
16、一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.布置作业课本第116页，组第1题.板书设计基本不等式的应用（一）复习引入例1方法归纳基本不等式 例2 方法引导 小结实例剖析（知识方法应用）示范解题3.4.3基本不等式的应用（二）教学过程推进新课师 已知，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？生 当且仅当ab时，ab就有最小值为2k.师 若ab为常数s，那么ab的值如何变化？生 当且仅当ab时，ab就有最大值（或ab有最大值）.师 同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.
17、(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题)最值练习：解答下列各题：()求函数y2x2（x0）的最小值.()求函数yx2（x0）的最小值.()求函数y3x22x3（0x）的最大值.()求函数yx（1x2）（0x1）的最大值.()设a0，b0，且a21，求的最大值.合作探究师 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值. （留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况
18、作个别交流）（根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）解：(1)x0,2x20，0.y2x22x 2.当且仅当2x 2，即时等号成立.故当时，y有最小值.(2) ，当且仅当，即x时，等号成立. 故当x时，y有最小值.(3)0x,32x0.yx2（32x）xx（32x）（）31.当且仅当x32x,即x1时，等号成立.(4)0x1,1x20.y 2x 2（1x 2）22x 2（1x2）（1x2） ()3.当且仅当2x21x 2,即时，等号成立.当时，y 2有最大值.由题意可知y0，故当时，y有最大值.(5)a0，b0，且a 21， (a2+
19、+)=,当且仅当,即，时取“”.故当，时，a1+b2有最大值.（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）合作探究师 若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？生 不一定.应当考虑等号成立的条件.师 用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；()函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；()函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正.(
20、此时，老师用投影仪给出本节课的第二组问题)()yx2，y的最小值为2.生 解答是错误的，原因是，当x0时，就不能运用公式.事实上，当x0时，y0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-,-22,+).师 这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚.（此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）生 当x0时，yx-(-x-)-2.师 很好.请坐下.感谢你为大家讲解.()y3x22x2x 2，y的最小值为.生 解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x 2x2，显然这样的x不存在，故y没有最小值.师 很好.(3)yx（1xx 2）2（）2
21、，当且仅当x1xx2，即x1时等号成立.当x1时，y有最大值为1.生 解答是错误的，此种解法的错误在于不是定值.显然当x越大时，也越大，故y无最大值.师 很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚.师 下面我们再用基本不等式来解决实际应用题.(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题)课堂练习（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由，可得x
22、+y2，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为 m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是 m.2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为m时，菜园的面积最大，最大面积是m2.（学生完成情况很好，要注意对答的要求）师 下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问
23、题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.例题精析【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定.设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元.根据题意有z=150+120(2x+23y)=240 000+720(x+y).由容积为4 800 m3，可得xy=1 600z 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为 m的正方形
24、时水池总造价最低，最低总造价是 元.课堂小结师 通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？生 基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.师 那么，大家觉得数学这门学科是否值得去研究学习呢？（学生齐声：太值得了，太有用了）师 数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.布置作业课本第114页，习题3.4,组第2、题.板书设计基本不等式的应用（二）复习引入课堂练习方法归纳基本不等式 例 方法引导 小结实例剖析（知识方法应用）示范解题
