1、四川省双流中学2023届高三第三次质量检测 数学文科满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设全集 U=1,2,3,4,5, 若集合M满足UM=1,2, 则 （ ）A.2MB.3MC.4MD.5M2. 若复数 z满足iz=3-4i(i为虚数单位), 则复数z的虚部为（ ）A.-3iB.3iC.-3D.33. 已知直线 l1:x+y-1=0,l2:x+m2y=0, 则 “m=1” 是 “l1/l2” 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知双曲
2、线 x2-y2b2=1(b0)的焦点到渐近线的距离为 2 , 则双曲线的离心率为（ ）A.233B.52C.2D.55. 已知 ,是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直线, 则下列命题中正确的是 ( )A.若 m,mn, 则n/B.若 m/,=n,mn, 则C.若 ,m,n, 则mnD.若 ,=n,mn, 则m6. 已知角 的顶点在坐标原点, 始边与x轴的非负半轴重合, 终边上有两点A(1,a),B(2,b)且cos2=-35, 则|OB|=( )A.5B.23C.4D.257. 函数 f(x)=2sin(x)ex+e-x在区间-2,2上的图象为 ( )A. B.C. D.8. 设等差数列
3、an的前n项的和为Sn, 若a2+a8+a17=6, 则S17=( )A.17B.34C.51D.1029.已知点 D在直角ABC的斜边BC上, 若AB=2,AC=3, 则ADBC的取值范围为 ( )A.-4,9B.0,9C.0,4D.-2,310. 设 0, 若函数y=cosx+3的图象向左平移3个单位长度后与函数y=sinx的 图象重合, 则的最小值为（ ）A.112B.72C.52D.3211.已知函数 f(x)=x3-3x+1, 则下列关于函数f(x)性质描述错误的是( )A.函数 f(x)有两个极值点B.函数 f(x)有三个零点C.点 (0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线
4、x+y=0与曲线y=f(x)的相切12. 已知 2a=6,3b=12,4c=20, 则（ ）A.abcB.cab C.bacD.cba二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.抛物线 y2=4x的焦点F到其准线l的距离为_14. 某智能机器人的广告费用 x(万元) 与销售额y(万元) 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程 y=5x+a, 据此模型预报广告费用为 8 万元时销售额为 _万元.15.在三棱锥 A-BCD中,BD平面ADC,BD=2,AB=22,AC=BC=25, 则 三棱锥A-BCD的外接球的体积为_16.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ccosB
5、+bcosC=2acosA,则A=_ ,sinBsinC的取值范围为_三.解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分12分）已知数列 an的前n项和为Sn, 若a1=2, 且Sn+1-2Sn=2.(1) 求数列 an的通项公式;(2)若数列 bn满足bn=nan, 求数列bn的前n项和Tn.18. (本题满分12分）自“健康中国 2030 ” 规划纲要颁布实施以来, 越来越多的市民加人到绿色运动 “健步走” 行列以提高自身的健康水平与身体素质. 某调查小组为了解本市不同年龄段的 市民在一周内健步走的情况, 在市民中随机抽取了 200 人进行
6、调查, 部分结果如下表所示, 其中一周内健步走少于 5 万步的人数占样本总数的 310,45岁以上（含 45 岁 ) 的人数占样 本总数的35.（1）请将题中表格补充完整, 并判断是否有 90%的把握认为该市市民一周内健步走 的步数与年龄有关;(2) 现从样本中 45 岁以上(含 45 岁)的人群中按一周内健步走的步数是否少于 5 万 步用分层抽样法抽取 8 人做进一步访谈, 然后从这 8 人中随机抽取 2 人填写调查问卷, 求 抽取的 2 人中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步的概率.附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 其中n=a+b+c+d.19.
7、 (本题满分12分）如图, 正方形 ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直,BEBC,BE/CF, 且AB=BE=2,CF=3.(1) 证明: AE/平面DCF;(2) 求四面体 F-ACE的体积.20. (本题满分12分）已知函数 f(x)=lnx-12x2+ax (aR), 其导函数为f(x).(1) 若函数 f(x)在x=2时取得极大值, 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线 方程;(2) 证明: 当 a0时, 函数g(x)=f(x)+12有零点.21. (本题满分12分）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左, 右顶点分别为A,B, 点P1,32在椭圆C上, 且
8、直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为-14.(1) 求椭圆 C的方程;(2) 若圆 x2+y2=1的切线l与椭圆C交于M、N两点, 求MN| 的最大值及此时 直线l的斜率.选作题：考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. (本题满分10分）在直角坐标系 xOy中, 直线l经过点P(1,0), 倾斜角为6. 以坐标原点O为极点, 以x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为=22cos-4.(1) 求直线 l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2) 设直线 l与曲线C相交于A,B两点, 求|PA|+|PB|的值.23. (本题满分10分） 已知函
9、数 f(x)=|2x-3|+|2x+3|.（1）解不等式 f(x)8;(2) 设函数 f(x)的最小值为M, 若正数a,b,c满足1a+12b+13c=M6, 证明:a+2b+3c9四川省双流中学2023届高三第三次质量检测 数学文科参考答案及解析一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 【答案】B【解析】B. 先写出集合 M, 然后逐项验证即可. 由U=1,2,3,4,5且CUM=1,2得M=3,4,5, 故选 B.2. 【答案】C【解析】C. 利用复数四则运算, 先求出 z, 再依照复数的概念求出复数z的虚部. 选 C.方法一
10、：由题意有 z=3-4ii=(3-4i)(-i)i(-i)=-4-3i, 故复数z的虚部为-3.方法二：由 iz=3-4i=i(-3i-4), 得z=-4-3i, 故复数z的虚部为-3.3. 【答案】A【解析】A. l1/l2m=1, 故 “m=1” 是 “l1/l2” 的充分不必要条件. 选 A.4. 【答案】D【解析】 D. 不妨取双曲线的右焦点 (c,0), 渐近线y=bx, 由点到直线距离公式得b2=4, 然后利用离心率的变通公式c=1+b2=5, 进而求得离心率e的值. 由题意得, 不妨取双曲线的右焦点F1+b2,0, 双曲线的渐近线为y=bx, 即bx-y=0, 则bb2+1-0b
11、2+1=b=2, 即b2=4a2, 所以离 心率e=b2+1=5. 选 D.5. 【答案】C【解析】 C. 充分利用长方体中的棱、面之间的关系直观感知, 同时结合空间中线面间平行及垂直 的判定与性质推理论证, 需注意相应定理的条件的完备性. 对于 A选项,n也可能：对于B选项, 由条件得不到m, 故不能推断出; 对于C选项, 则法线与法向量垂直则两个平面垂直知正确; 对于D选项, 条件中缺少m, 故得不到m.6. 【答案】D【解析】D. 由任意角的三角函数定义, 得 tan=a1=b2, 故B(2,2a),|OB|=21+tan2=2|OA|. 由cos2=-35得:cos2=cos2-sin
12、2=cos2-sin2cos2+sin2=-35, 变形得:1-tan21+tan2=-35, 解得tan2=4, 所 以|OB|=25. 或者, 设|OA|=r, 则r2=1+a2,sin=ar,cos=1r,|OB|=2r; 由cos2=-35得cos2=cos2-sin2=1-a2r2=1-a21+a2=-35, 解得:a2=4, 故OB=2r=25. 选 D.7. 【答案】D【解析】D. 借助判断函数的奇偶性、对称性和有界性, 正弦型函数的符号变化规律, 均值不等式 等知识进行推断. 由 f(x)=2sin(x)ex+e-x,x-2,2知f(x)为奇函数, 且在(0,1)内桓正, 故
13、A、B 选项不 正确: 又2sin(x)2,ex+e-x2且等号不同时成立, 由不等式的性质知|f(x)|0知: 当k=1时取最小值, 故min=72. 选 B. 或者, 由y=cosx+3知x+3=2时y=1, 由y=sinx知当x=2时y=1, 故由题意得53-3=2, 解得=72.11. 【答案】D 【解析】D. f(x)=3x2-3的变号零点为x=-1和x=1, 故 A 正确: 由f(-1)=30-1=f(1)知 B 正确: 由y=x3-3x是奇函数, 其图象向上平移 1 个单位长度得到函数f(x)的图象, 故 C 正确: 由于 函数f(x)在x=1处取极小值-1, 故直线x+y=0与
14、曲线y=f(x)不相切, 故 D 错误, 选 D. 也可借助 函数的图象直观感知作出判断.12. 【答案】A 【解析】A. 由已知得: a=log26=1+log23,b=log312=1+log34,c=log420=1+log45, 故a,b,c的大小顺序与log23,log34,log45的大小一致. 由log23=log49log45知ac, 排除 B、D. 由2332; 由4233得2log343, 即log34b, 排除 C. 故选 A.或者利用函数 f(x)=ln(x+1)lnx(x1)的单调性比较log23,log34,log45的大小. 事实上, 当x1时f(x)=lnxx+
15、1-ln(x+1)xln2xf(3)f(4), 由换底公式得log23log34log45, 故abc. 选 A.二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 【答案】2【解析】由抛物线 y2=2px(p0)的几何性质知, 其焦点到准线的距离为p, 本题中p=2.14. 【答案】57 【解析】计算得 x=14(2+3+5+6)=4,y=14(28+31+41+48)=37, 则样本中心点是(4,37), 代入回归方程得a=y-5x=37-54=17, 所以回归方程是y=5x+17, 将x=8代入得y=57.15. 【答案】86 【解析】由 BD平面ADC，AD,DC平面ADC, 得
16、BDAD,BDCD；由BD=2,AB=22,BC=25及勾股定理得:AD=2,CD=4, 又AC=25, 故AD2+CD2=AC2, 所以ADDC, 即BD,AD,CD两两垂直, 所以三棱锥A-BCD的外接球与以BD,AD,CD分别为长、宽、高的长方体的外接相同 (如 右图,O为球心), 所以球半径R=22+22+422=6, 从而V=43R3=86.16. 【答案】 3,0,34.【解析】以三角形边角关系的射影定理为背景, 综合考查正弦、余弦定理、三角变换的基本公式与方法, 三角函数的图象与性质等知识, 求角 A时, 既可用正弦定理 边化角, 也可用余弦定理角化边, 还可直接用教材中习題的结
17、论一一射影定理简化; 对于sinBsinC的 范围问题, 可利用B+C=23且0B,C2转化只含一个角变的函数的值域.(1) 求角 A的过程与方法.由已知及正弦定理得: 2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA, 又0A2,故 cosA=12, 所以A=3.由已知及射影定理得: 2acosA=ccosB+bcosC=a, 故cosA=12, 又0A2, 所以A=3.由已知及余弦定理得: a2+c2-b22a+a2+b2-c22a=2acosA, 化简得cosA=12, 又0A2, 所以A=3.(2) 求 sinBsinC范围的过程与方法.策略一: 利用
18、正弦型函数的图象与性质.由 A=3得B+C=23, 故C=23-B, 且0B23.sinBsinC=sinBsin23-B=sinB32cosB+12sinB=34sin2B-14cos2B+14=12sin2B-6+14. 因为-62B-676, 故-12sin2B-61, 当且仅当B=3时取等号, 故sinBsinC0,34.令 B=3-x,C=3+x, 由题意得-3x3,-32sinx32.故 sinBsinC=sin3-xsin3+x=32cosx-12sinx32cosx+12sinx=34cos2x-14sin2x=34-sin2x12,34.因为 -3x3, 所以-32sinx3
19、2,0sin2x34, 当且仅当x=0, 即B=C=3时取等号, 故sinBsinC=34-sin2x0,34.由和、差角的余弦公式可得: 2sinBsinC=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)+12,由已知得 0B,C23, 故-23B-C23, 所以cos(B-C)-12,1, 当且仅当B=C=3时取 等号, 故sinBsinC0,34.策略二: 用余弦定理转化.在 ABC中, 由正弦、余弦定理得:sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA=sin2A, 代入A=3得:34=sin2B+sin2C-sinBsinC, 变形得sinBsinC=34-(sinB-si
20、nC)2, 又 sinB-sinC=sinB+C2+B-C2-sinB+C2-B-C2=2cosB+C2sinB-C2=2cos3sinB-C2=sinB-C2,由已知得 0B,C23, 故-3B-C232.706有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年軨有关（2）由题意，抽取的8人中一周内健步走5万步有6人，少于5万步的有2人将一周内健步走5万步的 6 人编号为1,2,3,4,5,6, 另外两人记为A,B, 则所有可能情况如下:12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56, 1A,2A,3A,4A,5A,6A,1B,2B,3B,4B,5B,
21、6B,AB. 总共 28 种. 其中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步所有可结果如下：1A,2A,3A,4A,5A,6A,1B,2B,3B,4B,5B,6B. 共 12 种记 “抽取的 2 人中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步” 这事件 C由等可能事件的概率公式得: P(C)=1228=37.19. 【答案】(1)见解析(2)2 【解析】(1) 证明方法一: 由正方形 ABCD的性质得:AB/CD又 AB/平面DCF,CD平面DCFAB/平面DCFBE/CF,BE/平面DCF,CF平面DCFBE/平面DCFABBE=B,AB,BE平面ABE平面ABE/平面DCFAE平面ABEAE
22、/ 平面DCF.方法二: 在 CF取点G使得CG=2=BE, 连结EG、DG, 如图BE/CF四边形BEGC是平行四边形 故 EG/BC, 且EG=BC又 AD/BC,AD=BCAD/EG,AD=EG四边形ADGE是平行四边形. AE/DG.又 AE/平面DCF,DG平面DCF AE/ 平面DCF.(2) 由体积的性质知: VF-ACE=VA-CEF=13SCEFh平面BCFE平面ABCD, 平面BCFE平面ABCD=BCABBC,AB平面ABCD AB平面BCFE又 AB=2故 点 A到平面CEF的距离为 2, 即三棱雉A-CEF底面CEF上的高h=2由题意, 知BEBC,BE/CF且CF=
23、3,BC=2 SCEF=12CFBC=3 VF-ACE=VA-CEF=13SCEFh=1332=2.20. 【答案】(1)曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=32(x-1), 即3x-2y-1=0(2)见解析 【解析】解:（1） f(x)=1x-x+a=-x2+ax+1x,x0f(x)=1x-x+a在(0,+)是减函数由在 x=2时取得极大值得：f(2)=0, 即12-2+a=0, 解得：a=32f(x)=lnx-12x2+32x, 故f(1)=32,f(1)=1曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=32(x-1), 即3x-2y-1=0(2) 证明方法
24、一:由题意得: g(x)=f(x)=-x2+ax+1x,x0由 g(x)=0得-x2+ax+1=0, 其判别式=a2+40由一元二次方程根与系数的关系知, 关于 x的方程-x2+ax+1=0有唯一正根设 -x2+ax+1=0的唯一正根为m, 则有am=m2-1当 0x0, 故g(x)单调递增; 当xm时,g(x)0, 则h(x)=1x+x0h(x)在(0,+)上是增函数且h(1)=0由 am=m2-1及am=m2-1得:a=m-1m0, 解待m1 h(m)h(1)=0, 故g(x)max=lnm+12m2-120又 ge-a22-32=-a22-12x2+ax-1=-12(x-a)2-10且0
25、e-a22-320由 g(x)=0得-x2+ax+1=0, 其判别式=a2+40由一元二次方程的根与系数的关系知, 方程 -x2+ax+1=0有唯一正根设 -x2+ax+1=0的正根为m, 则有am=m2-1当 0x0, 故g(x)单调递增：当xm时,g(x)0, 故g(x)单调递减 g(x)max=g(m)=lnm-12m2+am+12=lnm+12m2-12ge-a22-32=-a22-12x2+ax-1=-12(x-a)2-10且0e-a22-320在(0,+)上是增函数且h(1)=0知:当且仅当 m1时,lnm+12m2-120由 am=m2-1及a0得:m-1m0, 解得m1h(m)
26、h(1)=0, 即当a0时,g(x)max0成立g(x)有零点方法三:g(x)有零点等价于关于x的方程lnx-12x2+ax+12=0有正根亦等价于关于 x的方程a=12x-1x-lnxx,(x0)有解.设 (x)=12x-1x-lnxx,(x0), 则(x)=121+1x2-1-lnxx2=x2-1+2lnx2x2.记 H(x)=x2-1+2lnx,x0, 则H(x)=2x+2x0, 故H(x)是增函数又 H(1)=0, 故(x)=0有唯一零点x=1当 0x1时,H(x)0, 故(x)1时,H(x)0, 故(x)0,(x)是单调递增.(x)min=(1)=121-11-ln11=0, 即(x
27、)0当a0时, 函数g(x)=f(x)+12有零点.方法四:要证: 当 a0时, 函数g(x)=f(x)+12有零点只需证: 当 a0时, 直线y=ax与函数h(x)=12x2-lnx-12(x0)的图象有公共点.由 h(x)=x-1x=x2-1x知:当 0x1时,h(x)1时,h(x)0, 故h(x)单调递.h(x)min=h(l)=1212-ln1-12=0y=0是曲线y=h(x)在点(1,0)处的切线即 当 a=0时, 直线y=ax与函数h(x)的图象有唯一公共点当 a0时, 直线y=ax与函数h(x)的图象在第一象限相交, 有两个公共点. 综上, 当a0时, 直线y=ax与函数h(x)
28、的图象有公共点.当a0时, 函数g(x)=f(x)+12有零点.21. 【答案】(1)椭圆 C的方程为x24+y2=1 (2)直线 l的斜率为22. 【解析】解: (1) 由点 P1,32在C上得:1a2+34b2=1 (1) 由椭圆的标准方程得 A(-a,0),B(a,0), 故kAP=321+a,kA2E=321-a由kAPkBP=-14得:321+a321-a=-14, 解得:a2=4将a2=4代入得: b2=1椭圆C的方程为x24+y2=1(2) 由题意知直线 l不能平行于x轴 设直线l的方程为x=ty+m,Mx1,y1,Nx2,y2由直线 l与圆x2+y2=1相切得:|m|1+t2=
29、1, 化简得m2=t2+1由x=ty+m,x24+y2=1.消去x整理得:t2+4y2+2tmy+m2-4=0于是,=(2tm)2-4t2+4m2-4=16t2-m2+4=163=48由求根公式得:y2-y1=t2+4=43t2+4 |MN|=1+t2y2-y1=431+t2t2+4.令 1+t2=n, 则n1且|MN|=43nn2+3=43n+3n4323=2当且仅当n=3n, 即n=3时取等号.|MN|max=2, 此时由1+t2=3解得:t=2 直线l的斜率为22.22. 【答案】(1) x2+y2-2x-2y=0 (2)5. 【解析】解: (1) 直线l过点P(1,0), 且倾斜角为6
30、l的参数方程为x=1+tcos6,y=tsin6. (t为参数), 即x=1+32t,y=12t.(t为参数). 由=22cos-4, 得=2cos+2sin2=2cos+2sin将 x=cos,y=sin代入上式得:x2+y2-2x-2y=0C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0(2) 设 A,B两点对应的参数分别为t1,t2将 l的参数方程代入C的直角坐标方程, 得32t2+12t-12=2整理，得 t2-t-1=0此时 =(-1)2-41(-1)=50,t1+t2=1,t1t2=-10 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2.=t1+t22-4t1t2=(-1)2-4
31、1(-1)=5.即 |PA|+|PB|=5.23. 【答案】(1)不等式的解集为 x-2x2(2)见解析 【解析】解:(1)f(x)=-4x,x-32,6,-32x32,4x,x32.f(x)8 的解集为 x-32,x-2. 与 -32x32,68. 与 x32,x2.不等式的解集为x-2x2(2) f(x)=|2x-3|+|2x+3|(2x-3)-(2x+3)|=6当且仅当 (2x-3)(2x+3)0即-32x32时, 取等号. M=6从而1a+12b+13c=1.方法一:a,b,c均为正数 a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=3+a2b+2ba+a3c+3ca+2b3c+3c2b3+2a2b2ba+2a3c3ca+22b3c3c2b=9当且仅当 a=3,b=32,c=1时等号成立 a+2b+3c9. 方法二:a,b,c均为正数 a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13ca1a+2b12b+3c13c2=9当且仅当 a=2b=3c, 即a=3,b=32,c=1时等号成立 a+2b+3c9.
