1、单元素养检测(一) (第一、二章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.下列四个命题正确的个数是()0是空集;若aN,则-aN;集合xR|x2-2x+1=0有两个元素;集合是有限集.A.1B.2C.3D.0【解析】选D.因为0是含有一个元素0的集合,而不是空集,所以不正确.当a=0时,因为0N,所以不正确.因为x2-2x+1=0,x1=x2=1,所以xR|x2-2x+1=0=1,所以不正确.因为当x为正整数的倒数时,N,所以是无限集,所以不正确.2.设集合A=x|x,a=,那么()A.aAB.aAC.aA
2、D.aA【解析】选D.因为A是集合,a是元素,两者的关系应是属于与否的关系.a与A是包含与否的关系,所以A、C显然不对,而,所以a是A的一个元素,a是A的一个子集,故选D.3.命题“xR,|x|+x20”的否定是()A.xR,|x|+x20B.xR,|x|+x20C.xR,|x|+x20D.xR,|x|+x20【解析】选C.“xR,|x|+x20”的否定是“xR,|x|+x21且x21”是“x1+x22且x1x21”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.由x11且x21得x1+x21+1=2,x1x211=1,所以“x11且x21”是“x1
3、+x22且x1x21”的充分条件;设x1=3,x2=,则x1+x2=2且x1x2=1,但x20,B=x|x-10,则AB=()A.(-,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+)【解析】选A.解集合A:x3,集合B:x1.结合数轴可得AB=(-,1).7.若关于x的一元二次不等式x2+mx+10的解集为R,则实数m的取值范围是()A.m-2或m2B.-2m2C.m2D.-2m2【解析】选B.因为不等式x2+mx+10的解集为R,所以=m2-40,解得-2m2.8.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售
4、价a的取值范围应是 ()A.90a100B.90a110C.100a110D.80a0,即x2-10x0,得0x10.所以售价a的取值范围为90ab,则ac2bc2B.若a-b,则-abc,则abD.若ab,则a-cb-c【解析】选BD.当c=0时,A选项错误;若c0时,C错.10.下列说法正确的是()A.很小的实数可以构成集合B.集合x|y=x2-1与集合(x,y)|y=x2-1是同一个集合C.由1,0.5这些数组成的集合有4个元素D.集合(x,y)|xy0,x,yR是指第二或第四象限内的点集【解析】选CD.A很小的实数标准不确定,故不能构成集合;对于B,其中第一个集合是数集,第二个集合是点
5、集,故不是同一集合.对于C,因为=0.5,故这些数组成的集合有4个元素.对于D,因为xyb”是“a2b2”的充分条件B.“|a|b|”是“a2b2”的必要条件C.“ab”是“a+cb+c”的充要条件D.设a,bR,且ab0,若1【解析】选BC.A.由2-3/ 22(-3)2知,该命题为假命题;B.a2b2|a|2|b|2|a|b|,该命题为真命题;C.aba+cb+c,又a+cb+cab;“ab”是“a+cb+c”的充要条件为真命题;D.可举反例:如a,b异号,虽然1,但1时,不等式x+a恒成立,则实数a的最大值为_.【解析】x+a恒成立a.因为x1,所以x-10,所以x+=x-1+12+1=
6、3(当x=2时取等号).所以a3,即a的最大值为3.答案:315.若f(x)=对任意实数x都成立,则实数k的取值范围是_.【解析】当k=0时,80成立.当k0时,只需则0k1.由知0k1.答案:0k116.下列命题:设a,b是非零实数,若aa2b;若ab;函数y=的最小值是2;若x,y是正数,且+=1,则xy的最小值16.其中正确命题的序号是_.【解析】中ab2-a2b=ab(b-a).由于a,b符号不定,故上式符号无法确定,故不对.中在a,故对.中y=+2,但由=得x2+2=1无解,故不对.中,因为+=12,所以xy16,即对.答案:四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文
7、字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A=x|3x6,B=x|2x9.(1)分别求R(AB),(RB)A.(2)已知C=x|axa+1,若CB,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为AB=x|3x6,所以R(AB)=x|x3或x6.因为RB=x|x2或x9,所以(RB)A=x|x2或3x6或x9.(2)因为CB,所以所以2a8.所以实数a的取值范围为:2a8.【补偿训练】已知A=x|x2-2x-8=0,B=x|x2+ax+a2-12=0.若BAA,求实数a的取值范围.【解析】若BA=A,则BA,又因为A=x|x2-2x-8=0=-2,4,所以集合B有以下三种情况:当B=时,=a2
8、-4(a2-12)16,所以a4.当B是单元素集时,=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,则B=2A;若a=4,则B=-2A.当B=-2,4时,-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根,所以所以a=-2.综上可得,BA=A时,a的取值范围为a-4或a=-2或a4.所以满足BAA的实数a的取值范围为a|-4a4,且a-2.18.(12分)已知集合A=x|-1x3,B=x|xm-1或xm+1.(1)当m=0时,求AB.(2)若p:-1x3,q:xm-1或xm+1,且q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=0时,B=x|x-1或x1,又A=x|
9、-1x3,所以AB=x|1x3.(2)因为p:-1x3,q:xm-1或xm+1.q是p的必要不充分条件,所以m-13或m+1-1,所以m-2或m4.19.(12分)设二次方程x2+ax+b=0和x2+cx+15=0的解集分别是A和B,又AB=3,5,AB=3,求a,b,c的值.【解析】因为AB=3,所以3一定为方程x2+cx+15=0的根,于是c=-8,将c=-8代回方程,得方程的两根为3,5,又因为AB=3,5,AB=3,所以方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根为3,所以3+3=-a,33=b.所以a=-6,b=9,c=-8.20.(12分)已知关于x的不等式kx2-2x+6k0(k0)
10、.(1)若不等式的解集为x|x-2,求k的值.(2)若不等式的解集为R,求k的取值范围.【解析】(1)因为不等式kx2-2x+6k0的解集为x|x-2,所以x1=-3与x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k0)的两根,所以-=-3-2,所以k=-.(2)若不等式的解集为R,即kx2-2x+6k0恒成立,则满足所以k-,所以k的取值范围为.21.(12分)已知集合A=,B=x|x+m21.若“xA”是“xB”的充分条件,求实数m的取值范围.【解析】y=x2-x+1=+,因为x,所以y2,所以A=.由x+m21,得x1-m2,所以B=x|x1-m2.因为“xA”是“xB”的充分条件,所以AB,
11、所以1-m2,解得m或m-,故实数m的取值范围是.22.(12分)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2,则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A,B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A,B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A,B的单价分别为mA元和mB元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.(1)求h甲和h乙关于mA,mB的表达式;当mA=mB时,求证:h甲=h乙.(
12、2)设mA=mB,当mA,mB分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为h0,试问能否适当选取mA,mB的值,使得h甲h0和h乙h0同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.【解析】设mA=x,mB=y.(1)甲买进产品A的满意度:h1甲=;甲卖出产品B的满意度:h2甲=;甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度:h甲=;同理,乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度:h乙=.当x=y时,h甲=,h乙=,故h甲=h乙.(2)当x=y时,由(1)知h甲=h乙=,因为=,当且仅当y=10时,等号成立.当y=10时,x=6.因此,当mA=6,mB=10时,甲、乙两人的综合满意度均最大,且最大的综合满意度为.(3)由(2)知h0=.因为h甲h乙=,所以,当h甲,h乙时,有h甲=h乙=.因此,不能取到mA,mB的值,使得h甲h0和h乙h0同时成立,但等号不同时成立.
