1、A组 基础关1如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.55B 53C2 55D35答案 A答案 解析 不妨设CB1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，BC1(0,2，1)，AB1(2,2,1)cosBC1，AB1 BC1 AB1|BC1|AB1|04153 55.直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 55.解析 2(2018沧州模拟)如图所示，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BECFa(0a0)，则C(m，3，0)，AC(m，3，0)解
2、析 设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n1A C0，n1A E0，即mx 3y0，32 y12z0，可取n13m，1，3.易知n2(1,0,0)为平面DAE的一个法向量，由题设知|cosn1，n2|12，即334m212，解得m32.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为12.所以三棱锥EACD的体积V1312 33212 38.解析 3(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线
3、AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)答案 答案 解析 依题意建立如图所示的空间直角坐标系设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆设直线a的方向向量为a(0,1,0)，直线b的方向向量为b(1,0,0)，CB 以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为，0,2)，则B(cos，sin，0)，AB(cos，sin，1)，|AB|2.解析 设直线AB与a所成夹角为，则cosABaa AB 22|sin|0，22，4590，正确，错误解析 设直线AB与b所成夹角为，则cosAB
4、bb AB 22|cos|.当直线AB与a的夹角为60，即60时，则|sin|2cos 2cos60 22，|cos|22.cos 22|cos|12.解析 090，60，即直线AB与b的夹角为60.正确，错误解析 4如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明 如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0
5、,4)(1)AP(0,3,4)，BC(8,0,0)，APBC(0,3,4)(8,0,0)0，APBC，即APBC.答案(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，AM 35AP0，95，125.又AC(4,5,0)，BA(4，5,0)，BM BAAM 4，165，125，答案 则A PBM(0,3,4)4，165，125 0，APBM，即APBM，又根据(1)的结论知APBC，BMBCB，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.答案 C组 素养关1在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，A
6、BD6，AB2AD.(1)求证：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值解(1)证明：在ABD中，由正弦定理知ABsinADBADsinABD，所以sinADBABsinABDAD2ADsin6AD1，所以ADB90，即BDAD.因为DE平面ABCD，BD平面ABCD，所以DEBD.又ADDED，所以BD平面ADE.因为BD平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.答案(2)由(1)可得，在RtABD中，BAD 3，BD3 AD，又由EDBD，设AD1，则BDED 3.因为DE平面ABCD，BDAD，所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x
7、轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示答案 则A(1,0,0)，C(1，3，0)，E(0,0，3)，F(0，3，3)，所以AE(1,0，3)，AC(2，3，0)设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则nAE0，nAC 0，即x 3z0，2x 3y0，令z1，得n(3，2,1)为平面AEC的一个法向量答案 因为AF(1，3，3)，所以cosn，AF nAF|n|AF|4214，所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为 4214.答案 2如图，球O内接四面体ABCD，AB为球O的直径，平面BCD截球得圆O，BD为圆O的直径，C为圆O上一点，AD平面BCD，AD2，BD22，M是AD的中点，P
8、是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.(1)证明：PQ平面BCD；(2)若二面角CBMD的大小为60，求BDC的大小解(1)证明：连接PO，由中位线易知POAD，从而PO平面BCD.如图，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，2，2)，B(0，2，0)，D(0，2，0)答案 设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为AQ 3QC，所以Q34x0，24 34y0，12.因为M为AD的中点，故M(0，2，1)又P为BM的中点，故P0，0，12，所以PQ 34x0，24 34y0，0.又平面BCD的一个法向量为u(0,0,1)，PQ
9、u0，PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.答案(2)设m(x，y，z)为平面BMC的一个法向量由CM(x0，2y0,1)，BM(0,2 2，1)，可知x0 x 2y0yz0，2 2yz0.取y1，得my0 2x0，1，2 2.又平面BDM的一个法向量为n(1,0,0)，于是答案|cosm，n|mn|m|n|y0 2x09y0 2x0212，即y0 2x023.又BCCD，所以CB CD 0，故(x0，2y0,0)(x0，2y0,0)0，即x20y202.答案 联立，结合点C在圆O上且|y0|2，解得x0 62，y0 22.所以BC 62，3 22，0，DC 62，22，0，|BC|6，|DC|2，所以tanBDC|BC|DC|3.又BDC是锐角，所以BDC60.答案
