1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算1掌握复数代数形式的乘、除运算(重点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点)3理解共轭复数的概念(易错点)1复数的乘法(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)_(acbd)(adbc)i(2)复数乘法的运算律对任意z1、z2、z3C，有交换律z1z2_结合律(z1z2)z3_乘法对加法的分配律 z1(z2z3)_z2z1z1(z2z3)z1z2z1z32共轭复数与复数的除法(1)共轭复数如果两个复数满足_时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用 z表
2、示即 zabi，则z_虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫共轭虚数(2)复数的除法法则设 z1abi(a，bR)，z2cdi(cdi0 且 c，dR)，则z1z2abicdi_(cdi0)实部相等，虚部互为相反数acbdc2d2 bcadc2d2 iabi答案：B1(2016山东卷文)若复数 z 21i，其中 i 为虚数单位，则 z()A1i B1iC1i D1i解析：利用复数的除法运算法则及共轭复数的概念求解z 21i21i1i1i21i21i，z 1i.2(2016全国乙卷文)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3B2C2D3解析：先化简复数，再根据实部与虚部相等列
3、方程求解(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.答案：A3i 是虚数单位，则510i34i _(且 abi 的形式表示，其中 a，bR)解析：510i34i 510i34i34i34i 12i答案：12i4若 21iabi(i 为虚数单位，a，bR)，则 ab_解析：21iabi，21i1i1iabi，即 1iabi，a1，b1ab2答案：2在复数运算中，除了灵活运用运算法则及各种运算律之外，常用的还有三大技巧(1)i的周期性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nZ)，它们在遇到i的高次幂运算时非常好用复数运算的技巧(2)1i 的变形：(1i)22
4、i，(1i)(1i)2，它们的应用也非常广泛，且很容易与 i 的周期性连用(3)注意 12 32 i 的一些变形：31,120，2等的应用对共轭复数及性质的理解(1)共轭复数的注意事项实数 a 的共轭复数仍是 a 本身，即 zC，z zzR，这是判断一个数是否是实数的一个准则共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特征：在复平面内对应的点关于实轴对称；代数特征：实部相等，虚部互为相反数(2)共轭复数性质的巧用在解题过程中，若能利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简，可使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果，一般地，共轭复数有如下性质：设 zabi，其共轭复数为 zabi
5、(a，bR)，则|z|z|(因为|z|abi|a2b2，|z|abi|a2b2)；z z|z|2R(因为 z z(abi)(abi)a2b2|z|2)；z z2a 为实数；z z2bi(b0)为纯虚数；z 为实数z z；z 为纯虚数z z0 且 z0对复数除法的理解复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接约分化简计算复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数)，并把结果化简即可也就是说abicdiabicd
6、icdicdiacbdbcadic2d2acbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)【想一想】1复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并2z z与|z|2 和|z|2 有什么关系？提示：z z|z|2|z|2计算：复数代数形式的乘除法运算(1)2 1i151i222；(2)1ii2i100；(3)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)；(4)1i71i 1i71i 34i22i343i思路探究本题主要考查复数的运算法则以及有关性质复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方、开方，
7、再进行乘、除，最后进行加、减自主解答(1)原式2 ii161i22 222(2i)2i112112ii112ii32ii22i(2)原式1i1011i 1i1i1(3)原式2(4i)(3i)(7i)(43i)2(123i4ii2)(284i21i3i2)2(117i)25(1i)4739i(4)原 式 (1 i)23 1i1i (1 i)23 1i1i 834i1i21i34ii(2i)3i(2i)3(i)82i1ii881616i16i(1)复数的乘法可以把 i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2 化为1，进行最后结果的化简复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母
8、与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)(2)对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果比如下列结果，要记住：1ii；1i1ii；1i1ii；abii(bai)1计算下列各题：(1)1i(2 2i)5（11i）4（1i1i）7；(2)（32 12i）12（22i1 3i）8解：(1)1i(2 2i)5（11i）4(1i1i)7i(2)5(1i)22(1i)11i2 2i716 2(1i)14i16 214(16 21)i(2)(32 12i)12(22i1 3i)8(i)12 3
9、2 12i121i12 32 i8(12 32 i)121i2412 32 i12 32 i3312 32 i3 4(88 3i)188 3i78 3i虚数单位i的幂的周期性及其应用(1)计算：2 3i12 3i(21i)2017；(2)若复数 z1i1i，求 1zz2z2 017 的值思路探究将式子进行适当的化简、变形，使之出现in(nZ)的形式，然后再根据in的值的特点计算求解自主解答(1)原式i12 3i12 3i(21i2)1 00821ii(22i)1 008 21i2 ii1 008 21i2 22 2 22i(2)1zz2z2 0171z2 0181z，而 z1i1i1i21i1
10、i2i2i，所 以 1 z z2 z2 017 1i2 0181i 1i21 0091i111 0091i 21i1i1要熟记in的取值的周期性，即i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nZ)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值2如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解2在本例(2)中若 z1i1i，求 1zz2z2 017 的值解：z1i1i1i21i1i2i2 i1zz2z2 0171z2 0181z 1i2 0181i 1i2 0181i 1i21 0091i111 0091i 21i1i共轭复数的应用已知 zC，z为 z 的共轭复数，若
11、z z3i z13i，求 z思路探究设 zabi(a，bR)表示 z利用复数相等的充要条件求出 a，b，即得 z自主解答 设 zabi(a，bR)，则 zabi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即 a2b23b3ai13i，则有a2b23b13a3，解得a1b0或a1b3所以 z1 或 z13i1已知关于 z 和 z的方程，而复数 z 的代数形式未知，求z解此类题的常规思路为：设 zabi(a，bR)，则 zabi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解2共轭复数的常用性质：z z|z|2|z|2；z1z2 z1 z2，z1z2 z1 z2，z
12、1z2 z1 z2，z1z2 z1z2(z20)；若 zR，则 z z，反之亦成立；若 z 为纯虚数，则z z0，反之亦成立3(2016全国丙卷文)若 z43i，则z|z|()A1B1C.4535iD.4535i解析：先求出 z 与|z|，再计算z|z|.z43i，z 43i，|z|42325，z|z|43i54535i.答案：D1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得结果，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件进行转化点击进入WORD链接谢谢观看！
