1、第三章 概 率 33 几何概型 3.3.1 几何概型1了解几何概型与古典概型的区别2理解几何概型的定义及其特点(难点)3会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率(重点)1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_的；(2)任何事件都可以表示成基本事件的_互斥 并 2几何概型的概念如果某概率模型具有以下两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件_；(2)每个基本事件出现的_那么我们将具有这两个特点的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型有无限多个 可能性相等 下列概率模型中，是几何概型的有()从区间10,10内任取出一个数，求取到1的概率；从区间10,10内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的
2、数的概率；从区间10,10内任取出一个数，求取到大于1而小于2的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率A1个 B2个 C3个 D4个答案：C3几何概型的概率公式对于任何事件 A，P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积如图所示，在地面上放置着一个塑料圆盘，吉克将一颗玻璃球丢在该圆盘中，则玻璃球落在 A 区域内的概率是()A12B18C14D1答案：A判 断 下 列 说 法 是 否 正 确，正 确 的 在 后 面 的 括 号 内 打“”，错误的打“”1几何概型具有两个特征无限性和等可能性()提示：2概率为0
3、的事件一定是不可能事件()提示：3在区间(10,20)内的所有实数中，随机取一个实数 a，则这个实数 a13 的概率是 710.()提示：要使实数 a13，则要 a(10,13)，实数 a13 的概率为 P13102010 310(1)函数f(x)x2x2，x5,5，那么任意x05,5，使f(x0)0的概率为()与长度有关的几何概型问题A0.1 B23 C0.3 D0.4(2)(2014高考辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()A2B4C6D8【思路点拨】几何概型的判断 长度计算 求概率解析：(1)由 f(
4、x0)x20 x020，得1x02x01,2的长度为 2(1)3，故所求概率 P 3100.3(2)由几何概型的概率公式可知，质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 P 半圆的面积长方形的面积122 4，故选 B答案：(1)C(2)B几何概型概率的计算步骤解几何概型问题时，常常需要寻找不等关系要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不等关系其解题过程一般分为四步：判断是否为几何概型；确定并计算基本事件空间；计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量；代入公式计算1在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长大于AC的长的概率解：如图所示，设ACBCa，则 AB 2a，在
5、AB 上截取 ACAC，于是 P(AMAC)P(AMAC)BCAB ABACAB2aa2a 2 22即 AM 的长大于 AC 的长的概率为2 22如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AMAC的概率【思路点拨】本题是几何概型，可用角度比来求其概率与角度有关的几何概型问题解：如图，在 AB 上取 ACAC，则ACC18045267.5设 A在ACB 内部作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，AMAC，则所有可能结果的区域角度为 90，事件 A 的区域角度为67.5P(A)67.590 34【互动探究】本例中，条件不变，求 AM 22
6、AC 的概率解：如图，过点 C 作 CCAB 于 C，则 AC 22 AC，ACC45.设 A在ACB 内部作一条射线 CM，与线段AB 交于点 M，AM 22 AC，则所有可能结果的区域角度为 90，事件 A 的区域角度为 45P(A)459012 与角度有关的几何概型的概率求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，那么其概率的计算公式为P(A)构成事件A的区域角度试验的全部结果构成的区域角度(2)解决此类问题的关键是事件 A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的2如图，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率解：
7、B60，C45，BAC75在 RtADB 中，AD 3，B60，BD ADtan 601，BAD30记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使BM1”，则可得BAMBAD 时事件 N 发生由几何概型的概率公式得 P(N)307525(2017高考全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()与面积有关的几何概型问题A14 B8C12 D4答案：B解析：不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形4.由圆中的黑色部分
8、和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑S 白12S 圆2，所以由几何概型知所求概率 P S黑S正方形248.故选 B 面积型几何概型的概率求法(1)与面积有关的几何概型的概率公式：P(A)构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积(2)解与面积有关的几何概型问题应注意：根据题意确认所求问题的基本事件是否与面积有关；找出或构造随机事件对应的几何图形，并能求出有关图形的面积；在研究射击、射箭、射门、投掷等问题时，常转化为几何概型，利用面积计算来求其概率3如图所示，圆盘中阴影部分扇形的圆心角为60.若向圆盘内投镖，如果某人每次都能随机投入圆盘中，那么他投中阴影部分的概率为_解析：设
9、圆盘的半径为 r，投中阴影部分为事件 A阴影部分面积为 S60r2360 16r2P(A)16r2r2 16答案：16在棱长为3的正方体内任取一点，求这个点到各个面的距离均大于1的概率【思路点拨】想象到正方体各面的距离等于1的点构成什么图形与体积有关的几何概型问题解：依题意，在棱长为 3 的正方体内任意取一点，这点到各面的距离都大于 1，则满足题意的区域为位于正方体中心的一个棱长为 1 的小正方体，其体积 V1131由几何概型的定义可知，该事件的概率 P1333 1271.与体积有关的几何概型的概率求法P(A)构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积2解决与体积有关的几何概型的关键点
10、解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆4有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率解：圆柱的体积 V 圆柱1222以 O 为球心、1 为半径，且在圆柱内部的半球的体积 V 半球1243 1323.故点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为23213所以点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 11323学习本节内容，需把握以下几个方面：突破一个难点理解几何概型应关注三点(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，那么它出现的概率为0，但不是不可能事件(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，那么它出现的概率为1，但不是必然事件掌握四个步骤求解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；(4)利用概率公式计算点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(二十)谢谢观看！
