1、全书要点速记 第一章 集合与常用逻辑用语 NO.1知识点一 知识点二 知识点一 集合1常用数集及其记法常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集 记法N N或 N*ZQR 2.集合的区间表示及几何表示设 a，b 是两个实数，而且 ab.我们作出规定：集合区间表示区间名称几何表示 x|axba，b闭区间 x|axb(a，b)开区间 x|axba，b)半开半闭区间 x|axb(a，b半开半闭区间 集合区间表示几何表示 R(，)x|xaa，)x|xa(a，)x|xb(，b x|xb(，b)3.类比实数的大小关系理解集合间的关系实数集合 定义ab 包含两层含义：ab 或abAB 包含两层含义：AB
2、或A B 相等若 ab，且 ba，则 ab若 AB，BA，则 AB 若 ab，bc，则 ac若 AB，BC，则 AC 传递性若 ab，bc，则 ac若 A B，B C，则 A C 4.有限集合的子集个数含有 n 个元素的集合有 2n 个子集，有(2n1)个真子集，有(2n1)个非空子集，有(2n2)个非空真子集5集合中元素的三个特性特性含义示例 确定性集合的元素必须是确定的，因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来集合 A1,2,3，则 1A，4A 互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，因此，集合中的任意两个元素必须都
3、是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素集合x，x2x中的 x 应满足 xx2x，即 x0且 x2 无序性 集合中的元素可以任意排列集合1,0和集合0,1是同一个集合 6.的概念及性质概念 不含任何元素的集合叫做空集 性质1空集是任意一个集合 A 的子集，即A2.空集是任意一个非空集合 A 的真子集，即 A(A)7.集合的基本运算并集的概念ABx|xA 或 xB 并集的性质(1)A(AB)，B(AB)；AAA，AA；ABBA；(AB)CA(BC)；(2)若 AB，则 ABB；反之，若 ABB，则 AB 交集的概念 ABx|xA 且 xB 交集的性质(1)(AB)A，(A
4、B)B；AAA，A；AB BA；(AB)C A(BC)；(AB)C (AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)；(2)若 AB，则 ABA；反之，若 ABA，则 AB 补集的概念UAx|xU 且 xA 补集的性质(1)UU，UU，U(UA)A，A(UA)U，A(UA)；(2)若 AB，则UAUB；反之，若UAUB，则 AB；(3)若 AB，则UAUB；反之，若UAUB，则 AB；(4)U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)知识点二 常用逻辑用语 1全称量词命题与存在量词命题的否定命题类型否定 存在量词命题：xM，p(x)否定为全称量词命题：xM，p(x)全称量词命题：xM，q
5、(x)否定为存在量词命题：xM，q(x)命题 p 命题 p 的否定(p)真假 假真2常见的否定词语正面词语()是都是任意(所有)存在至多有 1 个至少有 1 个或且 否定词语()不是不都是某个不存在至少有 2 个1 个也没有且或3.充分条件与必要条件p 与 q 满足的关系p 是 q 的_条件 pq 且 qp充分不必要 pq 且 qp必要不充分 pq 且 qp(pq)充要 pq 且 qp既不充分也不必要第二章 等式与不等式 NO.2知识点 知识点 等式与不等式 1等式与不等式的性质文字语言符号语言 性质 1等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立如果 ab，那么对任意 c，都有 acbc
6、等式的性质性质 2等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立如果 ab，那么对任意不为零的 c，都有 acbc 别名性质内容注意 性质 1可加性如果 ab，那么 acbc可逆 性质 2可乘性如果 ab，c0，那么 acbcc 的符号 性质 3可乘性如果 ab，c0，那么 acbcc 的符号 性质 4传递性如果 ab，bc，那么 ac同向 不等式的性质性质 5对称性abba可逆 推论 1移项法则如果 abc，那么 acb可逆 推论 2 同向可加性如果 ab，cd，那么 acbd同向 推论 3同向同正可乘性如果 ab0，cd0，那么 acbd同向同正推论 4可乘方性如果 ab0，那么
7、anbn(nN，n1)同正不等式的性质推论 5可开方性如果 ab0，那么 a b同正2.等式与不等式的运用方法依据应用范围 比较大小的方法作差法ab0ab；ab0ab；ab0ab整式、分式的大小比较a0，b0，则ab1ab；ab1ab；ab1ab作商法a0，b0，则ab1ab；ab1ab；ab1ab乘积式、指数式 的 大 小 比较比较大小的方法乘方法a2b2，且 a0，b0ab无理数(式)的大小比较 十字相乘法对于二次三项式 Ex2FxG，如果能找到 a，b，c，d，使得 Eac，Gbd，且 Fadbc，则 Ex2FxG(axb)(cxd)一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程 ax2bx
8、c0(a0)的两根是 x1，x2，那么 x1x2ba，x1x2ca3.常用结论重要不等式a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立基本不等式ab2 ab(a0，b0)，当且仅当 ab 时，等号成立 基本不等式的变形(1)abba2(a，b 同号)，abba2(a，b 异号)；(2)(ab)1a1b 4(ab0)；(3)21a1b abab2 a2b22(a，b0).说明：上述不等式均为当且仅当 ab 时等号成立最值定理设 x，y 都是正数.(1)若 xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 xy取得最大值S24；(2)若 xyP(积为定值)，则当 xy 时，和 xy取得最小值 2 P.说明：应
9、用均值不等式求最值的条件为“一正、二定、三相等”第三章 函数 NO.3知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 函数的图像 函数的图像变换平移变换 函数 yf(xa)(a0)的图像可以由函数 yf(x)的图像沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位长度得到；函数 yf(x)a(a0)的图像可以由函数 yf(x)的图像沿y轴向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位长度得到函数的图像变换对称变换 函数 yf(x)的图像可由函数 yf(x)的图像作关于 y 轴的对称变换得到；函数 yf(x)的图像可由函数 yf(x)的图像作关于 x 轴的对称变换得到；函数 yf(x)的图像可由函数
10、 yf(x)的图像作关于原点的对称变换得到函数的图像变换翻折变换 作函数 yf(|x|)的图像，可先作函数 yf(x)的图像，保留函数 yf(x)的图像在 y 轴上及 y 轴右侧的部分，并将 y 轴左侧的图像换成 y 轴右侧的图像沿 y 轴翻折而成的图像即可；作函数 y|f(x)|的图像，可先作函数 yf(x)的图像，保留函数 yf(x)的图像在 x 轴上及 x 轴上方的部分，并将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方即可知识点二 函数的单调性 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 D，且 ID，如果对任意 x1，x2I，当 x1x2 时，都有 条件f(x1)f(x2)f(x1)f(x
11、2)结论则称 yf(x)在 I 上是增函数(也称在 I 上单调递增)则称 yf(x)在 I 上是减函数(也称在 I 上单调递减)图示自左向右图像逐渐上升自左向右图像逐渐下降判断方法任取 x1，x2D，x1x2，那么当 x1x2 时，f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)0fx1fx2x1x20f(x)在区间 D 上单调递增；当 x1 x2 时，f(x1)f(x2)(x1 x2)f(x1)f(x2)0 fx1fx2x1x20f(x)在区间 D 上单调递减1常见函数的单调性函数单调性 一次函数 yaxb(a0)a0 时，在 R 上单调递增；a0 时，在 R 上单调递减反比例函数 ya
12、x(a0)a0 时，单调递减区间是(，0)和(0，)；a0，单调递增区间是(，0)和(0，)二次函数 ya(xm)2n(a0)a0 时，单调递减区间是(，m，单调递增区间是m，)；a0 时，单调递减区间是m，)，单调递增区间是(，m对勾函数 yxpx(p0)单调递增区间是(，p和 p，)，单调递减区间是 p，0)和(0，p.2.单调函数的运算性质f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)增函数 增函数增函数不能确定单调性 增函数 减函数 不能确定单调性增函数 减函数 减函数减函数不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性减函数3.函数的最值最大值最小值 定义一般地，设函数 f(x)的
13、定义域为D，且 x0D：如果对任意 xD，都有 f(x)f(x0)，则称 f(x)的最大值为 f(x0)，而 x0 称为 f(x)的最大值点一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，且 x0D：如果对任意 xD，都有 f(x)f(x0)，则称 f(x)的最小值为 f(x0)，而 x0 称为 f(x)的最小值点 几何意义函数的最大值对应其图像最高点的纵坐标函数的最小值对应其图像最低点的纵坐标 常用结论(1)如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，那么函数 yf(x)，xa，b在 xa 处取得最小值，在 xb 处取得最大值；(2)如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，那么函数 yf(x)，
14、xa，b在 xa 处取得最大值，在 xb 处取得最小值；(3)如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，那么函数 yf(x)，xa，c在 xb 处取得最大值；(4)如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，那么函数 yf(x)，xa，c在 xb 处取得最小值知识点三 函数的奇偶性 1函数的奇偶性定义的等价式奇函数定义的等价式：f(x)f(x)f(x)f(x)0 或fxfx1(f(x)0)；偶函数定义的等价式：f(x)f(x)f(x)f(x)0 或fxfx 1(f(x)0)常用结论(1)如果一个奇函数在原点处有定义，那么一定有 f(0)0.有时
15、可以用这个结论来判定一个函数不是奇函数；(2)奇函数的图像关于原点对称，且在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数的图像关于 y 轴对称，且在关于原点对称的区间上有相反的单调性上述结论可简记为“奇同偶异”2.奇偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数 f(x)，g(x)的定义域分别是 F，G，若 FG，则有下列结论：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fg(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数 偶函数奇函数 奇函数偶函数 奇函数偶函数不能确定奇偶性 奇函数偶函数 奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数 注意：上述表格中不考虑 f(x)g(x)0；fg(x)
16、中，需 xG，g(x)F.3函数图像的对称性函数 yf(x)在定义域内恒满足的条件函数 yf(x)的图像的对称轴f(ax)f(ax)直线 xa f(x)f(ax)直线 xa2轴对称f(ax)f(bx)直线 xab2 函数 yf(x)在定义域内恒满足的条件函数 yf(x)图像的对称中心f(ax)f(ax)2b点(a，b)f(x)f(ax)b点a2，b2中心对称f(ax)f(bx)c点ab2，c2 知识点四 函数与方程、不等式之间的关系 零点的意义方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图像与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 函数零点存在定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图像是连续不
17、断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数 yf(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0(a，b)，f(x0)0二分法二分法的解题原理是函数零点存在定理.通过二分法使有解区间逐步缩小，体现“无限逼近思想”1二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系000 二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异的实数根x1b b24ac2a，x2b b24ac2a有 两 个 相 等的实数根 x1x2 b2a没有实数根ax2bxc0(a0)x|xx1或 xx2xR|x b2aR一元二次不等式的解集ax2bxc0(a0)x|x1xx22.
18、不等式恒成立问题的解法(1)a0 时，ax2bxc0(0)对任意实数 x 恒成立的条件是a0，0(a0，0)(2)对于参数较易分离且分离后函数的最值易求的问题都可以采用分离参数法，其常用的结论是：g(a)f(x)(g(a)f(x)恒成立等价于g(a)f(x)max(g(a)f(x)min)3方程 f(x)0(f(x)ax2bxc，a0)的根的分布问题 根的分布图像所需条件 x1x2k0，fk0，b2ak kx1x20，fk0，b2ak x1kx2f(k)0 x1，x2(k1，k2)0，fk10，fk20，k1 b2ak2 x1，x2 中有且仅有一个在(k1，k2)内f(k1)f(k2)0 或 f(k1)0，k1 b2ak1k22或 f(k2)0，k1k22 b2ak2点击右图进入 模 块 综 合 测 评 谢谢观看 THANK YOU!
