1、2022年北师大版中考数学一轮复习：二次函数综合 专项练习题1在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax22ax+c与直线y3有且只有一个公共点（1）直接写出抛物线的顶点D的坐标，并求出c与a的关系式；（2）若点P（x，y）为抛物线上一点，当txt+1时，y均满足3yat23，求t的取值范围；（3）过抛物线上动点M（x，y）（其中x3）作x轴的垂线l，设l与直线yax+2a3交于点N，若M、N两点间的距离恒大于等于1，求a的取值范围2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx22x+1+m（1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）如果当2x1时，y0，并且当2x3时，y0，求该抛物线
2、的表达式；（3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：yx+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围3如图，抛物线yx2+mx与直线yx+b相交于点A（2，0）和点B（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mxx+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围4已知：函数y（m为常数）的图象记为G（1）若点（2，5）在图象G上，求m的值（2）若点（m，1）在图象G
3、上，求函数y随x增大而减小时，x的取值范围（3）当m1，2x2时，求函数y的取值范围（4）已知正方形ABCD的中心为原点O，点A的坐标为（1，1）当图象G与正方形ABCD的边有2个交点时，直接写出实数m的取值范围5在平面直角坐标系中，A，B分别是直线yx3，抛物线yx22x3上的动点，其横坐标分别为m，n+2（1）点B的纵坐标用含有n的式子可表示为 （2）连接AB，当ABx轴，A在B的右侧且AB4时，求m的值；（3）当4m7，3n时，作直线AB交y轴于点C，请直接写出C点纵坐标y的取值范围6在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（2，2）（1）求c的值，并用
4、含a的代数式表示b（2）当a时，求此函数的表达式，并写出当4x2时，y的最大值和最小值如图，抛物线yax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DEOC于点E，与AC交于点F，作DMAC于点M是否存在点D使DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由（3）若线段GH的端点G、H的坐标分别为（5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围7已知抛物线yx2+4ax4a2+3a（a），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的最大值；（2）若当0x
5、2时，抛物线函数有最大值3，求此时a的值；（3）若直线CD交x轴于点G，求的值8在平面直角坐标系中，抛物线y1（x+4）（xn）与x轴交于点A和点B（n，0）（n4），顶点坐标记为（h1，k1）抛物线y2（x+2n）2n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）（1）写出A点坐标；（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）（3）当4n4时，探究k1与k2的大小关系；（4）经过点M（2n+9，5n2）和点N（2n，95n2）的直线与抛物线y1（x+4）（xn），y2（x+2n）2n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值9定义：与坐标轴不重合的直线l交x，y轴于A、B两点（A、B不重合）
6、，若抛物线L过点A和点B，则称此抛物线L为直线l的“和谐线”，如图L1，L2均为直线l的“和谐线”（1）已知直线的解析式为yx+4，则下列抛物线是直线l的“和谐线”的有 yx25x+4y2x27x4（2）已知直线ykx+b的“和谐线”为，且直线与双曲线交于点M，N，求线段MN的长（3）已知直线ycx+c（c0）的“和谐线”为yax2+bx+c（a0，且abc），求该“和谐线”在x轴上所截线段长d的取值范围10已知二次函数ya（xx1）（xx2），其中x1x2（1）若a1，x11，x24，求二次函数顶点坐标；（2）若x1+x24，当x0时，y0，当x3时，y0，且mx2n（m，n为相邻整数），求
7、m+n的值；（3）在（1）的条件下，将抛物线向左平移n（n0）个单位，记平移后y随着x的增加而减小的部分为P，若P和直线yxn有交点，求n25n的最小值11二次函数yx22mx的图象交x轴于原点O及点A感知特例（1）当m1时，如图1，抛物线L：yx22x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B，O，C，A，D，如表：B（1，3）O（0，0）C（1，1）A（ ， ）D（3，3）B（5，3）O（4，0）C（3，1）A（2，0）D（1，3）补全表格；在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L形成概念我们发现形如（1）中的图象L上的点和抛物线L上的点关于点A中
8、心对称，则称L是L的“孔像抛物线”例如，当m2时，图2中的抛物线L是抛物线L的“孔像抛物线”探究问题（2）当m1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ；在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数yx22mx的所有“孔像抛物线”L都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“yax2+bx+c”或“yax2+bx”或“yax2+c”或“yax2”，其中abc0）；若二次函数yx22mx及它的“孔像抛物线”与直线ym有且只有三个交点，求m的值12已知二次函数yax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，
9、）（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数yax2+bx+c在1x3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段AB若线段AB与抛物线yax2+bx+c+4a1仅有一个交点，求a的取值范围13定义：对于给定函数yax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a0），则称函数为函数yax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G（1）已知函数yx2+2x1写出这个函数的“相依函数” ；当1x1时，此相依函数的最大值为 ；（2）若直线ym与函数yx2+2x1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；（3）设
10、函数（n0）的相依函数的图象G在4x2上的最高点的纵坐标为y0，当时，求出n的取值范围14已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，且ABC为等腰直角三角形（1）当A（1，0），B（3，0）时，则抛物线的顶点坐标是 ；（2）当b2a，a0时求该二次函数的解析式（用只含a的式子表示）在1x3范围内任取三个自变量x1、x2、x3，所对应的三个函数值分别为y1，y2，y3，若以y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，求a的取值范围15已知抛物线F1：ya（x8）（x+4）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线顶点为C，CDx轴于点D（1）若a，求ABC的
11、周长；（2）若ACD的内心在y轴正半轴上，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若当mxn（其中mn0）时，二次函数ya（x8）（x+4）的函数值的取值范围为myn，求m+n的值16在平面直角坐标系中，抛物线yx22（k1）x+k2k（k为常数）（）当k2时，求该抛物线的解析式及顶点坐标；（）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；（）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1y2，求k的取值范围；（）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1x2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值17已知二次函数y1mx2nxm+n（m0）（1）求证：该函数图象与x轴必有交点；（2）若
12、mn3当mx1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；点A（p，q）为函数y2|mx2nxm+n|图象上的动点，当4p1时，点A在直线yx+4的上方，求m的取值范围18已知二次函数y1ax2+bx+c，y2cx2+bx+a，这里a、b、c为常数，且a0，c0，a+c0（1）若b0，令yy1+y2，证明y关于x的函数的图象与x轴没有交点；（2）若xx0时，y1m，y2n，若mn，求x0的取值范围；（3）把二次函数y1ax2+bx+c的图象关于原点作中心对称变换，所得图象的表达式为y3a（x1）2+4a，若（m1）a+b+c0，求m的最大值19在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bx+3的对
13、称轴为直线x2（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，n），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1x2当x2x13时，结合函数图象，求出n的值；把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0x5时，满足4y4，求n的取值范围20在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+2mxm2+m的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点A在第一象限，且OA，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m1，m2），C（2，2）若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围参考答案
14、1解：（1）由题意得D在直线y3上且D在二次数对称轴x1上，D（1，3），将其代入yax22ax+c得3a2a+c，化简得ca3；（2）当a0时，二次函数图象开口向上，如图，抛物线的开口向上，当t+11，即t0，此时：当xt+1时，满足3y，当xt时，函数值最大，则at22at+a3at23，解得：t，不合题意，舍去，当0t时，则1t+1，如图，此时：当xt+1时，满足3y，当xt时，函数值最大，则at22at+a3at23，解得：t，不合题意舍去，当t时，则t+1，如图，此时：当xt时，满足3y，当xt+1时，函数值最大， 则yt+1a（t+1）22a（t+1）+a3at23，a（t+1）2
15、2a（t+1）+a3at23恒成立，t，当a0时，若t0，则x1，满足等号成立，所以t0满足条件；综上t或t0；（3）|MN|1即|ax22ax+a3（ax+2a3）|1，即|ax2axa|1，ax2axa1（x3恒成立需求a0，其对称轴为直线x），只需要求x3时ax2axa1即9a3aa1，解得a；ax2axa1（x3恒成立要求a0），只需要求x3时ax2a1，即9a3aa1，解得a2解：（1）由题意得：a1，b2，c1+m，1，m，顶点坐标为：（1，m）（2）当2x1时，y0，并且当2x3时，y0，如图，当x1时，y0，即：1+2+1+m0，解得：m4，抛物线的解析式为：yx22x3（3）
16、当y0时，x22x30，解得：x11，x23，点A（1，0），B（3，0），yx22x3沿x轴向上翻折后的图象解析式为：yx2+2x+3当直线l经过点A（1，0）时，直线与M的只有一个交点，如图中直线l，把点A（1，0）代入yx+k，得：1+k0，解得：k1，当直线l经过点B（3，0）时，直线与M的有三个交点，如图中直线m，把点B（3，0）代入yx+k，得：3+k0，解得：k3，当直线l与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，由，得：x23x+k30，94（k3）0，解得：k，k的取值范围：1k3或k3解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：04+2m，解得：m2，将点A的坐标代入直线表
17、达式得：02+b，解得b2；故m2，b2；（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：yx+2，yx22x，联立上述两个函数表达式并解得或（不符题意，舍去），即点B的坐标为（1，3），从图象看，不等式 x2+mxx+b 的解集为x1或x2；（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，M，N的距离为3，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即1xM2；当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，当 xM3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，1），即xM3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上，1xM2 或 xM34解：（1）点（2，5）在图象G
18、上，（2）2+2m（2）+2m25，解得：m，m的值为（2）当m1时，则m2mmm+11，整理，得：m2+2m0，解得：m10（舍），m22（舍），当m1时，则m2+2mm+2m21，整理，得：m2+2m30，解得：m13，m21（舍），m3，函数y，当x1时，yx2+3x+4（x+3）2，抛物线开口向上，在对称轴x3右侧y随x增大而增大，当x1时，函数y随x增大而增大；当x1时，yx26x8（x+3）2+1，抛物线开口向下，在对称轴x3右侧y随x增大而减小，当3x1时，函数y随x增大而减小；综上，函数y随x增大而减小时，x的取值范围为3x1（3）当m1时，y，当1x2时，yx2x（x1）2，
19、抛物线开口向上，当x1时，函数y取得最小值，当1x2时，y随x增大而增大，x2时，函数y取得最大值0，当1x2时，y0，当2x1时，yx2+2x（x1）2+1，抛物线开口向下，在对称轴左侧，即2x1时，y随x增大而增大，当x2时，y（21）2+18，当x1时，y（11）2+11，当2x1时，8y1，综上所述，函数y的取值范围为8y1（4）如图1，当yx2+2mx+2m2（x1）的顶点落在BC边上时，顶点的纵坐标为1，yx2+2mx+2m2（xm）2+m2+2m2，m2+2m21，解得：m11（舍），m21+，如图2，当yx2+2mx+2m2刚好经过A（1，1）时，则：1+4m21，m1，如图3
20、，当yx2+2mx+2m2刚好经过B（1，1）时，则：1+2m+2m21，m，m1，如图4，当yx2mxm+1经过点B（1，1）时，则mm+11，解得：m，此时，图象G与正方形ABCD的边有3个交点，m时，图象G与正方形ABCD的边有2个交点；综上所述，m1或m1+或m5解：（1）B点在抛物线yx22x3上，且B点横坐标为（n+2），yB（n+2）22（n+2）3n2+2n3，故答案为：n2+2n3；（2）ABx轴，yAyB，即m3n2+2n3，A在B的右侧且AB4，m（n+2）4，联立得或，m的值为3或8；（3）4m7，3n，1n+2，如右图，A点的移动范围在MN之间，B点的移动范围在PQ之
21、间，当A与N点重合，B与P点重合时，即直线AB与l重合时，此时存在C点的上边界，当A与M点重合，B位于AB与抛物线的切点时，即直线AB与l重合时，此时存在C点的下边界，当直线AB与l重合时，此时，A（7，4），B（1，0），设直线l解析式为ykx+b，解得，直线l的解析式为yx+，C点纵坐标y的最大值为，当直线AB与l重合时，A（4，1），设直线l的解析式为yax+14a，B点为切点，将yax+14a代入抛物线yx22x3，得x22xax+4a40，因为切点只有一个，所以此方程0，即（2a）24（4a4）0，解得a2或10，当a10时，x6，不符合题意舍去，当a2时，x2，即B（2，3），l的
22、解析式为y2x7，C点纵坐标y的最小值为7，综上，C点纵坐标的取值范围为：7y6解：（1）把（0，6）代入yax2+bx+c，得c6把（2，2）代入yax2+bx+6，得4a2b+62，b2a+4（2）当时，此函数表达式为，图象开口向上由顶点坐标公式可知顶点坐标为，4x2，当时，y的最小值为观察图象结合增减性，当x2时，y有最大值，把x2代入，y的最大值为20，令y0，则x6或，点C在左侧，C（6，0）设直线AC的解析式为ykx+m，把A（0，6），C（6，0）代入，得k1，m6，yx+6设则F（x，x+6），OAOC6，AOC90，COA90，DFAO，DFMCAO45，设FDM的周长为l，
23、则当FD最大时，周长最大，又，又且6x0，x3时，FD有最大值，即此刻FDM周长最大把x3代入，得，（3）当a0时，若抛物线与线段GH只有一个公共点（如图），yax2+bx+cax2+（2a+4）x+6，当x1时，y3a+10，则抛物线上的点（1，3a+10）在H点的上方，25a10a20+610解得0当a0时，抛物线与线段只有一个公共点，又图象经过点A（0，6），和B（2，2）则抛物线的顶点必在线段GH上，（如图）即4a6（2a+4）240a，解得或，a0，对称轴在y轴左侧，2a+40，a2，故只能是综上，a的取值范围是或，7解：（1）抛物线开口向下，在顶点时有最大值，由顶点坐标公式得y最大
24、3a，即抛物线最大值为3a；（2）yx2+4ax4a2+3a（x2a）2+3a，抛物线的对称轴是：x2a，a，2a，分两种情况：当2a2时，即a1，当0x2时，抛物线函数有最大值是3a，即3a3，a1；当2a2时，即a1，y随x的增大而增大，当0x2时，x2时有最大值3，y（22a）2+3a3，解得：a1，a21（舍），综上，a的值是1或；（3）如图，y（x2a）2+3a，D（2a，3a），C（0，4a2+3a），当y0时，（x2a）2+3a0，解得：x12aa，x22a+a，A（2aa，0），B（2a+a，0），设DC的解析式为：ykx+b，则，解得：，设DC的解析式为：y2ax4a2+3a
25、，当y0时，2ax4a2+3a0，x2a，OG2a，8解：（1）y1（x+4）（xn），令y10，（x+4）（xn）0，x14，x2n，A（4，0）；（2）y1（x+4）（xn）x2+（n4）x+4n，k1n2+2n+4，y2（x+2n）2n2+2n+9，k2n2+2n+9，（3）k1k2n25，当n250时，可得n2或n2，即当4n2或2n4时，k1k2；当n250时，可得2n2，即当2n2时，k1k2；当n250，可得n2或n2，即当n2或n2时，k1k2；（4）设直线MN的解析式为：ykx+b，则，由得，k1，b5n2+2n+9，直线MN的解析式为：yx5n2+2n+9如图：当直线MN经
26、过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1x2+（n4）x+4n与y2x24nx5n2+2n+9的解析式可得：（5n4）x5n22n+9，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线y2x24nx5n2+2n+9的解析式可得：x2+（4n1）x0，则x10，x214n，当x10时，把x10代入y1得：y4n，把x10，y4n代入直线的解析式得：4n5n2+2n+9，5n2+2n90，n，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，当x214n时，把x214n代入得：（5n4）（14n）5n22n+9，该方程判别式0，所以该方程没有实数根；如图：当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个
27、公共点时，当直线MN与抛物线y1x2+（n4）x+4n只有一个公共点时，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线yx2+（n4）x+4n可得，x2+（n3）x+5n2+2n90，此时0，即（n3）2+4（5n2+2n9）0，21n2+2n270，n，由而知直线MN与抛物线y2x24nx5n2+2n+9公共点的横坐标为x10，x214n，当n时，14n0，x1x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，如图：当直线MN与抛物线y2x24nx5n2+2n+9只有一个公共点，x10，x214n，n，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线y1x2+（n4）x+4n，x2+（n3）x+5
28、n2+2n90，（n3）2+4（5n2+2n9）21n2+2n27，当n时，0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，n，综上所述：n1，n2，n3，n49解：（1）直线yx+4与x轴交点坐标（4，0），与y轴交点坐标（0，4），把两点坐标代入函数关系式，得到函数都经过这两点，抛物线是直线l的“和谐线”，故答案为；（2）令x0，得y1；令y0，得0，解得，x2，抛物线与x，y轴的交点分别为（2，0）及（0，1），把两点坐标代入ykx+b，得，直线为：，联立直线与双曲线的解析式，解方程组得 或，两交点坐标为（2，2）及（4，1），MN；（3）令y0，得ax2+bx+c0，设方程两根为x
29、1，x2，d|x1x2|，x1+x2，x1x2，直线ycx+c（c0）过点（1，0），代入yax2+bx+c中，得a+b+c0，cab，代入d中得|2+|，a+b+c0，abc，abab，a0，则，2+3，10解：（1）由题意得，抛物线的表达式为y（x1）（x4）x25x+4（x）2，故抛物线的顶点坐标为（，）；（2）由题意得，抛物线的对称轴为直线x（x1+x2）2，则x3在对称轴的右侧，而x3时，y0，且mx2n（m，n为相邻整数），故x2在3和4之间，即m、n分别为3、4，故m+n3+47；（3）将抛物线向左平移n（n0）个单位，此时函数的对称轴为直线xn，当P和直线yxn有交点时，则当x
30、n时，直线在P的上方，当xn时，P的y值为，当xn时，yxn2n，即2n，解得n，故0n，设yn25n，10，故y有最小值，而0n，当n时，n25n的最小值为11解：（1）B（1，3）、B（5，3）关于点A中心对称，点A为BB的中点，设点A（m，n），m2，n0，故答案为：（2，0）；所画图象如图1所示，（2）当m1时，抛物线L：yx2+2x（x+1）21，对称轴为直线x1，开口向上，当x1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L：yx26x8（x+3）2+1，对称轴为直线x3，开口向下，当x3时，L的函数值随着x的增大而减小，当3x1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x的增大
31、而减小，故答案为：3x1；抛物线yx22mx的“孔像抛物线”是yx2+6mx8m2，设符合条件的抛物线M解析式为yax2+bx+c，令ax2+bx+cx2+6mx8m2，整理得（a+1）x2+（b6m）x+（c+8m2）0，抛物线M与抛物线L有唯一交点，分下面两种情形：i）当a1时，无论b为何值，都会存在对应的m使得b6m0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；ii）当a1时，（b6m）24（a+1）（c+8m2）0，即b212bm+36m24（a+1）8m24c（a+1）0，整理得3632（a+1）m212bm+b24c（a+1）0，当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，当m取任意实数
32、，上述等式都成立，即：上述等式成立与m取值无关，解得a，b0，c0，则yx2，故答案为：yax2；抛物线L：yx22mx（xm）2m2，顶点坐标为M（m，m2），其“孔像抛物线”L为：y（x3m）2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），抛物线L与其“孔像抛物线”L有一个公共点A（2m，0），二次函数yx22mx及它的“孔像抛物线”与直线ym有且只有三个交点时，有三种情况：i）直线ym经过M（m，m2），mm2，解得：m1或m0（舍去），ii）直线ym经过N（3m，m2），mm2，解得：m1或m0（舍去），iii）直线ym经过A（2m，0），m0，但当m0时，yx2与yx2只有一个交点，不符合题意
33、，舍去，综上所述，m112解：（1）二次函数yax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，），b2a1（a0）（2）二次函数yax2（2a+1）x+，a0，在1x3时，y的最大值为1，x1时，y1或x3时，y1，1a（2a+1）+或19a3（2a+1）+，解得a（舍弃）或aa（3）线段AB向右平移2个单位得到线段AB，A（2，），B（4，），直线AB的解析式为yx+，抛物线yax2（2a+1）x+4a在2x4的范围内仅有一个交点，即方程ax2（2a+1）x+4ax+在2x4的范围内仅有一个根，整理得ax22ax+4a30在2x4的范围内只有一个解，即抛物线yax22ax+4a3在
34、2x4的范围内与x只有一个交点，观察图象可知，x2时，y0，x4时，y0，解得，a，a13解：（1）函数yax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a0），则称函数为函数yax2+bx+c的“相依函数”，yx2+2x1的“相依函数”是；故答案为：；当1x0时，yx22x+1（x+1）2+2，故当x1时，y有最大值为2，当0x1时，yx2+2x1（x1）2，故x1时，y有最大值为0，综上所述，当1x1时，函数yx2+2x1的“相依函数”最大值是2，故答案为：2；（2）函数yx2+2x1的“相依函数”的图象如图：由yx22x+1可得顶点B（1，2），与y轴交点C（0，1）（函数yx2+2x1的“相
35、依函数”图象不包含C），由yx2+2x1可得顶点D（1，0），与y轴交点A（0，1），当直线ym与图象G恰好有两个公共点，由图象知：m1或m0或1m2；（3）由题意知，函数yx2+nx+1（n0）的“相依函数”为，且n2+1n21，（1）当n4时，y（x+n）2+n21图象的对称轴在直线x4左侧，y（xn）2+n2+1图象的对称轴在x4右侧，当x2时，y2+2n+12n1，当x4时，y8+4n14n9，n4，2n14n9，又y09，4n99，n，4n，（2）当2n4时，当x2时，y2+2n+12n1，2n4，2n1n21，此时由y09，可得2n19，有n5，2n4，（3）当0n2时，而n2+1
36、n21，n2+19，1n4，1n2，综上所述，n的取值范围是1n14解：（1）A（1，0），B（3，0），抛物线对称轴为直线x1，AB4，设对称轴交AC于点H，ABC为等腰直角三角形，CH2，当抛物线开口向上时，点C坐标为（1，2），设ya（x1）22，把B（3，0）代入，可得a，当抛物线开口向下时，点C坐标为（1，2），设ya（x1）2+2，把B（3，0）代入并解得a，a的值为或，故抛物线的顶点坐标为（1，2）或（1，2），故答案为：（1，2）或（1，2）；（2）当b2a时，yax22ax+ca（x1）2+ca，点C（1，ca），点B（1+ca，0），a（ca）2+ca0，（ca）（aca2
37、+1）0，ca0，aca2+10，ca，ya（x1）2，1x3，a0，当x1或3时，y有最小值为4a，当x1时，y有最大值，若以y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，则2（4a），整理的8a210，a015（1）当a时，有y，取y0，得0，解得x14，x28，A（4，0），B（8，0），又y，C（2，6），AB12，AC6，BC6，；（2）ACD为直角三角形，内心在三角形的内部，a0，图象开口向下，设内心为点E（0，t），由于E到x轴的距离等于E到CD的距离，t2，E（0，2），又ACD为直角三角形，AD2+CD2AC2，即62+（36a）2（36a+2）2，解得：a，；（3）根据n的
38、值分三种情况讨论，mxn，且mn0，m0n，若n2，则有：，解得n，不合题意，故舍去，若2n4m，则有：，解得，且，m+n94，若4mn，则有：，解得，且，m+n94，且，m+n，综上，m+n的值为94或16解：（）当k2时，yx22（21）x+222x22x1，x顶点1，y顶点x22x1122112，此抛物线顶点坐标为（1，2）；（）把（1，k2）代入抛物线解析式得k212（k1）+k2k，解得：k；（）把点（2k，y1）代入抛物线有y14k22（k1）2k+k2k，同理把点（2，y2），代入抛物线得y244（k1）+k2k，由y1y2知，4k22（k1）2k+k2k44（k1）+k2k，解
39、得k1；（）抛物线yx22（k1）x+k2k（xk+1）2+（k1）向右平移1个单位长度得到新解析式为y（xk）2+（1），k1时，1x2位于对称轴右侧，y随x增大而增大，当x1时，y最小（1k）2k1k2k，解k111，k21，舍去，当1k2时，y最小k1，解得k1，当k2时，1x2位于对称轴左侧，x2时，y最小（2k）2k1k2+3，解得k13，k2（舍去），综上k1或317解：（1）（n）24m（m+n）（n2m）20，该函数图象与x轴必有交点；（2）mn3，nm3y1mx2nxm+nmx2（m3）x3当y10时，mx2（m3）x30，解得x1或二次函数图象与x轴交点为（1，0）和（，0
40、），当mx1时，二次函数的最大值小于0，m1又m0，0m；y2|mx2nxm+n|，mn3，当x或x1时，y2mx2（m3）x3，当x1时，y2mx2+（m3）x+3当4p1时，点A在直线yx+4上方，当1，即m3时，有m（1）2（m3）（1）3（1）+4，解得m当4，即m时，有m（1）2+（m3）（1）+3（1）+4，且m（4）2+（m3）（4）+3（4）+4，m，又m0，0m综上所述：0m或m18解：（1）当b0时，yy1+y2（a+c）x2+（a+c），令y0，则（a+c）x2+（a+c）0，a+c0，x2+10，40，方程x2+10没有实数根，即抛物线y（a+c）x2+（a+c）与x轴
41、没有交点；（2）a0，c0，a+c0，抛物线y1ax2+bx+c的开口向上，抛物线y2cx2+bx+a，开口向下，当x1时，y1a+b+c，y2c+b+a，y1y2，当x1时，y1ab+c，y2cb+a，y1y2，当b0时，如图1，若mn，即y1y2，则x1或x1，即x01或x01，当b0时，如图2，若mn，即y1y2，则x1或x1，即x01或x01，综上所述，若mn，则x0的取值范围为x01或x01；（3）y3a（x1）2+4a，且y3与y1的图象关于原点中心对称，y1ax2+bx+ca（x+1）24aax2+2ax3a，b2a，c3a，（m1）a+b+c0，（m1）a+2a3a0，a（m2
42、）0，a0，m20，m2，m的最大值为219解：（1）抛物线yx2bx+3的对称轴为直线x2，2，b4；（2）b4，抛物线的表达式为yx24x+3，直线ABy轴，ABx轴，x2x13，AB3对称轴为直线x2，点A的横坐标为，点B的横坐标为，当时，如图，yx24x+3（x2）21，顶点坐标为（2，1），当yn4时，0x5时，1y4；当yn2时，0x5时，4y2；n的取值范围为2n420解：（1）yx2+2mxm2+m（xm）2+m，故点A的坐标为（m，m）；（2）点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），则OAm，解得m1，故抛物线的表达式为yx2+2x；（3）将点B的坐标代入抛物线表达式得：m2（m1）2+2m（m1）m2+m，此方程无解；将点C的坐标代入抛物线表达式得：222+2m2m2+m，解得m2或3，如图1，当m2时，抛物线和线段BC有公共点；如图2，当2m3时，抛物线和线段BC无公共点；如图3，当m3时，抛物线和线段BC有公共点；故m2或m3时，抛物线和线段BC有公共点
