1、2.1 数列的概念与简单表示法目标定位重点难点1.通过实例，了解数列的概念2理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类3了解数列的表示方法，理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列前几项.重点：数列的表示方法难点：递推公式的含义.1数列的概念(1)定义：按照一定_排列着的一列数称为数列(2)项：数列中的_叫做这个数列的项a1称为数列an的第1项(或称为_)，a2称为第2项，an称为第n项(3)数 列 的 表 示：数 列 的 一 般 形 式 可 以 写 成 a1，a2，a3，an，简记为_顺序每一个数首项an2数列的分类分类标准名 称含 义按项的个数有穷数列项数_
2、的数列无穷数列项数_的数列按项的变化趋势递增数列从第_项起，每一项都_它的前一项的数列递减数列从第_项起，每一项都_它的前一项的数列常数列_的数列摆动数列从第_项起，有些项_它的前一项，有些项_它的前一项的数列有限无限2大于2小于各项相等2大于小于3数列的通项公式如 果 数 列 an 的 第 n 项 与 _ 之 间 的 关 系 可 以 用_来表示，那么就把这个式子叫做这个数列的通项公式4数列的递推关系式如果已知数列an的_(或前几项)且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的_(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式序号n一个式子第一项前一项an11下列
3、有关数列的说法正确的是()同一数列的任意两项均不可能相同；数列1,0,1与数列1,0，1是同一个数列；数列中的每一项都与它的序号有关A B C D【答案】D2下面四个结论：数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集1,2,3，n)上的函数数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点数列的项数是无限的数列通项的表示式是唯一的其中正确的是()ABCD【答案】A3已知ann(n1)，以下四个数中，哪个是数列an中的一项()A18 B21 C25 D30【答案】D423，415，635，863，1099，的一个通项公式是_【答案】an2n2n12n1探求数列的通项公式【例 1】分别写出下列数列的
4、一个通项公式，数列的前 4项已给出(1)2212，3213，4214，5215，；(2)12，16，112，120，；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，；(4)5,4,5,4，.【解题探究】这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真观察，深入分析内在规律，如：什么在变，什么不变，尤其是变化的量与相应的项数n有何关系，有时也可以以一些简单的数列为依据【解析】(1)该数列第 1,2,3,4 项的分母分别为 2,3,4,5，恰比项数多 1.分子中的 22,32,42,52 恰是分母的平方，1 不变，故它的一个通项公式为 ann121n1.(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一
5、个符号因子(1)n，分 子 均 为 1 不 变，分 母 2,6,12,20 可 分 解 为12,23,34,45，则 它 的 一 个 通 项 公 式 为 an (1)n1nn1.(3)0.910.1,0.9910.01,0.99 910.00 1,0.999 910.000 1，而 0.1101,0.01102,0.001103,0.000 1104，它的一个通项公式为 an110n.(4)这个数列前 4 项构成一个摆动数列，奇数项是 5，偶数项是 4.所以它的一个通项公式为an411n1291n12或an5，n为奇数，4，n为偶数.【方法规律】已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来
6、考虑：(1)负号用(1)n与(1)n1或(1)n1来调节，这是因为n和n1奇偶交错；(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系；(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面专门学习)和其他方法解决；(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法(1)数列14，12，34，1，54，32，的一个通项公式为_；(2)数列 1,2 2，3 3，8,5 5，6 6，7 7，的一个通项公式为_；(3)数列 1，12，14，18，116，的一个通项公式为_【答案】(1)a
7、nn4(2)ann n (3)an12n1【解析】(1)先把各项都写成分数形式，注意到 422，可以把分母不是 4 的项改写成分母为 4 的情形，即14，24，34，44，54，64，ann4.(2)先将数列中的部分项作调整，使之都含有根号和系数，即 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，ann n.(3)奇数项为正，偶数项为负，可由(1)n1 来实现，分子全为 1，分母依次为 20,21,22,23，an1n12n1，即 an12n1.【例2】已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请
8、说明理由【解析】(1)an3n228n，a434228464，a636228660.数列通项公式的应用(2)令 3n228n49，即 3n228n490，n7 或 n73(舍去)49 是该数列的第 7 项，即 a749.令 3n228n68，即 3n228n680，n2 或 n343.2N*，343 N*，68 不是该数列的项【方法规律】通项公式的简单应用主要包括的两个方面：(1)由通项公式写出数列的前几项主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值；(2)判断一个数是否为该数列中的项可由通项公式等于这个数解出n，根据n是否有正整数解便可确定这个数是否
9、为数列中的项已知有限数列45，910，1617，2526，m2m21(m2，且 mN*)(1)指出这个数列的一个通项公式；(2)判定 0.98 是不是这个数列中的项？若是，是第几项？【解析】(1)由观察知尽管数列的通项公式不是 m2m21，但是与这种形式应较接近又因为前 n 项分子依次为 4,9,16,25，可看成与项数 n 的关系式为(n1)2，而每一项的分母恰好比分子大 1，所以分母可看成与项数 n的关系式为(n1)21.所以数列的通项公式为 an n12n121(n1,2，m1)(2)由(1)知数列的通项公式 an n12n121，不妨设 0.98 是这个数列的第 n 项，即 n12n1
10、210.98，解得 n6N*.所以 0.98 是数列中的第 6 项【解题探究】将已知等式左边分解因式，以便找出前后项的明显关系数列的递推公式【例 3】设an是首项为 1 的正项数列且(n1)a2n1na2nan1an0(nN*)，求通项公式 an.【解析】方法一：(累乘法)由(n1)a2n1na2nan1an0，得(n1)an1nan(an1an)0.an0，anan10，(n1)an1nan0.an1an nn1.a2a1a3a2a4a3a5a4 anan112233445n1n，即ana11n.又 a11，an1na11n.方法二：(构造特殊数列法)同方法一，得(n1)an1nan，数列n
11、an是常数列nan1a11，an1n.【规律总结】由递推关系式anf(n)an1求数列的通项公式时一般采用累乘法除此外，还应注意原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列周期数列问题是数列中的一种重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推关系中，解决的关键在于利用递推公式算出若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解(1)已知数列an中，a13，an12an1，则a3()A3 B7 C15 D18(2)(2019 年 黑 龙江哈 尔 滨模拟)数 列 an 满 足 an 1 2an，0an12，2an1，12an1，a135，则数列的第 2 019 项为_【答案】(1)C(2)25【解析】(1)a13
12、，an12an1，a22a112317，a32a2127115.故选 C(2)由已知可得 a2235115，a321525，a422545，a5245135，an为周期数列且 T4.a2019a50443a325.【示例】已知数列an的通项公式为an2n221n，求该数列中数值最大的项忽视了数列中自变量n只能是正整数而致错【错解】an2n221n2n21424418，an 的最大值为4418，该数列中数值最大的项为214.【错因】数列是函数，可用二次函数求最值的方法求数列中的最大(小)项，但忽视了数列中自变量 n 只能是正整数，n 取不到214.【正解】an2n21424418，nN*，当 n
13、5 或 6 时，an 最大a555，a654，数值最大的项为第 5 项，最大值为 55.【警示】应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可1判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同2通项公式如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中的n就可以求出数列中的指定项，如果给出数列中的前几项，也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立，并不知道注意：一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数列不存在通项公式3递推公式递推公式是表示数列的一种重要方法，是指已知数列an的第一项(或前几项)及
14、相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出a1或a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项注意：并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存在递推公式，递推公式也不一定唯一特别是依据数列前几项寻求递推关系，递推公式可能不止一个1数列1，3,5，7,9，的一个通项公式an为()Aan2n1Ban(1)n(12n)Can(1)n(2n1)Dan(1)n(2n1)【答案】B【解析】当n1时，a11，排除C，D；当n2时，a23，排除A故选B2数列12，14，18，116，的一个通项公式是()A 12n B1n2nC1n12n D1n2n1【答案】B【解析】所给的
15、数列每一项的分子都是 1，分母等于 2n，每一项的符号为(1)n，故此数列的一个通项公式是1n2n.故选B3已知 an n7n5 2(nN*)，设 am 为数列an的最大项，则 m_.【答案】8【解析】an n7n5 215 27n5 2.根据函数的单调性可判断数列an在1,7，8，)单调递减，在1,7上 an1，在8，)上 an1，a8 为最大项4中，若 a112，an11an1(n2，nN*)，则 a2016 等于_【答案】1【解析】a112，an11an1，a211a12，a311a21，a411a312.数列an是一个以12，2，1 三项循环的数列a2016a6723a31.点击进入WORD链接
