1、 广州市南武中学2021届高三数学综合测试（四）（10 .23）(数学)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Ax|x22x0，Bx|x10，则集合AB（）Ax|0x2Bx|0x1Cx|x1Dx|1x22若复数z1对应复平面内的点（2，3），且z1z21+i，则复数z2的虚部为（）A-513B513C-113D1133在（2x+a）5（其中a0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A12B12C2D24已知a与b均为单位向量，若b(2a+b)，则a与b的夹角为（）A30B45C60D1205已知tan
2、(+4)=-3，则sin2（）A45B25C-45D-4556函数f(x)=cosxln(x2+1-x)在1，1的图象大致为（）ABCD7若直线xa+yb=1（a0，b0）过点（2，1），则2a+b的最小值为（）A10B9C8D68已知A1，A2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1的左，右顶点，F为左焦点，以A1A2为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在x轴上方，从左至右依次交于M，N两点，若FMON，则该双曲线的离心率为（）A2B2C233D62二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9
3、“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体自2013年以来，“一带一路”建设成果显著如图是20132017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A这五年，2013年出口额最少B这五年，出口总额比进口总额多C这五年，出口增速前四年逐年下降D这五年，2017年进口增速最快10关于函数f（x）3sin （2x-3）+1（xR），下列命题正确的是（）A由f（x1）f（x2）1可得x1x2 是的整数倍Byf （x） 的表达式可改写成f（x）3cos（2x-56）+
4、1Cyf（x）的图象关于点（34，1）对称Dyf（x）的图象关于直线x=-12对称11设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为93，则（）A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x12已知三棱锥ABCD中，BCCD，ABAD=2，BC1，CD=3，则（）A三棱锥的外接球的体积为43B三棱锥的外接球的体积为83C三棱锥的体积的最大值为36D三棱锥的体积的最大值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13设函数f（x）=-x，x0x2，x0，若f（
5、）9，则14成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布XN（100，2），且P（86X100）0.15，若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为15已知直线l：ykx被圆C：（x1）2+（y+2）24截得的弦长为23，则k，圆C上到直线l的的距离为1的点有个16对于数列an，定义Hn=a1+2a2+2n-1ann为an的“优值”，现已知某数列的“优值”Hn=2n，记数列an的前n项和为Sn，则S20192019=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(10分)已知ABC满足，且b=6，A=23，求sinC的值
6、及ABC的面积从B=4，a=3，a32sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18(12分)已知an是公差不为零的等差数列，a426，且a1，a2，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=(-1)n+1an，数列bn的前n项和为Tn，求T51119(12分)如图，在四棱锥PABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO平面ABCD，E为BC的中点（）求证：平面PAC平面PBD；（）若PE3，求二面角DPEB的余弦值20(12分) 3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，
7、某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品已知该厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到90，100）的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到80，90）的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到60，80）的产品，质量等级为合格将这组数据的频率视为整批产品的概率（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X为来自B机器生产的产品数量，写出X的分布列，并求X的数学期望；（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是
8、否达到良好以上与生产产品的生产线有关A生产线的产品B生产线的产品合计良好以上合格合计附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2）k0）0.100.050.010.005k02.7063.8416.6357.87921(12分) 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，点M（a，0），N（0，b），O（0，0），OMN的面积为4（1）求椭圆E的标准方程；（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A在椭圆E内（异于原点），点B在椭圆E外若过点B作斜率存在且不为0的直线与E相交于不同的两点P，Q，且满足PAB+QAB180求证：点A，B的横坐标之积为定
9、值22(12分) 已知函数f（x）x2+2xmln（x+1），其中mR（）当m0时，求函数f（x）的单调区间；（）设g(x)=f(x)+1ex，若g(x)1x+1，在（0，+）上恒成立，求实数m的最大值广州市南武中学2021届高三数学综合测试（四）（10 .23）(数学)答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DBDDABBA三二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.题号9101112答案ABDB
10、DBCDAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.139或3 14 2800 15 -34；3 16 1011四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 (5+5=10分)解：选，由A+B+C可知，sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin(23+4)=sin23cos4+cos23sin4=3222-1222=6-24；5分由正弦定理有asinA=bsinB，即asin23=6sin4，解得a3，SABC=12absinC=12366-24=9-33410分18 (6+6=12分)解：（1）设an的公差为d，d0因为a1，a2，a7
11、成等比数列，所以a22a1a7，即（a1+d）2a1（a1+6d），整理得d24da10又d0，所以d4a1，又a4a1+3d26，联立，得d=4a1a1+3d=26，解得a1=2d=8所以an2+8（n1）8n66分（2）因为bn（1）n+1an（1）n+1 （8n6），T511b1+b2+b511210+1826+40664074+4082（210）+（1826）+（40664074）+4082（8）255+4082204212分19(4+8=12分)（I）证明：由正方形ABCD可得：ACBD由PO平面ABCD，POAC又POBDO，AC平面PBD，AC平面PAC，平面PAC平面PBD；4
12、分（）解：取AB的中点O，连接OM，OE建立如图所示的空间直角坐标系OP=PE2-OE2=5O（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，0），D（2，2，0），P（0，0，5），DE=（2，4，0），DP=（2，2，5），设平面DPE的法向量为n=（x，y，z ），则nDE=nDP=0，2x+4y0，2x+2y+5z0，取n=（25，5，2）同理可得平面PEB的法向量m=（0，5，2）cosm，n=mn|m|n|=9299=32929由图可知：二面角DPEB的平面角为钝角二面角DPEB的余弦值为-3292912分20(6+6=12分)解：（1）从图中可知样本中优秀的产品有2件来自A生产线，
13、3件来自B生产线，X的可能取值为0，1，2，P（X0）=C22C52=0.1，P（X1）=C21C31C52=0.6，P（X2）=C32C52=0.3，X的分布列为：X 0 1 2P 0.1 0.60.3E（X）00.1+10.6+20.31.26分（2）由已知得22列联表为：A生产线的产品B生产线的产品合计良好以上61218合格14822合计202040K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40(1214-68)220201822=40113.6363.841，不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关12分21 (4+8
14、=12分)解：（1）由题得e=ca=32，即c2=34a2，b2=14a2，S=12ab4，解得a216，b24，所以椭圆E的标准方程为：x216+y24=1；4分（2）证明：设A（n，0），B（m，0），由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为：xty+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：x=ty+mx2+4y2-16=0，整理可得：（4+t2）y2+2tmy+m2160，4t2m24（4+t2）（m216）0，m24t2+16，y1+y2=-2tm4+t2，y1y2=m2-164+t2，x1x2t2y1y2+tm（y1+y2）+m2=t2(m2-16)-
15、2t2m2+4m2+t2m24+t2=4m2-16t24+t2；因为PAB+QAB180，所以kPAkQA，即kPA+kQA0，而kPA+kQA=y1x1-n+y2x2-n=y1ty1+m-n+y2ty2+m-n=2ty1y2+(m-n)(y1+y2)(ty1+m-n)(ty2+m-n)=0，所以2t（m216）+（mn）（2tm）0，因为t0，所以m216m2+mn0，所以可得mn16，即证点A，B的横坐标之积为定值1612分22 (4+8=12分)解：（I）当m0时，f(x)=2x+2-mx+1=2(x+1)2-mx+1，x1，令f（x）0可得x=-2m2-1（舍），或x=2m2-1，当x
16、(-1，2m2-1)时，f（x）0，函数单调递减，当x（2m2-1，+）时，f（x）0，函数单调递增，4分（II）由题意可得，x2+2x-mln(x+1)1x+1-1ex在（0，+）上恒成立，（i）若m0，因为ln（x+1）0，则mln（x+1）0，所以x2+2x-mln(x+1)-11+x+1exx2+2x-11+x+1ex，令G（x）=x2+2x-11+x+1ex，x0，则G（x）=2x+2+1(1+x)2-1ex，因为x0，所以01ex1，-1-1ex0，又因为2x+2+1(1+x)22x+22，G（x）0在x0时恒成立，故G（x）在（0，+）上单调递增，所以G（x）G（0）0，故当m0
17、时，x2+2x-mln(x+1)-11+x+1exx2+2x-11+x+1ex在（0，+）上恒成立，（ii）若m0，令H（x）exx1，x0，则H（x）ex10，故H（x）（0，+）上单调递增，H（x）H（0）0，所以exx+10，所以11+x-1ex0，由题意知，f（x）11+x-1ex（0，+）上恒成立，所以f（x）0（0，+）上恒成立，由（I）知f（x）minf（2m2-1）且f（0）0，当2m2-10即m2时，f（x）在（0，2m2-1）上单调递减，f（2m2-1）f（0）0，不合题意，所以2m2-10即0m2，此时g（x）-11+x=x2+2x-mln(x+1)-11+x+1exx2+2x-2ln(x+1)+1ex-11+x，令P（x）=x2+2x-2ln(x+1)+1ex-11+x，x0，则P（x）2x+2-2x+1-1ex+1(1+x)22x+2-3x+1+1(1+x)2=2(x+1)3-3(x+1)+1(x+1)22(x+1)2-3(x+1)+1(x+1)2=x(2x+1)(x+1)20，P（x）在（0，+）上单调递增，P（x）P（0）0恒成立，综上可得，m的最大值为212分
