1、山东省青州第一中学东校区2020-2021学年高二数学上学期11月考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 已知直线与垂直，则的值是（ ）A. 或B. C. D. 或【答案】C【解析】由题意得 ，选C.2. 圆与直线的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系进行比较即可.【详解】圆的圆心为（2,0），半径为1，圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系为相离，故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，属于简单题.3. 如图，三棱
2、锥ABCD中，AB底面BCD，BCCD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】连AE, CBD是等腰Rt, BECD且BE=1，AB底面BCD, ABBE，由勾股定理，AE.故选：B4. 向量，若，且，则的值为（ ）A. B. 1C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据求出的值，再根据得出，列方程求出的值，即可计算的值【详解】解：向量，若，则，解得；又向量，且，则，解得；所以故选：【点睛】本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题5. 在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确是A. 若
3、且，则B. 若，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则必不垂直于【答案】C【解析】【详解】解：由m，n为两条不同直线，为两个不同平面，知：在A中，若m且，则m或m，故A错误；在B中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m且，则由线面垂直的判定定理得m，故C正确；在D中，若m不垂直于，且n，则m有可能垂直于n，故D错误故选：C6. 已知点是直线上的动点，点为圆的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，的最小值为圆心到直线的距离减去半径的差即为所求【详解】解：圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以的最小值为故选：B【点
4、睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题7. 设，向量且，则（ ）A. B. C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数，再求向量模长即可.【详解】，故选：.【点睛】本题考查向量垂直、平行以及模长的坐标表示，属综合基础题.8. 已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对称知识得到点关于轴的对称点为，连接，根据和的坐标求得直线的方程，求出它与轴交点坐标即为的坐标【详解】解：找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时为最短，由与关于轴对称，所以，又，则直线的
5、方程为化简得：，令，解得，所以故选：D【点睛】此题考查学生灵活运用对称的性质解决实际问题，会求直线与轴的交点坐标，是一道中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知向量，下列等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据坐标求出，根据向量的运算法则即可判定.【详解】由题，所以不相等，所以A选项错误；，所以，所以B选项正确；，所以C选项正确；，即，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.10. 如图
6、，直线，的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论.【详解】解：如图，直线，的斜率分别为，倾斜角分别为，则，故，且为钝角，故选：AD.【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题.11. 如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，其中正确的命题为（ ）A. 三棱锥的体积为定值B. 异面直线与所成的角为C. 平面D. 直线与平面所成的角为【答案】AD【解析】【分析】A. 利用，三棱锥的体积为定值，正确B. 利用平移法找异面直线所成的角，和所成的角为，所以异面直线与所成
7、的角为，故B错误C. 若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确【详解】解：对于A， 故三棱锥的体积为定值，故A正确对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为则，即令，则所以直线与平面所成的角为，正确故选：AD【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点
8、不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题.12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）A. B. C. 向量与的夹角是60D. 与所成角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】应用空间向量基本定理，选取向量为基底，对每一选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，所以，则，所以A正确；，所以B正确；显然为等边三角形，则.因为
9、，且向量与的夹角是120，所以与的夹角是120，所以C不正确；因为，所以，所以，所以D不正确.故选: A B.【点睛】本题考查利用空间向量求长度、夹角、判断垂直等应用，考查空间向量的基本定理，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 设平面与向量垂直，平面与向量垂直，则平面与位置关系是_【答案】平行【解析】【分析】先判断，再根据平面与向量垂直，平面与向量垂直，即可得结论【详解】因为，所以因为平面与向量垂直，所以平面与向量也垂直而平面与向量垂直，所以可得故答案为：平行.【点睛】本题考查向量语言表述面面的垂直、平行关系，主要考查向量共线的判断，属于基础题目.14. 若直线与
10、圆有且仅有一个公共点，则实数的值为_.【答案】或【解析】【分析】由题意可知，圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题意，圆心到直线的距离，解得或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数，考查计算能力，属于基础题.15. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为_【答案】【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G到平面的距离【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则令，则，所以
11、平面的一个法向量点到平面的距离为，故答案为：.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.16. 已知半径为5的动圆C的圆心在直线上.若动圆C过点，求圆C的方程_，存在正实数_，使得动圆C中满足与圆相外切的圆有且仅有一个.【答案】 (1). 或 (2). 【解析】【分析】由题意设动圆C的方程为：，圆心满足，动圆过点，则，可求出圆的方程；由圆O的圆心到直线l的距离，当时满足条件.【详解】依题意，可设动圆C的方程为：其中圆心满足.又动圆过点，解方程组，可得或，故所求圆C的方程为：或.由圆O的圆心到直线l的距离，当满足时，即时
12、，动圆C中有且仅有1个圆与圆相外切.故答案为：或；【点睛】本题考查求圆的方程，考查两圆的位置关系，属于中档题.三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知的顶点坐标分别是；（1）求边上的中线所在直线的方程（答案用斜截式方程）；（2）求过点C且与直线垂直的直线方程（答案用斜截式方程）.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）计算的中点坐标，然后可得中线的斜率，最后可得结果.（2）计算的斜率，然后可得与直线垂直的直线的斜率，最后根据点斜式可得直线方程.【详解】（1），的中点坐标为，中线的斜率为，中线所在直线的方程为，（2）由已知可得的斜率为，所以与直
13、线垂直的直线的斜率为与直线垂直的直线为【点睛】本题考查直线的方程，审清题意，细心计算，属基础题.18. 已知空间中三点，设，.（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先写出，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可；（2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案.【详解】（1），设与的夹角为，；（2），且，即：或.【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.19. 已知圆，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为.（1）若点运动到处，求此时切线的方程；（2）求满足条件的点的轨
14、迹方程.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先化圆方程为标准方程，确定圆心与半径，再根据切线斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线距离等于半径，即可判断与求解；（2）根据条件得到,化简即得点的轨迹方程.【详解】（1）切线斜率不存在时，即，满足圆心到切线距离等于半径，当切线斜率存在时，设综上，切线的方程为或；（2）设，则由得【点睛】本题考查直线与圆位置关系、动点轨迹方程，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 如图，在圆柱中，为圆的直径，C，D是弧上的两个三等分点，是圆柱的母线.（1）求证：平面；（2）设，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】连接，根据C，
15、D是半圆上的两个三等分点，利用平面几何知识，得到四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理证明.（2）根据是圆柱的母线，得到平面，在中求得，在中，求得，然后在内，作于点H，连接，就是二面角的平面角，然后由求解.【详解】（1）如图所示：连接，因为C，D是半圆上的两个三等分点，所以，又，所以，均为等边三角形.所以，所以四边形是平行四边形.所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为是圆柱的母线，所以平面，平面，所以因为为圆的直径，所以在中，所以，所以在中，（方法一）因为，所以平面，又平面，所以，如图所示：在内，作于点H，连接.因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以就是二面角的平面角.在中
16、，.在中，所以，所以.所以，二面角的余弦值为.（方法二）如图所示：以C为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量为，则，即令，则，所以平面的一个法向量为.又因为平面的一个法向量.所以.所以结合图形得，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的求法，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.21. 在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线与圆交于两点，如果，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将圆的化为标准方程,求出圆心，半径，其中，根据圆与直线相切，再利用点到直线
17、的距离公式可得，解得；（2）当直线斜率不存在时，其方程为，求得，不合题意；但直线斜率存在，设其方程为，根据圆心到直线的距离，以及垂径定理即可求得.【详解】解:（1）圆的方程可化为，圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理，不合题意；故直线斜率存在，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理，即，解得，故直线的方程为，代入圆的方程，整理得，解得，于是，这里，)，所以.【点睛】本题主要考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查分类讨论思想,是中档题.22. 如图，在以为顶
18、点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由是圆的直径，与圆切于点，可得,由底面圆，可得，利用线面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，可推出，利用线面垂直的判定定理可证平面，从而利用面面垂直的判定定理可证出平面平面.（2）由，可知为二面角的平面角，即，建立空间直角坐标系，易知，求得点的坐标如下；，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，通过，可求出平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【详解】解：（1）是圆的直径，与圆切于点，底面圆，平面，.又在中，平面，从而平面平面.（2） ，为二面角的平面角， ，如图建立空间直角坐标系，易知，则，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为， ， ，即故平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了通过线面垂直证明面面垂直.重点考查了利用空间向量法求二面角的问题.
