1、宇宙双星与多星问题科 学 思 维在宇宙中有一些彼此较近，而离其他星较远的几颗星组成的孤立行星系统，称为多星系统，常见为“双星系统”和“三星系统”。这类系统具有研究对象多个、运动模型多样、受力情况复杂、科技联系密切等特点，备受高考命题者青睐。一、双星系统1条件：两颗恒星彼此相距较近；两颗恒星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；两颗恒星绕同一圆心做匀速圆周运动。2特点(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2m121r1，Gm1m2L2m222r2。(2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T1T2，12。(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为 r1r2L。(4)两颗星到圆心的距
2、离 r1、r2 与星体质量成反比，即m1m2r2r1。示例1(多选)(2018高考全国卷)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A质量之积 B质量之和C速率之和D各自的自转角速度BC解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示。每秒转动 12 圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm1m2l2m12r1Gm1m2l2m22r2lr
3、1r2由式得G（m1m2）l22l，所以 m1m22l3G，质量之和可以估算。由线速度与角速度的关系 vr 得v1r1v2r2由式得 v1v2(r1r2)l，速率之和可以估算。质量之积和各自自转的角速度无法求解。应用提升练1(多选)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成在引力作用下都绕某点做匀速圆周运动；但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动。我们把前一种假设叫“模型一”，后一种假设叫“模型二”。已知月球中心到地球中心的距离为L，月球运动的周期为T。利用()A“模型一”可确定地球的质量B“模型二”可确定地球的质量C“模型一”可确定月球和地球的总质量D“模型二”可确
4、定月球和地球的总质量BC 解析：对于“模型一”，是双星问题，设月球和地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为 r 和 R，间距为 L，运行周期为 T，根据万有引力定律有GMmL2 M42T2 Rm42T2 r，其中 RrL，解得 Mm42L3GT2，可以确定月球和地球的总质量，A 错误，C 正确；对于“模型二”，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 GMmL2 m42T2 L，解得地球的质量为 M42L3GT2，可以确定地球的质量，无法确定月球的质量，B 正确，D 错误。2.(2020江西七校联考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期
5、相同的匀速圆周运动，称之为双星系统。由恒星 A 与恒星 B 组成的双星系统绕其连线上的 O 点做匀速圆周运动，如图所示。已知它们的运行周期为 T，恒星 A的质量为 M，恒星 B 的质量为 3M，引力常量为 G，则下列判断正确的是()A两颗恒星相距3 GMT22B恒星 A 与恒星 B 的向心力之比为 31C恒星 A 与恒星 B 的线速度之比为 13D恒星 A 与恒星 B 的轨道半径之比为31A 解析：两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即 M42T2 rA3M42T2 rB，解得恒星 A 与恒星 B 的轨道半径之比为 rArB31，选项 B、D 错误；设两恒
6、星相距为 L，即 rArBL，则有 M42T2 rAG3M2L2，解得 L3 GMT22，选项 A 正确；由 v2T r 可得恒星 A 与恒星 B 的线速度之比为 31，选项 C 错误。3(2020山西省临汾市洪洞县一中高三下学期一调)双星系统中两个星球A、B 的质量都是 m，相距 L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T0，且 TT0k(k1)，于是有一人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球 C 的影响，并认为 C 位于 A、B 连线的正中间，则 A、B 组成的双星系统周期理论值 T0 及 C 的质量分别为()A2 L22
7、Gm，1k24k mB2 L32Gm，1k24k mC2 2GmL3，1k24k mD2 L32Gm，1k24k2 mD 解析：两星的角速度相同，根据万有引力充当向心力知 Gm2L2m2r1m2r2，可得 r1r2 两星绕连线的中点转动，则有 Gm2L2m42T20 L2所以 T02 L32Gm由于 C 的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则 Gm2L2G Mm（L2）2m42T2 L2又 TT0k解式得 M1k24k2 m，故 D 正确，A、B、C 错误。二、三星系统模型 1 如图 1 所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同
8、一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm2r2 Gm2（2r）2ma 向。两行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。模型 2 如图 2 所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供，即Gm2L2 2cos 30ma向，其中 L2rcos 30。三颗行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。示例2(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式
9、(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则()A直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B直线三星系统的运动周期 T4RR5GMC三角形三星系统中星体间的距离 L3 125 RD三角形三星系统的线速度大小为125GMR解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A 错误；三星系统中，对直线三星系统有 GM2R2GM2（2R）2M42T2 R，解得 T4RR5GM，选项 B 正确；对三角形三星系统，根
10、据万有引力和牛顿第二定律可得 2GM2L2cos 30M42T2 L2cos 30，联立解得 L3 125 R，选项 C 正确；三角形三星系统的线速度大小为 v2rT 2T L2cos 30，代入解得 v 36 3 125 5GMR，选项 D 错误。答案 BC应用提升练4(多选)如图所示，天文观测中观测到有三颗星位于边长为 l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为 T 的匀速圆周运动。已知引力常量为 G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是()A三颗星的质量可能不相等B某颗星的质量为42l33GT2C它们的线速度大小均为2 3lTD它们两两之间的万有引
11、力大小为164l49GT4BD 解析：轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，rl2cos 30 33 l。根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为 m，则 2Gm2l2 cos 30m42T2 33 l，解得 m42l33GT2，它们两两之间的万有引力 FGm2l2 G（42l33GT2）2l2164l49GT4，A 错误，B、D 正确；线速度大小为 v2rT 2T 33l2 3l3T，C 错误。5由三个星体构成的系统，叫作三星系统。有这样一种简单的三星系统，质
12、量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动。若三个星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，万有引力常量为 G，则下列说法正确的是()A三个星体做圆周运动的半径均为 aB三个星体做圆周运动的周期均为 2aa3GmC三个星体做圆周运动的线速度大小均为3GmaD三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gma2B 解析：质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心 O 即为它们的共同圆心，由几何关系可知，三个星体做圆周运动的半径 r 33 a，故选项 A错误；每个星体受到的另外两
13、星体的万有引力的合力提供向心力，其大小 F 3Gm2a2，则 3Gm2a2m42T2 r，得 T2aa3Gm，故选项 B 正确；由线速度 v2rT 得 vGma，故选项 C 错误；向心加速度 aFm 3Gma2，故选项 D 错误。6由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大
14、小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T。解析：(1)由万有引力定律，A 星体所受 B、C 星体引力大小为 FBAGmAmBr2G2m2a2 FCA，方向如图所示，则合力大小为 FA2 3Gm2a2。(2)同上，B 星体所受 A、C 星体引力大小分别为FABGmAmBr2G2m2a2，FCBGmCmBr2Gm2a2，方向如图所示。由 FBxFABcos 60FCB2Gm2a2，FByFABsin 60 3Gm2a2，可得 FBF2BxF2By 7Gm2a2。(3)通过分析可知，圆心 O 在中垂线 AD 的中点，则RC（34 a）2（12a）2，可得 RC 74 a。(或由对称性可知 OBOCRC，cos OBDFBxFB DBOB12aRC，得 RC 74a)。(4)三星体运动周期相同，对 C 星体，有 FCFB 7Gm2a2m(2T)2RC，可得 T a3Gm。答案：(1)2 3Gm2a2(2)7Gm2a2(3)74 a(4)a3Gm
