1、2016年山西省高考考前质检数学试卷（文科）（三）一、选择题1设U=R，A=x|y=x，B=y|y=x2，则A（UB）=（）ABRCx|x0D02用0，1，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（）A25B10C15D203下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）Ay=x2By=exCy=xsinxDy=4已知a，b0，若圆x2+y2=b2与双曲线=1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A，+）B（1，C（1，）D（，2）5若实数x，y满足则z=x2y的最小值是（）A2B1C0D26如图
2、所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）ABCD7已知，为同一平面内两个不共线的向量，且=（1，2），=（x，6），若|=2，向量=2，则=（）A（1，10）或（5，10）B（1，2）或（3，2）C（5，10）D（1，10）8执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）ABC3D9若=，且（，），则tan2的值是（）ABCD10在体积为的三棱锥SABC中，AB=BC=2，ABC=90，SA=SC，且平面SAC平面ABC若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（）ABC12D11若函数f（x）=m有零点，则实数m的取值范围是（）A（0，
3、1B（0，1）C（1，1）D（1，112在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B，则sinA+sinC的最大值是（）ABC1D二、填空题13已知复数z满足|z|=24i，则z=_14在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中，三棱锥的体积等于_（用文字表述）15函数f（x）=（tanx）cos2x，x（，的单调减区间是_16已知F1，F2分别为椭圆C： =1（ab0）的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且QF1O（O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1与椭圆交于点P，则QF1F2与PF1F2的面积的比值是_三、解答题
4、17已知数列an满足a1=1，且an+1=2an+3（nN+）（1）设bn=an+3（nN+），求证bn是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn18如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点（1）求证：BC平面PAC；（2）若AB=2，BC=AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥BMOC的体积19某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后
5、，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元） 123 4 5 销售收益y（单位：万元）2 3 27表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =20已知圆O：x2+y2=9及点C（2，1）（1）若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给予证明；（2）过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程21设函数f（x）=（2x24ax）
6、lnx，aR（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若对任意x1，+），f（x）+x2a0恒成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的切线，ADE是O的割线，AC=AB，连接CD、CE，分别与O交于点F，点G（1）求证：ADCACE；（2）求证：FGAC选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系中，圆C的方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为cos+sin=m（mR）（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（）当C上有且只有一点到直线l的
7、距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标选修4-5：不等式选讲24已知|x1|1，|y2|1（1）求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x2y+2a1|3成立，求实数a的值2016年山西省高考考前质检数学试卷（文科）（三）参考答案与试题解析一、选择题1设U=R，A=x|y=x，B=y|y=x2，则A（UB）=（）ABRCx|x0D0【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据描述法表示集合的意义得集合A为函数y=x的定义域，集合B为函数y=x2的值域，求出集合B的补集，然后与集合A进行交集运算可答案【解答】解：函数y=x的定义域为x|x0，A=x|x0；函数y=x2的值域为y|y0，B
8、=y|y0，CUB=y|y0，A（UB）=x|x0故选：C2用0，1，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（）A25B10C15D20【考点】系统抽样方法【分析】根据已知计算出组距，可得答案【解答】解：因为是从200个零件中抽取10个样本，组距是20，第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是5+20=25故选：A3下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）Ay=x2By=exCy=xsinxDy=【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据基本函数的单调性逐项判断即可得到答案【解答
9、】解：y=x2在（，0）单调递减，在0，+）上单调递增，并不是在其定义域是增函数故A不符合题意；y=ex在（，+）上单调递减，故B不符合题意，y=xsinx，所以y=1cosx0恒成立，所以y=xsinx在R上单调递增，故C符合，y=在0，+）上单调递减，故D不符合题意；故选C4已知a，b0，若圆x2+y2=b2与双曲线=1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A，+）B（1，C（1，）D（，2）【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得ba，由b2=c2a2和离心率公式e=，解不等式即可得到所求范围【解答】解：由圆x2+y2=b2与双曲线=1有公共点，可得ba，即有b2a2，即c2a2
10、a2，即有c22a2，由e=，可得e故选：A5若实数x，y满足则z=x2y的最小值是（）A2B1C0D2【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最小值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，1），由z=x2y得：y=x，显然直线过A（1，1）时，z最小，z的最小值是1，故选：B6如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三视图的定义判断棱AD1和C1F的位置及是否被几何体遮挡住判断【解答】解：从几何体的左面看，对角线AD
11、1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点故选B7已知，为同一平面内两个不共线的向量，且=（1，2），=（x，6），若|=2，向量=2，则=（）A（1，10）或（5，10）B（1，2）或（3，2）C（5，10）D（1，10）【考点】平面向量数量积的运算【分析】计算的坐标，根据|=2列方程解出x，利用向量不共线进行验证，再计算的坐标【解答】解： =（1x，4），|=，解得x=1或x=3不共线，x3即x=1=（1，6），=（2，4）+（1，6）=（1，10）故选：D8执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）ABC3D【考点】程序框图
12、【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的c，a，b，k的值，由题意当i=9时，满足条件i8，退出循环，输出S的值为，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，i=1，S=0执行循环体，a=，S=，i=2不满足条件i8，执行循环体，a=1，S=，i=3不满足条件i8，执行循环体，a=2，S=，i=4不满足条件i8，执行循环体，a=，S=2，i=5不满足条件i8，执行循环体，a=1，S=1，i=6不满足条件i8，执行循环体，a=2，S=3，i=7不满足条件i8，执行循环体，a=，S=，i=8不满足条件i8，执行循环体，a=1，S=，i=9满足条件i8，退出循环，输出S的值为故选：B9若
13、=，且（，），则tan2的值是（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号求得sin2、cos2的值，可得tan2的值【解答】解：=（cossin）=，且（，），cossin=，平方可得sin2=结合2（，），可得 cos2=，则tan2=，故选：B10在体积为的三棱锥SABC中，AB=BC=2，ABC=90，SA=SC，且平面SAC平面ABC若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（）ABC12D【考点】球的体积和表面积【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出S到底面的距离，求出底面三角形的所在
14、平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积【解答】解：AB=BC=2，ABC=90，ABC外接圆半径AC=，SABC=22=2，三棱锥SABC的体积为，S到底面ABC的距离h=2，球心O到平面ABC的距离为|2R|，由平面SAC平面ABC，利用勾股定理可得球的半径为：R2=（2R）2+（）2，R=球的体积：R3=故选：A11若函数f（x）=m有零点，则实数m的取值范围是（）A（0，1B（0，1）C（1，1）D（1，1【考点】根的存在性及根的个数判断；函数与方程的综合运用【分析】由题意可得，可得奇函数y=的图象（图中红色曲线）和直线y=m有交点，数形结合可得实数m的取值范围【解答】
15、解：根据函数f（x）=m有零点，可得奇函数y=的图象和直线y=m有交点，如图所示：数形结合可得，1m1，故选：C12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B，则sinA+sinC的最大值是（）ABC1D【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理化简得出A，B的关系，用A表示出C，利用三角函数恒等变换化简得出sinA+sinC关于sinA的函数，求出此函数的最大值即可【解答】解：acosA=bsinA，又由正弦定理得，sinB=cosA=sin（），B，B=B=A+C=AB=sinA+sinC=sinA+cos2A=2sin2A+sinA+1=2（sinA）2+
16、0，0，0sinA当sinA=时，sinA+sinC取得最大值故选：B二、填空题13已知复数z满足|z|=24i，则z=34i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】设z=a+bi（a，bR），由于复数z满足|z|=24i，可得（abi）=24i，利用复数相等即可得出【解答】解：设z=a+bi（a，bR），复数z满足|z|=24i，（abi）=24i，解得b=4，a=3z=34i故答案为：34i14在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中，三棱锥的体积等于其表面积的与其内切球半径之积（用文字表述）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意画出图形，把三
17、棱锥的体积转化为四个三棱锥的体积，可得三棱锥的体积等于其表面积的与其内切球半径之积【解答】解：如图，设三棱锥ABCD的内切球球心为O，连接OA，OB，OC，OD，则O到三棱锥四个面的距离为球的半径r，=故答案为：其表面积的与其内切球半径之积15函数f（x）=（tanx）cos2x，x（，的单调减区间是，【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用【分析】使用三角函数恒等变换化简f（x），根据余弦函数的单调性求出f（x）的单调减区间，与定义域取交集即可【解答】解：f（x）=cos2xsinxcosx=cos2xsin2x=cos（2x+）+令2k2x+2k，解得+kx+k（，=，故答案为：，
18、16已知F1，F2分别为椭圆C： =1（ab0）的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且QF1O（O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1与椭圆交于点P，则QF1F2与PF1F2的面积的比值是【考点】椭圆的简单性质【分析】作图，结合图象可得c+=2a，从而可得椭圆C的方程为+=1，再直线方程联立消元可得y22cyc2=0，从而可得点Q的纵坐标为c，点P的纵坐标为，从而解得【解答】解：由题意作图如右图，QF1O（O为坐标原点）为正三角形，QF1F2是直角三角形，c+=2a，a=c，b2=a2c2=c2，椭圆C的方程为+=1，设直线PQ的方程为y=（x+c），故x=yc，代入消x化简可得，y22cyc2
19、=0，即（yc）（y+）=0，故点Q的纵坐标为c，点P的纵坐标为，故QF1F2与PF1F2的面积的比值为=，故答案为：三、解答题17已知数列an满足a1=1，且an+1=2an+3（nN+）（1）设bn=an+3（nN+），求证bn是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（1）首先对数列的递推关系式进行恒等变换，进一步求出数列是等比数列（2）利用等比数列进一步求出数列的通项公式，在求出数列的前n项和【解答】解：（1）数列an满足a1=1，且an+1=2an+3（nN+）则：an+1+3=2（an+3），即：（常数），由于设bn=an+3（nN+），所
20、以：，数列bn是等比数列；（2）由（1）得：数列bn是等比数列，所以：，由于：a1=1，所以：则：Sn=a1+a2+an=223+233+2n+13=22+23+2n+1（3+3+3）=2n+23n418如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点（1）求证：BC平面PAC；（2）若AB=2，BC=AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥BMOC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可得BCAC，再由PA垂直圆O所在的平面，得PABC，最后结合线面垂直的判定得答案；（2）由点M到平面ABC的距离等于点P到平面AB
21、C的距离的，把三棱锥BMOC的体积转化为三棱锥MBOC的体积求解【解答】（1）证明：如图，C为圆O上的一点，AB为圆O的直径，BCAC，又PA垂直圆O所在的平面，PABC，则BC平面PAC；（2）解：AB=2，BC=AC，在RtABC中，可得，又PA=AB=2，点M为PC的中点，点M到平面ABC的距离等于点P到平面ABC的距离的，19某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告
22、费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元） 123 4 5 销售收益y（单位：万元）2 3 27表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论；（2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（3）利用公式求出b，a，即可计算y关于x的回归方程【解答】解：（1）设长方形
23、的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，m=2；（2）由（1）可知个小组依次是0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12），其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为10.16+30.20+50.28+70.24+90.08+110.04=5；（3）空白处填5由题意， =3， =3.8， xiyi=69， =55，b=1.2，a=3.81.23=0.2，y关于x的回归方程为y=1.2x0.220已知圆O：
24、x2+y2=9及点C（2，1）（1）若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给予证明；（2）过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）OC的中点为（1，），设OC的垂直平分线为y=2x+，代入圆x2+y2=9，得=0，由韦达定理及中点坐标公式得到AB的中点为（1，），再由OCAB，推导出四边形OACB为菱形（2）当直线l的斜率不存在时，SOPQ=2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1=k（x2），（k），圆心到直线PQ的距离为d=，由平面几何知识得|PQ|=2，推导出当且仅当d2=时，SO
25、PQ取得最大值，由此能求出直线l的方程【解答】解：（1）四边形OACB为菱形，证明如下：OC的中点为（1，），设A（x1，y1），B（，y2），设OC的垂直平分线为y=2x+，代入圆x2+y2=9，得=0， =2=，AB的中点为（1，），四边形OACB为平行四边形，又OCAB，四边形OACB为菱形（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，则P、Q的坐标为（2，），（2，），SOPQ=2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1=k（x2），（k），则圆心到直线PQ的距离为d=，由平面几何知识得|PQ|=2，SOPQ=d=，当且仅当9d2=d2，即d2=时，SOPQ取得最大值，SOPQ的最大
26、值为，此时，由=，解得k=7或k=1此时，直线l的方程为x+y3=0或7x+y15=021设函数f（x）=（2x24ax）lnx，aR（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若对任意x1，+），f（x）+x2a0恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1），代入切线方程即可；（2）g（x）=f（x）+x2a，求出函的导数，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可【解答】解：（1）a=1时，f（1）=0，f（x）=（
27、4x4）lnx+（2x4），f（1）=2，切线方程是：y=2（x1），即2x+y2=0；（2）设g（x）=f（x）+x2a=（2x24ax）lnx+x2a，x1，+），则g（x）=4（xa）（lnx+1），（x1），a1时，g（x）在1，+）递增，对x1，有g（x）g（1）=1a0，a1；a1时，g（x）在1，a）递减，在（a，+）递增，g（x）min=g（a）=a2（12lna）a，由a2（12lna）a，得：a（12lna）10，设h（a）=a（12lna）1，a1，则h（a）=12lna0，（a1），h（a）在（1，+）递减，又h（1）=0，h（a）h（1）=0与条件矛盾，综上：a1选修
28、4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的切线，ADE是O的割线，AC=AB，连接CD、CE，分别与O交于点F，点G（1）求证：ADCACE；（2）求证：FGAC【考点】相似三角形的判定；弦切角【分析】（1）根据已知和切割线定理可得AC2=ADAE，即=，又CAD=EAC，即可证明ADCACE（2）由F，G，E，D四点共圆，可得CFG=AEC，利用三角形相似可得ACF=AEC，通过证明CFG=ACF，即可得解FGAC【解答】（本题满分为10分）证明：（1）根据题意，可得：AB2=ADAE，AC=AB，AC2=ADAE，即=，又CAD=EAC，ADCACE5分（2）F，G，E，D四点共圆，CFG=
29、AEC，又ACF=AEC，CFG=ACF，FGAC10分选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系中，圆C的方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为cos+sin=m（mR）（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标【考点】参数方程化成普通方程【分析】（I）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；（II）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l的距离为2，故到直线l的距离等于2的点在过圆心且与
30、直线l平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标【解答】解：（I）圆C的普通方程为（x1）2+（y1）2=2，圆心坐标为（1，1），半径r=m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y3=0圆心C到直线l的距离d=r直线l与圆C相交（II）直线l的普通方程为x+ym=0C上有且只有一点到直线l的距离等于，直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为圆C上到直线l的距离等于2的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为：（t为参数）将：（t为参数）代入圆C的普通方程得t2=2，t1=，t2=当t=时，当t=时，C上到直线l距离为2的点的坐标为（0，2），（2，0）选修4-5：不等式选讲24已知|x1|1，|y2|1（1）求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x2y+2a1|3成立，求实数a的值【考点】绝对值三角不等式【分析】（1）去掉绝对值，可求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x2y+2a1|3成立，则3+2|a2|3，即可求实数a的值【解答】解：（1）由|y2|1，可得1y21，1y3（2）|x2y+2a1|=|x12y+4+2a4|x1|+2|y2|+2|a2|1+2+2|a2|，3+2|a2|3，|a2|0，a=22016年9月9日
