1、内江六中20202021学年（下）高2021届第五次月考文科数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1已知集合，则（ ）A B C D2已知为虚数单位，复数的共轭复数为，且满足，则（ ）A B C D3已知一组数据3，5，7，x，10的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）A B6 C D54已知等差数列的前项和为，若是与的等差中项，则（ ）A35 B37 C39 D415已知，均为单位向量，则（ ）A B C D6某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）A B C D7过圆上一点
2、作圆的两条切线，切点分别为、，若，则实数（ ）A2 B3 C4 D98已知对数函数的图象经过点与点，则（ ）A B C D9函数的图象向右平移个单位长度得到的图象命题的图象关于直线对称;命题是的一个单调增区间则在命题和中，真命题是（ ）A B C D10已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D11在三棱锥中，底面，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D12已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（ ）A B C D第卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13已知，满足，则的最小值为_14已知曲线在点处的切线
3、为，若与曲线相切，则_15已知是抛物线的焦点，点的坐标为，点是上的任意一点，当在点时，取得最大值；当在点时，取得最小值，则，两点间的距离为_16已知在锐角的面积为，且，其内角所对边分别为，则边的最小值为_三、解答题:（共70分，解答应写出必要的步骤和过程）17（本小题12分）在中，角的对边分别为，已知向量，且满足：（）求的值；（）若，求面积的最大值18（本小题12分）从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），除夕夜，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该
4、校在读大学生，就除夕夜之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：是否集齐五福性别是否合计男301040女35540合计651580（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官网上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率参
5、考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819（本小题12分）在三棱柱中，分别为，中点（1）求证：面；（2）若面面，为正三角形，求四棱锥的体积20（本小题12分）椭圆，焦距为2，为椭圆上一点，为焦点，且轴，（1）求椭圆的方程；（2）设为轴正半轴上的定点，过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，求点的坐标21（本小题12分）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有唯一实数解，且，求的值22（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴
6、正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点的极坐标为，点为曲线上的一动点，求线段的中点到直线的距离的最大值23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设为正数，（1）若，求函数的最小值；（2）若，且不全相等，求证：内江六中高2021届高三下入学考试参考答案一、单选题1【答案】C【分析】先利用一元二次不等式的解法和对数函数的单调性化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解【详解】因为集合，所以故选：C2【答案】A【解析】设，则，由，得：，即易得：，故选A3【答案】C【解析】先根据平均数公式求出x，再利用方差公式求解由题意得，得，所以这组数
7、据的方差4【答案】B【分析】设等差数列的公差为，根据题意得出关于的方程，解出，再利用等差数列的通项公式可求得的值【详解】设等差数列的公差为，因为是与的等差中项，则，其中，所以，可得，因此，故选：B【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用基本量法求解，考查计算能力，属于基础题5【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解【详解】解：均为单位向量，且，则，故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题6（原创）A【命题意图】考查几何体的三视图和体积公式，同时考查空间想象能力解析：该几何体是半个圆锥，底面是半径为1的半个圆，高为，故体积，
8、故选A7【答案】A【解析】如图所示，取圆上一点，过作圆的两条切线、，当时，且，；，则实数故选A8答案：D解析：设对函数（，且），由已知可得，解得，所以，则，所以9【答案】A【解析】【分析】首先利用辅助角公式将函数化为，由三角函数的图像变化规律求出的解析式，根据三角函数的性质判断与真假，再由命题的否定以及真假表即可判断【详解】解:由，则，由，解得，显然不是对称轴，故为假命题由，解得，故函数的单调递增区间为，当时，又，故为真命题故为真命题，为假命题，故为真命题；为假命题；为真命题；为假命题； 故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数
9、的性质以及真假表，属于基础题10【答案】D【解析】双曲线，双曲线的渐近线方程是又抛物线的准线方程是， 故A，B两点的纵坐标分别是，又，即，故选D11【答案】A【分析】利用正弦定理求出的外接圆直径，利用公式可计算得出三棱锥的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于，则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得 本题中，平面，设的外接圆为圆，可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示：设的外接圆直径为，由正弦定理可得，该三棱锥的外接球直径为，则因此，三棱锥的外
10、接球的表面积为故选：A【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可12【答案】D【分析】利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围【详解】，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且，当时，因为，所以函数是偶函数，当时，函数
11、是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，所以，综上所述；的取值范围是，故本题选D【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键二、填空题1314答案：8解析：令，则因为，所以曲线在点处的切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即联立得方程组所以由于切线与曲线相切，故，解得15【答案】【解析】由抛物线的方程为，得点F的坐标为，当平行于x轴，取得最大值，则的坐标为；当P，F，A三点共线，且点F在P，A之间时，取得最小值，由点A的坐标为，得的坐标为，所以16【答案】2【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得，构造函数，再用
12、导数求得最值【详解】由，得，即，结合正弦定理得，再由余弦定理可得，整理又由余弦定理可得，代入上式得，又锐角的面积，所以时，所以，设函数，求导可得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以于是，即，当且仅当时，等号成立故答案为：2【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键三、解答题17【答案】（）（）【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标关系，得到关于三角形边角关系式，运用正弦定理，化边为角，结合两角和差公式，即可求解；（2）由（1）求出，用余弦定理得出关系式，运用基本不等式，可求出结论【详解】解：（）由，得，在中，由正弦定理得，化简得，因，所以（）在中，由（1）得，
13、由余弦定理得，所以，当且仅当时“=”成立因，所以当且仅当时，面积的最大值为【点睛】本题考查向量平行的坐标关系，考查正余弦定理解三角形，以及基本不等式求最值，属于中档题18【答案】(1)见解析;(2)8125;(3)【解析】试题分析：(1) 由表中可知，a，b，c，d，n，代入卡方公式可求得，可得结论（2）由样本频率估计概率，可知，所以集齐人数为(3)由枚举法与古典概型可求试题解析：（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.（2）这80位大学生集齐五福的频率为据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为（3）设选取的
14、2位男生和3位女生分别记为，随机选取3次采访的所有结果为，共有10个基本事件，至少有一位男生的基本事件有9个，故所求概率为【点睛】独立性检验的关键(1)根据列联表准确计算，若列联表没有列出来，要先列出此表(2)的观测值k越大，对应假设事件成立(两类变量相互独立)的概率越小，不成立的概率越大19解：（1）连为中点且在三棱柱 （3分）四边形为平行四边形 （4分） （6分）（2）为正，为中点，又面面，面面面 （9分）为三棱柱的高， （12分）20解：， （1分）（1）又轴，且， （2分）解得，椭圆的方程为 （4分）（2）设，直线方程为 （5分），即 （7分）又， （8分） （9分）解得 （11分）点
15、的坐标为 （12分）21【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出n的值即可【详解】(1)当时，在上单调递增；当时，时，单调递减，时，单调递增综上所述:当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增(2)由己知可得方程有唯一解，且设，即有唯一解，由，则在上单调递减所以在上单调递减，即在单调递减又时，时，故存在使得，当时，在上单调递增时，在上单调递减又有唯一解，则必有当时，故存在唯一的满足下式:由消去得令故当时，在上单调递减，当时，在上单调递增由即存在，使得，即又关于的方程有唯一实数解，且故【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22解：（1）曲线； （5分）（2）点直线坐标为，设点则点， （8分）， （10分）23解：（1）因为， 1分法1:由上可得: 3分所以，当时，函数的最小值为2 4分法2： 2分当且仅当，即时取得最小值2（2）证明：因为为正数，所以要证即证明就行了 6分 法1:因为（当且仅当时取等号） 8分又因为即且不全相等，所以即 10分法2:因为当且仅当时取等号 8分又因为即且不全相等，所以即 10分
