1、章末综合测评(二)平面解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)y50垂直，则实数a的值是()AB1CD2A直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)y50垂直，则a12(a1)0，解得a2若直线l与直线y1，x7分别交于P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()ABC3D3B设P(a，1)，Q(7，b)，则有故直线l的斜率为3若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()ABCDD由已知可得双曲线的渐近线方程
2、为yx，点(3，4)在双曲线的一条渐近线上，又a2b2c2，c2a2a2a2，e4若圆C1：(x1)2(y1)21与圆C2：(x2)2(y3)2r2外切，则正数r的值是()A2B3C4D6C圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2：(x2)2(y3)2r2，C1坐标为(1，1)，半径为1，C2坐标为(2，3)，半径为r，|C1C2|r1r2r1r45已知圆C与直线xy30相切，直线mxy10始终平分圆C的面积，则圆C的方程为()Ax2y22y2Bx2y22y2Cx2y22y1Dx2y22y1D直线mxy10始终平分圆C的面积，直线mxy10始终过圆C的圆心(0，1)又圆C与直线xy30相切，圆C
3、的半径r圆C的方程为x2(y1)22，即x2y22y1故选D6已知点P为双曲线1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为PF1F2的内心若SS8，则MF1F2的面积为()A2B10C8D6B由题意知，a4，b3，c5又由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a8设PF1F2的内切圆的半径为RSS8，(|PF1|PF2|)R8，即4R8，R2，S2cR10故选B7唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军
4、营所在区域为x2y21，若将军从点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为xy3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A1B21C2DA设点A关于直线xy3的对称点A(a，b)，AA的中点为，kAA，故解得要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为11，故选A8已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()AB2C2DD设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，
5、|BF1|m由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a2mm，即m(42)a，则|AF2|2am(22)a在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(2)2a24(1)2a2，即c2(96)a2，即c()a，即e二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|4，则称该直线为“切割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是()Ayx1By2CyxDy2x1BC对于A，d134；对于B，d224，所以符合条件的有BC10已知
6、圆O：x2y24和圆C：(x2)2(y3)21现给出如下结论，其中正确的是()A圆O与圆C有四条公切线B过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为xy5或xy10C过C且与圆O相切的直线方程为9x16y300DP，Q分别为圆O和圆C上的动点，则|PQ|的最大值为3，最小值为3AD由题意可得，圆O：x2y24的圆心为O(0，0)，半径r12，圆C：(x2)2(y3)21的圆心C(2，3)，半径r21，因为两圆圆心距|OC|r1r221，所以两圆相离，有四条公切线，A正确；截距相等可以过原点或斜率只能为1，B不正确；过圆外一点与圆相切的直线有两条，C不正确；|PQ|的最大值等于|OC|r1r2，最小值
7、为|OC|r1r2，D正确故选AD11已知双曲线C过点(3，)，且渐近线方程为yx，则下列结论正确的是()A双曲线C的方程为y21B双曲线C的离心率为C曲线yex21经过双曲线C的一个焦点D直线xy10与双曲线C有两个公共点AC对于选项A，由双曲线C的渐近线方程yx，可得y2x2，从而设所求双曲线方程为x2y2，又由双曲线C过点(3，)，所以32()2，解得1，故正确；对于选项B，由双曲线方程可知a，b1，c2，所以离心率e，故错误；对于选项C，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，满足yex21，故正确；对于选项D，联立整理得y22y20，由(2)24120，且直线斜率大于渐近线斜率，知直线与双曲
8、线C只有一个公共点，故错误12把方程1的曲线作为函数yf(x)的图像，则下列结论正确的是()A函数yf(x)的图像不经过第一象限B函数f(x)在R上单调递增C函数yf(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值为3D函数g(x)4f(x)3x不存在零点ACD由方程1可知，当x0时，y0，这时有1；当4x0时，y0，这时有1；当x4时，y0，这时有1根据以上讨论，作出函数yf(x)的图像如图所示从图中可以看出，函数yf(x)的图像不经过第一象限，且f(x)在R上单调递减，故A正确，B错误；由图可知函数yf(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值为3，故C正确；因为双曲线1和1的渐近线方程均为yx
9、，所以函数yf(x)的图像与直线yx没有交点，所以方程f(x)x没有实数解，即函数g(x)4f(x)3x不存在零点，故D正确故选ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13圆x2y2ax2y10关于直线xy1对称的圆的方程为x2y21，则实数a的值为_2圆的方程可化为(y1)2，表示以A为圆心，以为半径的圆，关于直线xy1对称的圆x2y21的圆心为(0，0)，故有11，得a214已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为_1由椭圆的定义，可知AF1B的周长为|AF1|
10、BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|4a4，解得a又离心率，所以c1由a2b2c2，得b，所以椭圆C的方程为115数学家欧拉于1765年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心(三边中垂线的交点)、重心(三边中线的交点)、垂心(三边高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知ABC的顶点为A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，则该三角形的欧拉线方程为_x2y50因为ABC的顶点为A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，所以重心G，设ABC的外心为W，则|OW|WC|，即，解得a，所以W所以该三角形的欧
11、拉线方程为y，即x2y5016双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则双曲线方程为_，离心率为_(本题第一空2分，第二空3分)1双曲线1的渐近线方程为yx，由题意知两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可知1，又正方形OABC的边长为2，所以c2，由a2b2c2可得2a2(2)2，解得a2b2，双曲线方程为1，离心率为e四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直
12、线l1过点(3，1)；(2)l1l2且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)l1l2，a(a1)b0又直线l1过点(3，1)，3ab40由得(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，且1a又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b由得或18(本小题满分12分)在经过直线l1：x2y0与直线l2：2xy10的交点圆心在直线2xy0上被y轴截得弦长|AB|2；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由问题：是否存在圆Q，点A(2，1)，B(1，1)均在圆上，且圆Q_？注：如果选择多个条件分别解答，
13、按第一个解答计分解因为点A(2，1)，B(1，1)均在圆上，所以圆心在直线AB的垂直平分线上，又直线AB的方程为y1，直线AB的垂直平分线所在直线方程为：x，则可设圆心坐标为，设圆的半径为r若选，由解得即直线l1和l2的交点为，则圆过点，所以r2(b1)2，解得b1，则r2，即存在圆Q，且圆Q的方程为(y1)2若选，由圆心在直线2xy0上可得2b0，则b1，所以r2(11)2，即存在圆Q，且圆Q的方程为(y1)2若选，圆被y轴截得弦长|AB|2，根据圆的性质可得，r2，由r2(b1)2，解得b1，即存在圆Q，且圆Q的方程为(y1)2所以，存在圆Q，且圆Q的方程为(y1)219(本小题满分12分
14、)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴上，直线xy10与抛物线交于A，B两点，且|AB|(1)求抛物线的方程；(2)在x轴上是否存在一点C，使ABC为正三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意，设所求抛物线的方程为y22px(p0)由消去y，得x22(1p)x10设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(1p)，x1x21|AB|，即，121p2242p480，解得p或p(舍去)，抛物线的方程为y2x(2)设AB的中点为点D，则D假设在x轴上存在满足条件的点C(x0，0)，连接CDABC为正三角形，CDAB，即(1)1，解得x0，C，|CD|又|C
15、D|AB|，矛盾，不符合题目条件，在x轴上不存在一点C，使ABC为正三角形20(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P又点N为点M关于点P的对称点，故N，直线ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x0或x因此H所以N为OH的中点，即2(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解
16、得y2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点21(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290相切(1)求圆的方程；(2)若直线axy50(a0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解(1)设圆心坐标为M(m，0)(mZ)，由于圆与直线4x3y290相切，且圆的半径为5，所以5，即|4m29|25，即4m2925或4m2925，解得m或m1因为m为整数，故m1，故所求圆的方程为(x1)2y225(2)设符合条件的实数a存在，
17、因为a0，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为y(x2)4，即xay24a0由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在直线l上，所以1024a0，解得a经检验，当a时，直线axy50与圆有两个交点，故存在实数a，使得过点P(2，4)的直线l垂直平分弦AB22(本小题满分12分)设斜率不为0的直线l与抛物线x24y交于A，B两点，与椭圆1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为k1，k2，k3，k4(1)若直线l过(0，4)，证明：OAOB；(2)求证：的值与直线l的斜率的大小无关证明(1)设直线方程为ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x4y1，x4y2，两式相乘可得(x1x2)216y1y2，由可得x24kx160，则x1x216，y1y216，x1x2y1y20，即0，OAOB(2)设直线ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由可得x24kx4m0，x1x24k，x1x24m，k1k2k联立ykxm和椭圆2x23y212，可得(23k2)x26kmx3m2120，36k2m24(23k2)(3m212)0，即46k2m2，x3x4，x3x4，k3k42km2k2k，则与直线l的斜率的大小无关
